$x^2-y^2=2$で表される曲線を$C$とし，P$(x_0,\ y_0)$を$C$上の点とする．次の各問いに答えよ．

(1)曲線$C$の点Pにおける接線$\ell$の方程式は
\[ x_0x-y_0y=2 \]
となることを証明せよ．
(2)原点Oから$\ell$に下ろした垂線をOHとする．Hの座標を$(x_1,\ y_1)$とするとき，$x_1,\ y_1$を$x_0$と$y_0$で表せ．
(3)F$(1,\ 0)$，F$^\prime(-1,\ 0)$とする．$\text{FH} \cdot \text{F}^\prime \text{H}$は点Pの取り方によらず一定であることを証明せよ．また，その値を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)直線$\ell:y=ax+b$が原点を中心とする半径1の円と点$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2} \right)$で接しているとする．また，直線$\ell$は放物線$C:y=x^2-\sqrt{3}x+c$とも接しているとする．このとき，次の各問いに答えよ．

\mon[(a)] 定数$a,\ b$の値を求めよ．
\mon[(b)] 放物線$C$と直線$\ell$との接点の座標および定数$c$の値を求めよ．
\mon[(c)] 放物線$C$と直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．

(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，
\[ 5 \sin^2 \theta+14 \cos \theta-13 \geqq 0 \]
を満たす$\theta$の中で最大のものを$\alpha$とするとき，$\cos \alpha$と$\tan 2\alpha$の値を求めよ．

自然数$n$に対して，$\{a_n\}$は初項$a$，一般項$a_n$の数列であり，$\{b_n\}$ \\
は初項$b$，一般項$b_n$の数列である．座標平面上の点$\mathrm{P}_n(a_n,\ b_n)$， \\
点$\mathrm{P}_{n+1}(a_{n+1},\ b_{n+1})$と点$\mathrm{Q}_n(a_{n+1},\ b_n)$の座標は数列$\{a_n\}$と \\
$\{b_n\}$によって与えられる．また，点$\mathrm{P}_n$と点$\mathrm{P}_{n+1}$を通る直線の傾 \\
き$g_n$と$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1} \mathrm{Q}_n$の面積$h_n$は，それぞれ$g_n=cb_n,\ h_n=dg_n$で定義され，各点の位置関係は右図のようになる．ここで，$h_n$を一般項とする数列を$\{h_n\}$で表し，また，$d>0$，任意の$n$について$a_{n+1}>a_n,\ h_n>0$と仮定する．
\img{3_2148_2010_1}{50}


(1)数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$と$\{h_n\}$の中から等差数列と等比数列を見つけ，それぞれの公差または公比を$c$と$d$で表しなさい．
(2)数列$\{a_n\}$と数列$\{b_n\}$について，それぞれの一般項と，初項から第$n$項までの和を$a,\ b,\ c,\ d$および$n$で表しなさい．
(3)$\displaystyle d=\frac{1}{2}$のとき，$c$の値の範囲を求めなさい．
(4)$\displaystyle b=1,\ d=\frac{1}{2},\ 4h_2-6h_1-1=0$のとき，$c$の値を求めなさい．
(5)$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$と$\mathrm{Q}_1$の各点を用いて，$\alpha=\angle \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$，$\beta=\angle \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_3$，$\theta=\angle \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_3$と定義する．$\displaystyle b=1,\ c=\frac{2}{3},\ d=\frac{1}{2}$のとき，$\tan \alpha,\ \tan \beta$と$\tan \theta$を求めなさい．

関数$\displaystyle f(x)=\sin x \ \left( -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$の逆関数を$g(x) \ (-1 \leqq t \leqq 1)$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$-1<x<1$のとき，$g^\prime(x)$を$x$を用いて表せ．
(2)曲線$y=\sin^2 x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$と直線$y=t \ (0<t<1)$の2つの交点の$x$座標を，それぞれ$\alpha,\ \beta \ (\alpha<\beta)$とおくとき，$\displaystyle \int_\alpha^\beta \sin^2 x \, dx$を$t$と関数$g$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle h(t)=\frac{2}{\pi}\int_\alpha^\beta \sin^2 x \, dx-\sqrt{1-t^2} \ (0<t<1)$とおくとき，$h(t)<0 \ (0<t<1)$を示し$h(t)$を最小にする$t$の値を求めよ．

