座標平面上に点$\mathrm{P}$があり，次のルールにより，点$\mathrm{P}$は移動する．

$a,\ b,\ c$の文字がそれぞれ$1$つずつ書かれた球$3$個が入った袋から，$1$個取り出してそこに書かれている文字を読み，その文字が

$a$のとき，点$\mathrm{P}$は$x$軸の正の方向へ$1$だけ移動し，
$b$のとき，点$\mathrm{P}$は$x$軸の負の方向へ$1$だけ移動し，
$c$のとき，点$\mathrm{P}$は$y$軸の正の方向へ$1$だけ移動する．

最初，点$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$にあるものとする．この試行を，取り出した球を元に戻しながら，$5$回続けて行う．例えば，これによって得られた$5$個の文字が順に$b \to a \to c \to c \to a$であるとすれば，上のルールにより，点$\mathrm{P}$の位置の座標は，
\[ (0,\ 0) \to (-1,\ 0) \to (0,\ 0) \to (0,\ 1) \to (0,\ 2) \to (1,\ 2) \]
と変化する．
このとき，次の各問に答えよ．

(1)$y$軸上で点$\mathrm{P}$の移動が終了する場合，終了したときの位置の座標をすべて求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$の移動が終了する位置の相異なる座標の個数を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$の移動が終了する位置の座標$(x,\ y)$が$|x| \leqq 1$，$1 \leqq y \leqq 2$となる確率を求めよ．

$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{6}$を満たす$\theta$について，$r(\theta)=\sqrt{2 \cos 2\theta}$とするとき，座標平面上で円$x^2+y^2=\{r(\theta)\}^2$と直線$y=(\tan \theta)x$は$2$つの交点をもつ．そのうち，$x$座標が正であるものを$\mathrm{P}$とし，$\mathrm{P}$の$x$座標を$f(\theta)$，$y$座標を$g(\theta)$とする．$\theta$を$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{6}$の範囲で動かしたときの点$\mathrm{P}$の軌跡を$C$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$f(\theta),\ g(\theta)$を求めよ．
(2)$g(\theta)$の最大値を求めよ．
(3)曲線$C$と$x$軸，直線$\displaystyle x=f \left( \frac{\pi}{6} \right)$で囲まれた部分の面積を求めよ．

座標平面上に点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 2)$，$\mathrm{D}(0,\ 1)$をとる．直線$x=1$を$\ell$，直線$x=-1$を$m$とする．また，$x$軸上に$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}(t,\ 0)$をとり，直線$\mathrm{CP}$と直線$\ell$の交点を$\mathrm{Q}(1,\ u)$，直線$\mathrm{DP}$と直線$m$の交点を$\mathrm{R}(-1,\ v)$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$u,\ v$を$t$を用いて表せ．
(2)$u,\ v$が共に正となるような$t$の範囲と，そのときの台形$\mathrm{QABR}$の面積のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)線分$\mathrm{QR}$は$t$に依存しないある定点$\mathrm{E}$を通ることを示せ．また，$\mathrm{E}$の座標を求めよ．

座標平面上に点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 2)$，$\mathrm{D}(0,\ 1)$をとる．直線$x=1$を$\ell$，直線$x=-1$を$m$とする．また，$x$軸上に$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}(t,\ 0)$をとり，直線$\mathrm{CP}$と直線$\ell$の交点を$\mathrm{Q}(1,\ u)$，直線$\mathrm{DP}$と直線$m$の交点を$\mathrm{R}(-1,\ v)$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$u,\ v$を$t$を用いて表せ．
(2)$u,\ v$が共に正となるような$t$の範囲と，そのときの台形$\mathrm{QABR}$の面積のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)線分$\mathrm{QR}$は$t$に依存しないある定点$\mathrm{E}$を通ることを示せ．また，$\mathrm{E}$の座標を求めよ．

