曲線$C:y=e^x$と直線$\ell:y=x$について，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ e^t)$を通り，直線$\ell$と直交する直線の方程式を求めよ．
(2)$(1)$で求めた直線と直線$\ell$との交点$\mathrm{Q}$の座標を$t$で表せ．
(3)点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の距離を$t$で表せ．
(4)$(3)$で求めた距離の最小値を求めよ．

次の$[　]$に適する答を記入せよ．

(1)等式$xy+3x-y-3=5$を満たす自然数$x,\ y$は$x=[　]$，$y=[　]$である．
(2)$\mathrm{O}$を原点とする座標平面に$2$点$\mathrm{A}(\cos \theta,\ \sin \theta)$と$\mathrm{B}(\cos 2\theta,\ \sin 2\theta) (0 \leqq \theta \leqq \pi)$がある．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が垂直になるのは$\theta=[　]$のときであり，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=1$となるのは$\theta=[　]$のときである．
(3)$a,\ b$を実数の定数とする．方程式$x^3+ax+b=0$の$1$つの解が$1+\sqrt{2}i$であるとき，$a=[　]$である．また，この方程式の実数解は$[　]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．

以下の問いに答えよ．

(1)直線$y=2x+3$に対して，点$\mathrm{A}(1,\ 3)$と対称な点$\mathrm{A}^\prime$の座標を求めよ．
(2)点$\displaystyle \mathrm{B} \left( 2,\ \frac{6}{5} \right)$とするとき，直線$y=2x+3$上に点$\mathrm{P}$を取り，線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{PB}$の長さの和を最小にする点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)直線$y=2x+3$に対して，点$\mathrm{A}(1,\ 3)$と対称な点$\mathrm{A}^\prime$の座標を求めよ．
(2)点$\displaystyle \mathrm{B} \left( 2,\ \frac{6}{5} \right)$とするとき，直線$y=2x+3$上に点$\mathrm{P}$を取り，線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{PB}$の長さの和を最小にする点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

以下の問いに答えよ．

$y=\sin x (0 \leqq x<2\pi) \cdots\cdots①$
$y=\cos x (0 \leqq x<2\pi) \cdots\cdots②$

(1)$①$式と$②$式で表される$2$曲線の交点の座標を求めよ．
(2)$①$式と$②$式で表される$2$曲線で囲まれる図形の面積を求めよ．

原点をOとする座標平面上のベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$は$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=\sqrt{17},\ |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\sqrt{10}$を満たし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角$\theta$が$\displaystyle \cos \theta =- \frac{13}{\sqrt{170}}$を満たしている．ベクトル$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$を$\displaystyle \overrightarrow{u} = \frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{2},\ \overrightarrow{v}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{2}$で定める．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)長さ$|\overrightarrow{u}|,\ |\overrightarrow{v}|$と内積$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$を求めなさい．
(2)実数$t$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OP}} = t \overrightarrow{u}+(1-t)\overrightarrow{v}$とおく．長さ$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$を最小にする$t$の値を求めなさい．また，そのときの長さ$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$を求めなさい．

以下の問いに答えなさい．

(1)$s$を$0 \leqq s \leqq \sqrt{2}$を満たす実数とする．直線$y = x$と直線$y = -x+ \sqrt{2}s$の交点をPとする．直線$y = -x+\sqrt{2}s$と曲線$y =-x^2 +2x$の交点で$x$座標が1以下である点をQとし，Qの$x$座標を$t$とする．このとき，点Pと点Qの距離および$s$を，$t$を用いて表しなさい．
(2)直線$y = x$と曲線$y =-x^2 +2x$で囲まれた図形を直線$y = x$のまわりに回転させてできる立体の体積を求めなさい．

$a,\ b$を正の実数とし，座標平面上の放物線$C : y = ax^2 +b$を考える．$t,\ s$は正の実数とし，点P$(t,\ at^2 +b)$における$C$の接線を$\ell_P$，点Q$(s,\ as^2 +b)$における$C$の接線を$\ell_Q$で表す．$\ell_P$は原点を通っているとする．次の問いに答えよ．

(1)$\ell_P$の傾きが1未満となるための必要十分条件を，$a$と$b$を用いて表せ．
(2)$\ell_P$の傾きは1未満とし，$\ell_P$と$x$軸がなす鋭角を$\theta$と表す．Qを$\ell_Q$と$x$軸のなす鋭角が$2\theta$になるようにとるとき，$\ell_Q$の傾きを$a$と$b$を用いて表せ．
(3)$a,\ b$が$\displaystyle a+b = \frac{1}{2}$をみたすとき，$\ell_P$の傾きは1未満であることを示せ．
(4)$a,\ b$は$\displaystyle a+b = \frac{1}{2}$をみたすものとし，Qを(2)のようにとる．$\ell_Q$の傾きが最大になるような$a,\ b$を求めよ．

$a,\ b$は$a < b$をみたす実数とする．$f(x),\ g(x)$は閉区間$[ \; a,\ b \; ]$で定義された連続関数で，$g(x) \leqq f(x)$をみたすとする．座標平面上，不等式$a \leqq x \leqq b,\ g(x) \leqq y \leqq f(x)$をみたす点$(x,\ y)$全体からなる図形をAとする．Aの面積$S$が正のとき，Aの重心の$y$座標は，
\[ \frac{1}{S} \int_a^b \frac{\{f(x)\}^2-\{g(x)\}^2}{2} \, dx \]
で与えられる．この事実を用いて，次の問いに答えよ．

(1)$r$は$0 < r < 1$をみたす実数とする．不等式$r^2 \leqq x^2 + y^2 \leqq 1,\ y \geqq 0$をみたす点$(x,\ y)$全体からなる図形をBとおく．Bの重心の$y$座標$Y(r)$を$r$を用いて表せ．
(2)$t$は正の実数とする．不等式$-1 \leqq x \leqq 1,\ \sqrt{1-x^2} -t \leqq y \leqq \sqrt{1-x^2}$をみたす点$(x,\ y)$全体からなる図形をCとおく．Cの重心の$y$座標$Z(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)(1)で得られた$Y(r)$と(2)で得られた$Z(t)$について，$\displaystyle \lim_{r \to 1-0}Y(r)$と$\displaystyle \lim_{t \to +0}Z(t)$の大小を比較せよ．

関数$f(x)=xe^x$について，以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の最小値を求めよ．
(2)$f(x)$の接線の傾きが負であるとき，接線と$x$軸との交点の$x$座標の最大値を求めよ．