関数$f(x)$を
\[ f(x)=3x^2-2ax+b \]
とする．ただし，$a,\ b$は実数である．また，関数$F(x)$を
\[ F(x)=\int_0^x f(t) \, dt \]
と定義する．以下の問いに答えなさい．

(1)$F(x)$を求めなさい．
(2)放物線$y=f(x)$の頂点の$y$座標は$-3$であり，$y=f(x)$のグラフと$y=F(x)$のグラフとは$x$軸上で原点以外の共有点をもつ．このとき，$a,\ b$を求めなさい．
(3)(2)で求めた$a,\ b$に対し，$y=F(x)$の極大値と極小値を求め，$y=F(x)$のグラフを描きなさい．

$a>0$のとき，座標平面上に曲線$C:y=x^2-x$と点$\mathrm{A}(a,\ -3a^2-a)$を考える．$\mathrm{A}$を通る$2$つの$C$の接線を$\ell_1$，$\ell_2$とする．ただし，接点の$x$座標が小さい方を$\ell_1$とする．

(1)座標平面上に$C$のグラフをかき，$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S_1$を求めよ．
(2)$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を求めよ．
(3)$C$と$\ell_1$および直線$x=a$で囲まれた部分の面積$S_2$を求めよ．
(4)$(1)$の$S_1$と$(3)$の$S_2$が等しくなるような$a$の値を求めよ．

$t$を任意の実数として，放物線$C_1:y=x^2-2(3t+2)x+4(3t+5)$を考える．

(1)$C_1$の頂点の座標を$t$で表せ．
(2)$t$の値が変化するとき，$C_1$の頂点が描く曲線$C_2$の方程式を求めよ．また，$C_2$の$y$座標が最大となるときの$t$の値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$C_2$と$x$軸との交点を，$x$座標の小さい順に$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．また，$\mathrm{PQ}$と平行な線分$\mathrm{RS}$の長さが$\mathrm{PQ}$より小さくなるように，$C_2$上に$2$点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$を，$x$座標の小さい順にとる．このとき，四角形$\mathrm{PQSR}$の面積の最大値とそのときの$\mathrm{RS}$の長さを求めよ．

放物線$C:y=x^2$と直線$\ell$があり，これらは$2$点$\mathrm{A}(\alpha,\ \alpha^2)$，$\mathrm{B}(\beta,\ \beta^2)$で交わっている．ただし，$\alpha<\beta$である．

(1)$\ell$の方程式を$\alpha,\ \beta$で表せ．
(2)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$それぞれで$C$に接する$2$本の直線が交わる点を$\mathrm{T}$とする．$\mathrm{T}$の座標を$\alpha,\ \beta$で表せ．
(3)$\ell$が定点$(-1,\ 0)$を通るとき，$(2)$の$\mathrm{T}$の軌跡を求めよ．

座標平面上に直線$\ell:y=mx-4m$と放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{4}x^2$がある．$m$は，$\ell$と$C$が異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるような値をとるとする．また，線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とする．

(1)$\ell$は$m$の値にかかわりなく，ある定点を通る．この点の座標を求めよ．
(2)$m$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)$\mathrm{M}$の軌跡を求め，座標平面上にそれを図示せよ．

座標平面上に曲線$C:y=e^{-x}$があり，$C$上に点$\mathrm{P}(a,\ e^{-a})$がある．ただし$a \geqq 0$とする．

(1)$\mathrm{P}$における$C$の接線の方程式を求めよ．
(2)$(1)$の接線と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(3)$a \geqq 0$における$(2)$の$S$の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，関数$y=\cos 2\theta-2 \sin \theta$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めると$(y,\ \theta)=[ア]$であり，最小値とそのときの$\theta$の値を求めると$(y,\ \theta)=[イ]$である．
(2)実数$a,\ b$を係数とする方程式$x^3+ax^2+bx-4=0$の解の$1$つが$1-i$であるとき，残りの解のうち実数解を求めると$x=[ウ]$であり，$a,\ b$の値を求めると$(a,\ b)=[エ]$である．ただし，$i$は虚数単位である．
(3)$x$についての方程式$9^x-a \cdot 3^x+a^2-a=0$が$2$つの異なる実数解をもつとき，定数$a$のとりうる値の範囲は$[オ]$である．また，$x \geqq \sqrt{2}$，$y \geqq 1$，$x^2y=4$のとき，$(1+\log_2x)(\log_2y)$が最大値をとる$x,\ y$の値を求めると，$(x,\ y)=[カ]$である．
(4)座標平面上に中心が原点$\mathrm{O}$で半径が$3$の円$C$と，傾きが負で点$\mathrm{A}(5,\ 0)$を通る直線$\ell$を考える．$C$と$\ell$は$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$（$\mathrm{AP}<\mathrm{AQ}$）で交わるとする．$\angle \mathrm{POQ}$を$\theta$とするとき，$\triangle \mathrm{PQO}$の面積$S_1$を$\theta$を用いて表すと$S_1=[キ]$である．また，点$\mathrm{B}$の座標を$(-3,\ 0)$とするとき，$\triangle \mathrm{PQB}$の面積$S_2$の最大値は$[ク]$である．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に四面体$\mathrm{OABC}$がある．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標は，$\mathrm{A}(\sqrt{2},\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ \sqrt{3},\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 2)$である．また，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面上に点$\mathrm{P}$があり，実数$s,\ t$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s \overrightarrow{\mathrm{AB}}+t \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を満たす．

(1)$\mathrm{P}$の座標を$s,\ t$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AC}}$のとき，$s,\ t$を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(4)$(2)$のとき，直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{H}$とする．$|\overrightarrow{\mathrm{AH}}|$を求めよ．

$xy$平面上の$3$点$(0,\ -13)$，$(1,\ -6)$，$(3,\ 2)$を通る$2$次関数のグラフ$y=f(x)$があり，これと$x$軸で囲まれた部分の中に存在する平行四辺形$\mathrm{ABCD}$を考える．ここで，平行四辺形の辺$\mathrm{AB}$は$x$軸上にあり，点$\mathrm{C}$と点$\mathrm{D}$は$2$次関数のグラフ上にある．ただし，点$\mathrm{A}$の$x$座標は点$\mathrm{B}$の$x$座標より小さく，点$\mathrm{C}$の$x$座標は$4$より大きいものとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)上の条件を満たす$f(x)$を求めよ．
(2)点$\mathrm{C}$の$x$座標を$t$とするとき，平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を$t$を用いて表せ．
(3)平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$の最大値を求めよ．

$a$を正の実数とし，関数$y=x^2+a$のグラフを$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}$において$C$に接線$\ell$をひき，$\ell$と$y=x^2$のグラフの交点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{Q}$の$x$座標を$\alpha$，$\mathrm{R}$の$x$座標を$\beta$とするとき，$|\alpha-\beta|$は$\mathrm{P}$の取り方によらないことを証明せよ．