「座標」について
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国立 旭川医科大学 2015年 第3問曲線$C:y=\sin^2 x$について，$C$上の点$\displaystyle (t,\ \sin^2 t) \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$における$C$の接線と直線$x=a$との交点を$\mathrm{P}$とする．ただし，$a$は$\displaystyle 0 \leqq a \leqq \frac{\pi}{2}$を満たす定数とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$の$y$座標を$f(t)$とおくとき，$f(t)$を求めよ．
(2)関数$f(t)$の増減を調べ，その最大値と最小値を求めよ．
(3)$t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，点$(t,\ \sin^2 t)$における$C$の接線が通るすべての点のうち，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$となるものの範囲を$xy$平面に図示せよ．
(1)点$\mathrm{P}$の$y$座標を$f(t)$とおくとき，$f(t)$を求めよ．
(2)関数$f(t)$の増減を調べ，その最大値と最小値を求めよ．
(3)$t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，点$(t,\ \sin^2 t)$における$C$の接線が通るすべての点のうち，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$となるものの範囲を$xy$平面に図示せよ．
国立 金沢大学 2015年 第3問座標平面上で，$x$座標と$y$座標がともに$0$以上の整数である点を，ここでは格子点とよぶ．格子点$(0,\ 0)$から格子点$(k,\ \ell)$へ，両端点がともに格子点であり長さが$1$の線分を用いて，格子点$(0,\ 0)$から順に最も少ない本数でつなぐ方法を数える．例えば，格子点$(0,\ 0)$から格子点$(3,\ 1)$へつなぐ方法の数は$4$である．次の問いに答えよ．
(1)格子点$(0,\ 0)$から格子点$(4,\ 0)$へつなぐ方法の数と，格子点$(0,\ 0)$から格子点$(2,\ 2)$へつなぐ方法の数を，それぞれ求めよ．
(2)条件$k+\ell=5$を満たす格子点$(k,\ \ell)$を考える．格子点$(0,\ 0)$から格子点$(k,\ \ell)$へつなぐ方法の数を，この条件を満たすすべての格子点について足し合わせた数を求めよ．
(3)条件$k+\ell=n (n \geqq 1)$を満たす格子点$(k,\ \ell)$を考える．格子点$(0,\ 0)$から格子点$(k,\ \ell)$へつなぐ方法の数を，この条件を満たすすべての格子点について足し合わせた数を$n$を用いて表せ．
(4)条件$k+\ell=n$（$k$と$\ell$はともに偶数で，$n \geqq 2$）を満たす格子点$(k,\ \ell)$を考える．格子点$(0,\ 0)$から格子点$(k,\ \ell)$へつなぐ方法の数を，この条件を満たすすべての格子点について足し合わせた数を$n$を用いて表せ．
(1)格子点$(0,\ 0)$から格子点$(4,\ 0)$へつなぐ方法の数と，格子点$(0,\ 0)$から格子点$(2,\ 2)$へつなぐ方法の数を，それぞれ求めよ．
(2)条件$k+\ell=5$を満たす格子点$(k,\ \ell)$を考える．格子点$(0,\ 0)$から格子点$(k,\ \ell)$へつなぐ方法の数を，この条件を満たすすべての格子点について足し合わせた数を求めよ．
(3)条件$k+\ell=n (n \geqq 1)$を満たす格子点$(k,\ \ell)$を考える．格子点$(0,\ 0)$から格子点$(k,\ \ell)$へつなぐ方法の数を，この条件を満たすすべての格子点について足し合わせた数を$n$を用いて表せ．
(4)条件$k+\ell=n$（$k$と$\ell$はともに偶数で，$n \geqq 2$）を満たす格子点$(k,\ \ell)$を考える．格子点$(0,\ 0)$から格子点$(k,\ \ell)$へつなぐ方法の数を，この条件を満たすすべての格子点について足し合わせた数を$n$を用いて表せ．
国立 岡山大学 2015年 第2問座標空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$をとり，$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}}$の内積が$0$になるような点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$の集合を$S$とする．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面を$\alpha$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)集合$S$は球面であることを示し，その中心$\mathrm{Q}$の座標と半径$r$の値を求めよ．
(2)原点$\mathrm{O}$から最も遠い距離にある$S$上の点の座標を求めよ．
(3)$(1)$で求めた点$\mathrm{Q}$は，平面$\alpha$上にあることを示せ．
(4)$(1)$で求めた点$\mathrm{Q}$を通って平面$\alpha$に垂直な直線を$\ell$とする．球面$S$と直線$\ell$のすべての共有点について，その座標を求めよ．
(1)集合$S$は球面であることを示し，その中心$\mathrm{Q}$の座標と半径$r$の値を求めよ．
(2)原点$\mathrm{O}$から最も遠い距離にある$S$上の点の座標を求めよ．
(3)$(1)$で求めた点$\mathrm{Q}$は，平面$\alpha$上にあることを示せ．
(4)$(1)$で求めた点$\mathrm{Q}$を通って平面$\alpha$に垂直な直線を$\ell$とする．球面$S$と直線$\ell$のすべての共有点について，その座標を求めよ．
国立 東北大学 2015年 第2問$xy$平面において，$3$次関数$y=x^3-x$のグラフを$C$とし，不等式
\[ x^3-x>y>-x \]
の表す領域を$D$とする．また，$\mathrm{P}$を$D$の点とする．
(1)$\mathrm{P}$を通り$C$に接する直線が$3$本存在することを示せ．
