数直線上に$2$点$\mathrm{Q}(-1)$と$\displaystyle \mathrm{P}_1 \left( \frac{1}{2} \right)$をとり，線分$\mathrm{QP}_1$を$3:1$に外分する点を$\mathrm{P}_2$，線分$\mathrm{QP}_2$を$3:1$に外分する点を$\mathrm{P}_3$とする．以下同様に$n=1,\ 2,\ \cdots$に対し線分$\mathrm{QP}_n$を$3:1$に外分する点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．また$\mathrm{P}_n$の座標を$a_n$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$\mathrm{A}$を数直線上の$\mathrm{Q}$と異なる点とする．線分$\mathrm{QA}$を$3:1$に外分する点が$\mathrm{P}_1$であるとき，$\mathrm{A}$の座標$a$を求めなさい．
(2)すべての自然数$n$に対して
\[ a_n=\left( \frac{3}{2} \right)^n-1 \]
が成り立つことを$n$に関する数学的帰納法で証明しなさい．
(3)$999<a_n<9999$をみたす自然数$n$をすべて求めなさい．ただし，本問では$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．

$\theta$は$0 \leqq \theta<2\pi$をみたす実数とする．
\[ f(x)=x^2-(2 \cos \theta)x-\sin^2 \theta+\sin \theta+\frac{1}{2} \]
とおくとき，以下の問いに答えなさい．

(1)放物線$y=f(x)$の頂点の座標を求めなさい．
(2)方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつような$\theta$の範囲を求めなさい．
(3)$\theta$が$(2)$で求めた範囲を動くとき，放物線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる図形の面積を$S(\theta)$とする．$S(\theta)$を最大にする$\theta$の値と，$S(\theta)$の最大値を求めなさい．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に，異なる$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{P}$がある．それぞれの位置ベクトルを$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{p}$とし，$\overrightarrow{p}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$および$2s+t=2$を満たすとする．ただし，$s>0$，$t>0$とする．また$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$がなす角度を$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{C}$の位置ベクトル$\overrightarrow{c}$が$\overrightarrow{c}=2 \overrightarrow{b}$を満たすとき，点$\mathrm{P}$は直線$\mathrm{AC}$上にあることを示せ．
(2)点$\mathrm{P}$を中心とする円が直線$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$に接しているとする．$|\overrightarrow{a|}=3$，$|\overrightarrow{b|}=1$とするとき，$s$と$t$を求めよ．
(3)$(2)$のとき，直線$\mathrm{OA}$に関して，点$\mathrm{P}$と対称な点$\mathrm{Q}$の位置ベクトルを$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\theta$で表せ．

座標平面上に楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$と放物線$y^2=x-t$があり，$t>0$とする．この楕円と放物線の共有点が$2$個であるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$t$の条件を求めよ．
(2)$2$個の共有点の$x$座標を$t$を用いて表せ．
(3)$2$個の共有点における放物線の接線が垂直に交わるように$t$の値を定めよ．

楕円$\displaystyle C_1:\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$の焦点を$\mathrm{F}$，$\mathrm{F}^\prime$とする．ただし，$\mathrm{F}$の$x$座標は正である．正の実数$m$に対し，$2$直線$y=mx$，$y=-mx$を漸近線にもち，$2$点$\mathrm{F}$，$\mathrm{F}^\prime$を焦点とする双曲線を$C_2$とする．第$1$象限にある$C_1$と$C_2$の交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$C_2$の方程式を$m$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{FP}$および線分$\mathrm{F}^\prime \mathrm{P}$の長さを$m$を用いて表せ．
(3)$\angle \mathrm{F}^\prime \mathrm{PF}={60}^\circ$となる$m$の値を求めよ．

$a$と$b$は$a^2>b$をみたす実数であるとする．座標平面において，点$\mathrm{P}(a,\ b)$から曲線$y=x^2$に引いた$2$つの接線の接点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$a$と$b$の式で表しなさい．
(2)三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S$を$a$と$b$の式で表しなさい．
(3)直線$y=2x-3$を$\ell$とする．点$\mathrm{P}$が$\ell$上を動くとき，$(2)$の$S$の最小値を求めなさい．

関数$f(x)=1-|ax(1-x)-1|$について，以下の問いに答えよ．ただし，$a$は正の実数とする．

(1)$ax(1-x)-1$が常に負になるための$a$の条件を求めよ．
(2)$a=6$のとき，$y=f(x)$のグラフを描け．
(3)関数$f(x)$の最大値を$M(a)$とする．$a$がすべての正の実数値をとって変化するとき，点$(a,\ M(a))$を座標平面上に図示せよ．
(4)直線$y=x$と$y=f(x)$のグラフが$3$つの共有点をもつときの$a$の値を求めよ．

$a,\ b$を実数とする．関数$f(x)=x^3-3a^2x+2b$について，以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$が単調に増加するとき，$a$についての条件を求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフが$x$軸と異なる$3$点で交わるための条件を$a$と$b$を用いて表せ．
(3)$a,\ b$が$(2)$で求めた条件をみたすとき，点$(a,\ b)$が存在する領域を座標平面上に図示せよ．

座標平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上に，中心角$\theta$の弧$\mathrm{AB}$をとる．ただし，点$\mathrm{A}$の座標を$(1,\ 0)$，$\displaystyle 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)扇形$\mathrm{OAB}$を$x$軸の周りに$1$回転させた回転体の体積$V_1(\theta)$を求めよ．
(2)扇形$\mathrm{OAB}$を$y$軸の周りに$1$回転させた回転体の体積$V_2(\theta)$を求めよ．
(3)体積の差$V(\theta)=V_2(\theta)-V_1(\theta)$を$\theta$の関数として，そのグラフをかけ．

袋の中に，赤玉，青玉，白玉，黒玉が$1$つずつ，全部で$4$つ入っている．この袋から玉を$1$つ取り出して，また袋に戻す試行を繰り返す．座標平面上を動く点$\mathrm{P}$がはじめ原点$\mathrm{O}$にあり，試行のたびに，次の規則に従って動くものとする．
\begin{itemize}
赤玉が出たとき，$\mathrm{P}$は$x$軸の正の向きに$2$だけ進む．
青玉が出たとき，$\mathrm{P}$は$x$軸の正の向きに$1$だけ進む．
白玉が出たとき，$\mathrm{P}$は$y$軸の正の向きに$2$だけ進む．
黒玉が出たとき，$\mathrm{P}$は$y$軸の正の向きに$1$だけ進む．
\end{itemize}
このとき，以下の問いに答えよ．

(1)試行を$3$回繰り返した結果，$\mathrm{P}$が点$(2,\ 1)$にある確率を求めよ．
(2)試行を$3$回繰り返した結果，$\mathrm{P}$が$y$軸上にある確率を求めよ．
(3)試行を$5$回繰り返した結果，$\mathrm{OP}=5$となる確率を求めよ．
(4)試行を$5$回繰り返した結果，$\mathrm{P}$が不等式$6 \leqq x+y \leqq 8$の表す領域にある確率を求めよ．