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国立 佐賀大学 2015年 第3問点$\mathrm{O}$を原点とし，$x$軸，$y$軸，$z$軸を座標軸とする座標空間において，$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ 0,\ 1)$がある．点$\mathrm{A}$を中心とする$xy$平面上の半径$1$の円周上に点$\mathrm{P}$をとり，図のように$\theta=\angle \mathrm{BAP}$とおく．ただし，$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\frac{3}{2}\pi$とする．また，直線$\mathrm{CP}$と$yz$平面の交点を$\mathrm{Q}$とおく．このとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$の値が$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\frac{3}{2}\pi$の範囲で変化するとき，$yz$平面における点$\mathrm{Q}$の軌跡の方程式を求め，その概形を図示せよ．
（図は省略）
(1)点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$の値が$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\frac{3}{2}\pi$の範囲で変化するとき，$yz$平面における点$\mathrm{Q}$の軌跡の方程式を求め，その概形を図示せよ．
国立 長崎大学 2015年 第1問放物線$C:y=x^2$上に異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をとる．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$p$，$q$（ただし，$p<q$）とする．直線$\mathrm{PQ}$の傾きを$a$とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$a$を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$a=1$とする．直線$\mathrm{PQ}$と$x$軸の正の向きとなす角$\theta_1$（ただし，$0<\theta_1<\pi$）を求めよ．
(3)$a=1$とする．放物線$C$上に点$\mathrm{R}$をとる．$\mathrm{R}$の$x$座標を$r$（ただし，$r<p$）とする．三角形$\mathrm{PQR}$が正三角形になるとき，直線$\mathrm{PR}$と$x$軸の正の向きとのなす角$\theta_2$（ただし，$0<\theta_2<\pi$）を求めよ．また，このとき直線$\mathrm{PR}$の傾き，および直線$\mathrm{QR}$の傾きを，それぞれ求めよ．さらに，正三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．
(4)$a=2$とする．放物線$C$上に点$\mathrm{S}(1,\ 1)$をとる．三角形$\mathrm{PQS}$が$\displaystyle \angle \mathrm{S}=\frac{\pi}{2}$である直角三角形になるとき，この三角形の面積を求めよ．
(1)$a$を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$a=1$とする．直線$\mathrm{PQ}$と$x$軸の正の向きとなす角$\theta_1$（ただし，$0<\theta_1<\pi$）を求めよ．
(3)$a=1$とする．放物線$C$上に点$\mathrm{R}$をとる．$\mathrm{R}$の$x$座標を$r$（ただし，$r<p$）とする．三角形$\mathrm{PQR}$が正三角形になるとき，直線$\mathrm{PR}$と$x$軸の正の向きとのなす角$\theta_2$（ただし，$0<\theta_2<\pi$）を求めよ．また，このとき直線$\mathrm{PR}$の傾き，および直線$\mathrm{QR}$の傾きを，それぞれ求めよ．さらに，正三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．
(4)$a=2$とする．放物線$C$上に点$\mathrm{S}(1,\ 1)$をとる．三角形$\mathrm{PQS}$が$\displaystyle \angle \mathrm{S}=\frac{\pi}{2}$である直角三角形になるとき，この三角形の面積を求めよ．
国立 長崎大学 2015年 第1問$2$つの放物線
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=x^2-2ax+2a^2 \]
を考える．ただし，$a>0$とする．以下の問いに答えよ．
(1)放物線$C_2$の頂点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$2$つの放物線$C_1$，$C_2$の共通接線を$\ell$とし，$C_1$と$\ell$との接点の$x$座標を$p$，$C_2$と$\ell$との接点の$x$座標を$q$とする．$p$と$q$の値および$\ell$の方程式を，それぞれ$a$を用いて表せ．
(3)放物線$C_1$，$C_2$および接線$\ell$によって囲まれた図形の面積を$S_1$とする．$S_1$を$a$を用いて表せ．
(4)点$\displaystyle \left( -\frac{a}{2},\ \frac{a^2}{4} \right)$における$C_1$の接線を$m$とする．このとき，$m$の方程式を$a$を用いて表せ．また，$m$と接線$\ell$との交点の$x$座標を求めよ．
(5)放物線$C_1$および接線$\ell$，$m$によって囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_2$を$a$を用いて表せ．さらに，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の値を求めよ．
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=x^2-2ax+2a^2 \]
を考える．ただし，$a>0$とする．以下の問いに答えよ．