(2)$\mathrm{P}$を通り$C$に接する$3$本の直線の傾きの和と積がともに$0$となるような$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
\[ x^3-x>y>-x \]
の表す領域を$D$とする．また，$\mathrm{P}$を$D$の点とする．
(1)$\mathrm{P}$を通り$C$に接する直線が$3$本存在することを示せ．
(2)$\mathrm{P}$を通り$C$に接する$3$本の直線の傾きの和と積がともに$0$となるような$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
国立 東北大学 2015年 第4問$a>0$を実数とする．$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し，座標平面の$3$点
\[ (2n\pi,\ 0),\quad \left( \left(2n+\frac{1}{2} \right) \pi,\ \frac{1}{{\left\{ \left( 2n+\displaystyle\frac{1}{2} \right)\pi \right\}}^a} \right),\quad ((2n+1)\pi,\ 0) \]
を頂点とする三角形の面積を$A_n$とし，
\[ B_n=\int_{2n\pi}^{(2n+1)\pi} \frac{\sin x}{x^a} \, dx,\qquad C_n=\int_{2n\pi}^{(2n+1)\pi} \frac{\sin^2 x}{x^a} \, dx \]
とおく．
(1)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{2}{\{(2n+1)\pi\}^a} \leqq B_n \leqq \frac{2}{(2n\pi)^a} \]
(2)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{A_n}{B_n}$を求めよ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{A_n}{C_n}$を求めよ．
\[ (2n\pi,\ 0),\quad \left( \left(2n+\frac{1}{2} \right) \pi,\ \frac{1}{{\left\{ \left( 2n+\displaystyle\frac{1}{2} \right)\pi \right\}}^a} \right),\quad ((2n+1)\pi,\ 0) \]
を頂点とする三角形の面積を$A_n$とし，
\[ B_n=\int_{2n\pi}^{(2n+1)\pi} \frac{\sin x}{x^a} \, dx,\qquad C_n=\int_{2n\pi}^{(2n+1)\pi} \frac{\sin^2 x}{x^a} \, dx \]
とおく．
(1)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{2}{\{(2n+1)\pi\}^a} \leqq B_n \leqq \frac{2}{(2n\pi)^a} \]
(2)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{A_n}{B_n}$を求めよ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{A_n}{C_n}$を求めよ．
国立 東北大学 2015年 第5問$t>0$を実数とする．座標平面において，$3$点$\mathrm{A}(-2,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0)$，$\mathrm{P}(t,\ \sqrt{3}t)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABP}$を考える．
(1)三角形$\mathrm{ABP}$が鋭角三角形となるような$t$の範囲を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABP}$の垂心の座標を求めよ．
(3)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BP}$，$\mathrm{PA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とおく．$t$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，三角形$\mathrm{ABP}$を線分$\mathrm{MQ}$，$\mathrm{QR}$，$\mathrm{RM}$で折り曲げてできる四面体の体積の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．
(1)三角形$\mathrm{ABP}$が鋭角三角形となるような$t$の範囲を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABP}$の垂心の座標を求めよ．
(3)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BP}$，$\mathrm{PA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とおく．$t$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，三角形$\mathrm{ABP}$を線分$\mathrm{MQ}$，$\mathrm{QR}$，$\mathrm{RM}$で折り曲げてできる四面体の体積の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．
国立 東北大学 2015年 第2問$t>0$を実数とする．座標平面において，$3$点$\mathrm{A}(-2,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0)$，$\mathrm{P}(t,\ \sqrt{3}t)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABP}$を考える．
(1)三角形$\mathrm{ABP}$が鋭角三角形となるような$t$の範囲を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABP}$の垂心の座標を求めよ．
