$\ell$を座標平面上の原点を通り傾きが正の直線とする．さらに，以下の$3$条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$で定まる円$C_1$，$C_2$を考える．

(i) 円$C_1$，$C_2$は$2$つの不等式$x \geqq 0$，$y \geqq 0$で定まる領域に含まれる．
(ii) 円$C_1$，$C_2$は直線$\ell$と同一点で接する．
(iii) 円$C_1$は$x$軸と点$(1,\ 0)$で接し，円$C_2$は$y$軸と接する．

円$C_1$の半径を$r_1$，円$C_2$の半径を$r_2$とする．$8r_1+9r_2$が最小となるような直線$\ell$の方程式と，その最小値を求めよ．
（図は省略）

座標平面上の点$\mathrm{P}(1,\ 1)$を中心とし，原点$\mathrm{O}$を通る円を$C_1$とする．$k$を正の定数として，曲線$\displaystyle y=\frac{k}{x} (x>0)$を$C_2$とする．$C_1$と$C_2$は$2$点で交わるとし，その交点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とするとき，直線$\mathrm{PQ}$は$x$軸に平行であるとする．点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$q$とし，点$\mathrm{R}$の$x$座標を$r$とする．次の問いに答えよ．

(1)$k,\ q,\ r$の値を求めよ．
(2)曲線$C_2$と線分$\mathrm{OQ}$，$\mathrm{OR}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(3)$x=1+\sqrt{2} \sin \theta$とおくことにより，定積分$\displaystyle \int_r^q \sqrt{2-(x-1)^2} \, dx$の値を求めよ．
(4)円$C_1$の原点$\mathrm{O}$を含まない弧$\mathrm{QR}$と曲線$C_2$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$a$を実数とするとき，$(a,\ 0)$を通り，$y=e^x+1$に接する直線がただ$1$つ存在することを示せ．
(2)$a_1=1$として，$n=1,\ 2,\ \cdots$について，$(a_n,\ 0)$を通り，$y=e^x+1$に接する直線の接点の$x$座標を$a_{n+1}$とする．このとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} (a_{n+1}-a_n)$を求めよ．

空間の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(-1,\ 1,\ 1)$の定める平面を$\alpha$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．$\alpha$上の点$\mathrm{C}$があり，その$x$座標が正であるとする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$が$\overrightarrow{a}$に垂直で，大きさが$1$であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．

(1)$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(2)$\overrightarrow{b}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{c}$をみたす実数$s,\ t$を求めよ．
(3)$\alpha$上にない点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$から$\alpha$に垂線を下ろし，$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=k \overrightarrow{a}+l \overrightarrow{c}$をみたす実数$k,\ l$を$x,\ y,\ z$で表せ．

座標平面上の原点を$\mathrm{O}$とする．点$\mathrm{A}(a,\ 0)$，点$\mathrm{B}(0,\ b)$および点$\mathrm{C}$が
\[ \mathrm{OC}=1,\quad \mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA} \]
を満たしながら動く．

(1)$s=a^2+b^2,\ t=ab$とする．$s$と$t$の関係を表す等式を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積のとりうる値の範囲を求めよ．

$xyz$空間において，原点を中心とする$xy$平面上の半径$1$の円周上を点$\mathrm{P}$が動き，点$(0,\ 0,\ \sqrt{3})$を中心とする$xz$平面上の半径$1$の円周上を点$\mathrm{Q}$が動く．

(1)線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値と，そのときの点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値と，そのときの点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

座標空間内に$5$点
\[ \mathrm{O}(0,\ 0,\ 0),\quad \mathrm{A} \left(0,\ 0,\ \frac{3}{4} \right),\quad \mathrm{B}\left( \frac{1}{2},\ 0,\ \frac{1}{2} \right),\quad \mathrm{C}(s,\ t,\ 0),\quad \mathrm{D}(0,\ u,\ 0) \]
がある．ただし，$s,\ t,\ u$は実数で，$s>0$，$t>0$，$s+t=1$を満たすとする．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面が$y$軸と点$\mathrm{D}$で交わっているとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{AB}$と$x$軸との交点の$x$座標を求めよ．
(2)$u$を$t$を用いて表せ．また，$0<u<1$であることを示せ．
(3)点$(0,\ 1,\ 0)$を$\mathrm{E}$とする．点$\mathrm{D}$が線分$\mathrm{OE}$を$12:1$に内分するとき，$t$の値を求めよ．

$s,\ t$を$s<t$をみたす実数とする．座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 2)$，$\mathrm{B}(s,\ s^2)$，$\mathrm{C}(t,\ t^2)$が一直線上にあるとする．以下の問に答えよ．

(1)$s$と$t$の間の関係式を求めよ．
(2)線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}(u,\ v)$とする．$u$と$v$の間の関係式を求めよ．
(3)$s,\ t$が変化するとき，$v$の最小値と，そのときの$u,\ s,\ t$の値を求めよ．

座標平面上の$2$つの曲線$\displaystyle y=\frac{x-3}{x-4}$，$\displaystyle y=\frac{1}{4}(x-1)(x-3)$をそれぞれ$C_1$，$C_2$とする．以下の問に答えよ．

(1)$2$曲線$C_1$，$C_2$の交点をすべて求めよ．
(2)$2$曲線$C_1$，$C_2$の概形をかき，$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$a$を正の実数とする．座標平面上の曲線$C$を
\[ y=x^4-2(a+1)x^3+3ax^2 \]
で定める．曲線$C$が$2$つの変曲点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をもち，それらの$x$座標の差が$\sqrt{2}$であるとする．以下の問に答えよ．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)線分$\mathrm{PQ}$の中点と$x$座標が一致するような，$C$上の点を$\mathrm{R}$とする．三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．
(3)曲線$C$上の点$\mathrm{P}$における接線が$\mathrm{P}$以外で$C$と交わる点を$\mathrm{P}^\prime$とし，点$\mathrm{Q}$における接線が$\mathrm{Q}$以外で$C$と交わる点を$\mathrm{Q}^\prime$とする．線分$\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime$の中点の$x$座標を求めよ．