(1)放物線$C_2$の頂点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$2$つの放物線$C_1$，$C_2$の共通接線を$\ell$とし，$C_1$と$\ell$との接点の$x$座標を$p$，$C_2$と$\ell$との接点の$x$座標を$q$とする．$p$と$q$の値および$\ell$の方程式を，それぞれ$a$を用いて表せ．
(3)放物線$C_1$，$C_2$および接線$\ell$によって囲まれた図形の面積を$S_1$とする．$S_1$を$a$を用いて表せ．
(4)点$\displaystyle \left( -\frac{a}{2},\ \frac{a^2}{4} \right)$における$C_1$の接線を$m$とする．このとき，$m$の方程式を$a$を用いて表せ．また，$m$と接線$\ell$との交点の$x$座標を求めよ．
(5)放物線$C_1$および接線$\ell$，$m$によって囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_2$を$a$を用いて表せ．さらに，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の値を求めよ．
国立 長崎大学 2015年 第1問放物線$C:y=x^2$上に異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をとる．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$p$，$q$（ただし，$p<q$）とする．直線$\mathrm{PQ}$の傾きを$a$とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$a$を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$a=1$とする．直線$\mathrm{PQ}$と$x$軸の正の向きとなす角$\theta_1$（ただし，$0<\theta_1<\pi$）を求めよ．
(3)$a=1$とする．放物線$C$上に点$\mathrm{R}$をとる．$\mathrm{R}$の$x$座標を$r$（ただし，$r<p$）とする．三角形$\mathrm{PQR}$が正三角形になるとき，直線$\mathrm{PR}$と$x$軸の正の向きとのなす角$\theta_2$（ただし，$0<\theta_2<\pi$）を求めよ．また，このとき直線$\mathrm{PR}$の傾き，および直線$\mathrm{QR}$の傾きを，それぞれ求めよ．さらに，正三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．
(4)$a=2$とする．放物線$C$上に点$\mathrm{S}(1,\ 1)$をとる．三角形$\mathrm{PQS}$が$\displaystyle \angle \mathrm{S}=\frac{\pi}{2}$である直角三角形になるとき，この三角形の面積を求めよ．
(1)$a$を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$a=1$とする．直線$\mathrm{PQ}$と$x$軸の正の向きとなす角$\theta_1$（ただし，$0<\theta_1<\pi$）を求めよ．
(3)$a=1$とする．放物線$C$上に点$\mathrm{R}$をとる．$\mathrm{R}$の$x$座標を$r$（ただし，$r<p$）とする．三角形$\mathrm{PQR}$が正三角形になるとき，直線$\mathrm{PR}$と$x$軸の正の向きとのなす角$\theta_2$（ただし，$0<\theta_2<\pi$）を求めよ．また，このとき直線$\mathrm{PR}$の傾き，および直線$\mathrm{QR}$の傾きを，それぞれ求めよ．さらに，正三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．
(4)$a=2$とする．放物線$C$上に点$\mathrm{S}(1,\ 1)$をとる．三角形$\mathrm{PQS}$が$\displaystyle \angle \mathrm{S}=\frac{\pi}{2}$である直角三角形になるとき，この三角形の面積を求めよ．
国立 徳島大学 2015年 第1問直交座標の原点$\mathrm{O}$を極とし，$x$軸の正の部分を始線とする極座標$(r,\ \theta)$を考える．この極座標で表された$3$点を$\displaystyle \mathrm{A} \left( 1,\ \frac{\pi}{3} \right)$，$\displaystyle \mathrm{B} \left( 2,\ \frac{2 \pi}{3} \right)$，$\displaystyle \mathrm{C} \left( 3,\ \frac{4 \pi}{3} \right)$とする．
(1)点$\mathrm{A}$の直交座標を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{OAB}$を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{OBC}$の面積を求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の中心と半径を求めよ．ただし，中心は直交座標で表せ．
(1)点$\mathrm{A}$の直交座標を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{OAB}$を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{OBC}$の面積を求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の中心と半径を求めよ．ただし，中心は直交座標で表せ．
国立 長崎大学 2015年 第1問放物線$C:y=x^2$上に異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をとる．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$p$，$q$（ただし，$p<q$）とする．直線$\mathrm{PQ}$の傾きを$a$とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$a$を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$a=1$とする．直線$\mathrm{PQ}$と$x$軸の正の向きとなす角$\theta_1$（ただし，$0<\theta_1<\pi$）を求めよ．