座標平面上で原点$\mathrm{O}$を中心，半径$1$の円を$S$とする．点$\mathrm{P}$が円$S$上を動くとき，$\mathrm{P}$における$S$の接線に点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{1}{2},\ 0 \right)$から下ろした垂線の交点$\mathrm{Q}$のなす軌跡を$C$とする．$x$軸の正の方向に対して$\mathrm{OP}$のなす角を$t$として，$\mathrm{P}$の座標を$(\cos t,\ \sin t)$で表す．このときの$\mathrm{Q}$の座標を$(f(t),\ g(t))$とする．

(1)$f(t),\ g(t)$を求めよ．
(2)$g(t)$の最大値を求めよ．
(3)$C$で囲まれた図形の$y \geqq 0$の部分の面積を求めよ．

座標平面上に点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 2)$，$\mathrm{D}(0,\ 1)$をとる．直線$x=1$を$\ell$，直線$x=-1$を$m$とする．また，$x$軸上に$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}(t,\ 0)$をとり，直線$\mathrm{CP}$と直線$\ell$の交点を$\mathrm{Q}(1,\ u)$，直線$\mathrm{DP}$と直線$m$の交点を$\mathrm{R}(-1,\ v)$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$u,\ v$を$t$を用いて表せ．
(2)$u,\ v$が共に正となるような$t$の範囲と，そのときの台形$\mathrm{QABR}$の面積のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)線分$\mathrm{QR}$は$t$に依存しないある定点$\mathrm{E}$を通ることを示せ．また，$\mathrm{E}$の座標を求めよ．

座標平面上に関数$f(x)=x^2-2x+2-|2x-2|$を用いて表される曲線$C:y=f(x)$がある．

(1)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(2)$m$を定数とする．点$(0,\ 1)$を通る傾き$m$の直線と曲線$C$の交点の数を求めよ．
(3)直線$y=a^2$と曲線$C$によって囲まれる領域のうち，$a^2 \leqq y \leqq f(x)$かつ$0 \leqq x \leqq 2$を満たす部分の面積を求めよ．ただし，$0<a<1$とする．

以下の問いに答えよ．

(1)座標平面において，次の連立不等式の表す領域を図示せよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2+y \leqq 1 \\
x-y \leqq 1
\end{array} \right. \]
(2)$2$つの放物線$y=x^2-2x+k$と$y=-x^2+1$が共有点をもつような実数$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$x,\ y$が$(1)$の連立不等式を満たすとき，$y-x^2+2x$の最大値および最小値と，それらを与える$x,\ y$の値を求めよ．

$f(x)=\log (e^x+e^{-x})$とおく．曲線$y=f(x)$の点$(t,\ f(t))$における接線を$\ell$とする．直線$\ell$と$y$軸の交点の$y$座標を$b(t)$とおく．

(1)次の等式を示せ．
\[ b(t)=\frac{2te^{-t}}{e^t+e^{-t}}+\log (1+e^{-2t}) \]
(2)$x \geqq 0$のとき，$\log (1+x) \leqq x$であることを示せ．
(3)$t \geqq 0$のとき，
\[ b(t) \leqq \frac{2}{e^t+e^{-t}}+e^{-2t} \]
であることを示せ．
(4)$\displaystyle b(0)=\lim_{x \to \infty} \int_0^x \frac{4t}{(e^t+e^{-t})^2} \, dt$であることを示せ．

$f(x),\ g(x),\ h(x)$を

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}(\cos x-\sin x)$

$\displaystyle g(x)=\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right)$

$h(x)=\sin x$

とおく．$3$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$，$y=h(x)$の$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$を満たす部分を，それぞれ$C_1$，$C_2$，$C_3$とする．

(1)$C_2$と$C_3$の交点の座標を求めよ．
(2)$C_1$と$C_3$の交点の$x$座標を$\alpha$とする．$\sin \alpha$，$\cos \alpha$の値を求めよ．
(3)$C_1$，$C_2$，$C_3$によって囲まれる図形の面積を求めよ．