(3)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BP}$，$\mathrm{PA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とおく．$t$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，三角形$\mathrm{ABP}$を線分$\mathrm{MQ}$，$\mathrm{QR}$，$\mathrm{RM}$で折り曲げてできる四面体の体積の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．
(1)三角形$\mathrm{ABP}$が鋭角三角形となるような$t$の範囲を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABP}$の垂心の座標を求めよ．
(3)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BP}$，$\mathrm{PA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とおく．$t$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，三角形$\mathrm{ABP}$を線分$\mathrm{MQ}$，$\mathrm{QR}$，$\mathrm{RM}$で折り曲げてできる四面体の体積の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．
国立 九州大学 2015年 第1問座標平面上の$2$つの放物線
\[ \begin{array}{rcl}
C_1 & : & y=x^2 \\
C_2 & : & y=-x^2+ax+b \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \]
を考える．ただし，$a,\ b$は実数とする．
(1)$C_1$と$C_2$が異なる$2$点で交わるための$a,\ b$に関する条件を求めよ．
以下，$a,\ b$が$(1)$の条件を満たすとし，$C_1$と$C_2$で囲まれる部分の面積が$9$であるとする．
(2)$b$を$a$を用いて表せ．
(3)$a$がすべての実数値をとって変化するとき，放物線$C_2$の頂点が描く軌跡を座標平面上に図示せよ．
\[ \begin{array}{rcl}
C_1 & : & y=x^2 \\
C_2 & : & y=-x^2+ax+b \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \]
を考える．ただし，$a,\ b$は実数とする．
(1)$C_1$と$C_2$が異なる$2$点で交わるための$a,\ b$に関する条件を求めよ．
以下，$a,\ b$が$(1)$の条件を満たすとし，$C_1$と$C_2$で囲まれる部分の面積が$9$であるとする．
(2)$b$を$a$を用いて表せ．
(3)$a$がすべての実数値をとって変化するとき，放物線$C_2$の頂点が描く軌跡を座標平面上に図示せよ．
国立 新潟大学 2015年 第3問$f(x)=x^2-2x+2$とする．放物線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$における接線を$\ell_1$とし，放物線$y=f(x)$上の点$\mathrm{Q}(p+1,\ f(p+1))$における接線を$\ell_2$とする．$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$の交点を$\mathrm{R}$とする．ただし$p$は定数である．次の問いに答えよ．
(1)直線$\ell_1,\ \ell_2$の方程式をそれぞれ$p$を用いて表せ．
(2)交点$\mathrm{R}$の座標を$p$を用いて表せ．
(3)放物線$y=f(x)$と$2$直線$\ell_1,\ \ell_2$とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)直線$\ell_1,\ \ell_2$の方程式をそれぞれ$p$を用いて表せ．
(2)交点$\mathrm{R}$の座標を$p$を用いて表せ．
(3)放物線$y=f(x)$と$2$直線$\ell_1,\ \ell_2$とで囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 新潟大学 2015年 第3問座標平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周$C$上の点を$\mathrm{A}(a,\ b)$とし，$f(x)=(x-a)^2+b$とする．点$\mathrm{B}(0,\ -2)$から放物線$y=f(x)$に引いた接線を$\ell_1$，$\ell_2$とし，接点をそれぞれ$\mathrm{P}(p,\ f(p))$，$\mathrm{Q}(q,\ f(q))$とする．ただし$p<q$である．放物線$y=f(x)$と$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$とで囲まれた部分の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．
(1)接線$\ell_1$の方程式と接点$\mathrm{P}$の座標，および接線$\ell_2$の方程式と接点$\mathrm{Q}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)面積$S$を$b$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{A}$が円周$C$上を動くとき，面積$S$の最大値とそのときの点$\mathrm{A}$の座標$(a,\ b)$を求めよ．
(1)接線$\ell_1$の方程式と接点$\mathrm{P}$の座標，および接線$\ell_2$の方程式と接点$\mathrm{Q}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)面積$S$を$b$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{A}$が円周$C$上を動くとき，面積$S$の最大値とそのときの点$\mathrm{A}$の座標$(a,\ b)$を求めよ．