(3)$a=1$とする．放物線$C$上に点$\mathrm{R}$をとる．$\mathrm{R}$の$x$座標を$r$（ただし，$r<p$）とする．三角形$\mathrm{PQR}$が正三角形になるとき，直線$\mathrm{PR}$と$x$軸の正の向きとのなす角$\theta_2$（ただし，$0<\theta_2<\pi$）を求めよ．また，このとき直線$\mathrm{PR}$の傾き，および直線$\mathrm{QR}$の傾きを，それぞれ求めよ．さらに，正三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．
(4)$a=2$とする．放物線$C$上に点$\mathrm{S}(1,\ 1)$をとる．三角形$\mathrm{PQS}$が$\displaystyle \angle \mathrm{S}=\frac{\pi}{2}$である直角三角形になるとき，この三角形の面積を求めよ．
(1)$a$を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$a=1$とする．直線$\mathrm{PQ}$と$x$軸の正の向きとなす角$\theta_1$（ただし，$0<\theta_1<\pi$）を求めよ．
(3)$a=1$とする．放物線$C$上に点$\mathrm{R}$をとる．$\mathrm{R}$の$x$座標を$r$（ただし，$r<p$）とする．三角形$\mathrm{PQR}$が正三角形になるとき，直線$\mathrm{PR}$と$x$軸の正の向きとのなす角$\theta_2$（ただし，$0<\theta_2<\pi$）を求めよ．また，このとき直線$\mathrm{PR}$の傾き，および直線$\mathrm{QR}$の傾きを，それぞれ求めよ．さらに，正三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．
(4)$a=2$とする．放物線$C$上に点$\mathrm{S}(1,\ 1)$をとる．三角形$\mathrm{PQS}$が$\displaystyle \angle \mathrm{S}=\frac{\pi}{2}$である直角三角形になるとき，この三角形の面積を求めよ．
国立 千葉大学 2015年 第3問双曲線$x^2-y^2=1 \cdots ①$の漸近線$y=x \cdots ②$上の点$\mathrm{P}_0:(a_0,\ a_0)$（ただし$a_0>0$）を通る双曲線$①$の接線を考え，接点を$\mathrm{Q}_1$とする．$\mathrm{Q}_1$を通り漸近線$②$と垂直に交わる直線と，漸近線$②$との交点を$\mathrm{P}_1:(a_1,\ a_1)$とする．次に$\mathrm{P}_1$を通る双曲線$①$の接線の接点を$\mathrm{Q}_2$，$\mathrm{Q}_2$を通り漸近線$②$と垂直に交わる直線と，漸近線$②$との交点を$\mathrm{P}_2:(a_2,\ a_2)$とする．この手続きを繰り返して同様にして点$\mathrm{P}_n:(a_n,\ a_n)$，$\mathrm{Q}_n$を定義していく．
(1)$\mathrm{Q}_n$の座標を$a_n$を用いて表せ．
(2)$a_n$を$a_0$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n-1}$の面積を求めよ．
(1)$\mathrm{Q}_n$の座標を$a_n$を用いて表せ．
(2)$a_n$を$a_0$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n-1}$の面積を求めよ．
国立 防衛医科大学校 2015年 第3問座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(0,\ \sqrt{2})$，$\mathrm{B}(2 \sqrt{6},\ \sqrt{2})$，$\mathrm{C}(\sqrt{6},\ 3 \sqrt{2})$に対して，点$\mathrm{P}(p,\ q)$は線分$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BP}$の垂直二等分線が点$\mathrm{C}$で交わるという条件を満たす点とする．ただし，$q>\sqrt{2}$である．また，点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BP}$へ下ろした垂線と点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{AP}$へ下ろした垂線が点$\mathrm{T}(s,\ t)$で交わっているとする．このとき，以下の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$の軌跡を求め，図示せよ．
(2)点$\mathrm{T}$の軌跡を求め，図示せよ．
(1)点$\mathrm{P}$の軌跡を求め，図示せよ．
(2)点$\mathrm{T}$の軌跡を求め，図示せよ．
国立 小樽商科大学 2015年 第2問曲線$T:y=x^3+6x^2$について，次の問いに答えよ．
(1)点$(2,\ a)$を通る曲線$T$への接線の本数$L$を求めよ．ただし$a>0$とする．
(2)この$L$が$2$本のとき，接点の$x$座標が小さい方の接線と，曲線$T$で囲まれる部分の面積を求めよ．
(1)点$(2,\ a)$を通る曲線$T$への接線の本数$L$を求めよ．ただし$a>0$とする．
(2)この$L$が$2$本のとき，接点の$x$座標が小さい方の接線と，曲線$T$で囲まれる部分の面積を求めよ．
国立 愛媛大学 2015年 第3問$a$を自然数とし，関数$f(x)=x^3+2x^2+ax+4$は$x=x_1$で極大，$x=x_2$で極小になるものとする．また，曲線$y=f(x)$上の$2$点$\mathrm{P}(x_1,\ f(x_1))$，$\mathrm{Q}(x_2,\ f(x_2))$の中点を$\mathrm{R}$とする．
(1)$a=1$であることを示せ．
(2)点$\mathrm{P}$および点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{R}$は曲線$y=f(x)$上にあることを示せ．
(4)点$\mathrm{R}$における曲線$y=f(x)$の接線は，点$\mathrm{R}$以外に$y=f(x)$との共有点をもたないことを示せ．
(1)$a=1$であることを示せ．
(2)点$\mathrm{P}$および点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{R}$は曲線$y=f(x)$上にあることを示せ．
(4)点$\mathrm{R}$における曲線$y=f(x)$の接線は，点$\mathrm{R}$以外に$y=f(x)$との共有点をもたないことを示せ．