次の[　]の中を適当に補いなさい．

(1)$4 \cos 15^\circ(1-\sin^2 15^\circ-\sin 15^\circ)-3(\sin 15^\circ+1) \cos 15^\circ=[　]$．
(2)100人の学生を対象に100点満点の試験を行った結果，平均点が75点，最高点が95点，最低点が25点であった．平均点以上の学生数を$M$とし，$M$の最小値を求めると[　]．ただし，点数は全て自然数とする．
(3)関数$y=x^3-3x$のグラフに，直線$y=-1$上のある点から傾きがそれぞれ$k,\ -k \ (k>0)$の2本の接線が引けるとき，その2本の接線の接点の$x$座標を$\alpha,\ \beta \ (\alpha<\beta)$とする．このとき，$A=\alpha^2+\beta^2,\ B=\alpha^3+\beta^3$の値を計算すると$(A,\ B)=[　]$．

座標平面上の点$\mathrm{A}(a,\ b)$を，原点を中心として$30^\circ$回転移動した点$\mathrm{B}$の$x$座標が$\sqrt{3}-2$で更に，点$\mathrm{B}$を，原点を中心として$-60^\circ$回転移動した点$\mathrm{C}$の$y$座標が$-1+2 \sqrt{3}$であるとき，点$\mathrm{A}(a,\ b)$を求めよ．

関数$f(t)=\sin^2 t+2x \cos t$の$t$に関する最大値$M(x)$を$x$の関数とする．

(1)$-1<x<1$のとき，$M(x)$を$x$を用いて表し，曲線$y=M(x)$の概形を描きなさい．
(2)曲線$y=G(x)=3x^2$と$y=M(x)$で囲まれる図形の面積を求めなさい．
(3)直線$y=x-2$上の点$\mathrm{Q}$から，曲線$y=G(x)$に引いた$2$本の接線$L_1,\ L_2$の接点の$x$座標をそれぞれ$a,\ b$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$a,\ b$を用いて表しなさい．
(4)$2$本の接線$L_1,\ L_2$と曲線$y=G(x)$で囲まれる図形の面積の最小値を求めなさい．

平面上の点P$_n$，Q$_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次のように定める． \\
P$_1(0,\ 0)$，Q$_1(0,\ 1)$とする． P$_n$，Q$_n$が定められているとして，Q$_n$を中心にP$_n$を時計回りに$\displaystyle \frac{\pi}{2}$回転させた点をP$_{n+1}$とする．さらに，P$_{n+1}$を中心にQ$_n$を反時計回りに$\displaystyle \frac{\pi}{2}$回転させた点とP$_{n+1}$の中点をQ$_{n+1}$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)P$_2$，P$_3$の座標を求めなさい．
(2)すべてのP$_n$を通る直線の方程式を求めなさい．
(3)線分P$_n$Q$_n$の長さを$n$の式で表しなさい．
(4)P$_n$の$x$座標を$x_n$とおく．$x_n$を$n$の式で表しなさい．
(5)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$を求めなさい．

$a$を1より大きい実数とし，座標平面上に，点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0)$をとる．曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( p,\ \frac{1}{p} \right)$と，曲線$\displaystyle y=\frac{a}{x}$上の点$\displaystyle \mathrm{Q} \left( q,\ \frac{a}{q} \right)$が，3条件

(1)$p>0,\ q>0$
(2)$\angle \mathrm{AOP}<\angle \mathrm{AOQ}$
(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は3に等しい

をみたしながら動くとき，$\tan \angle \mathrm{POQ}$の最大値が$\displaystyle \frac{3}{4}$となるような$a$の値を求めよ．

$a$を正の実数とする．また，対数は自然対数，$e$は自然対数の底を表す．以下の問いに答えよ．

(1)不定積分$\displaystyle \int \log (ax) \, dx$を求めよ．
(2)$0<x<e$の範囲で曲線$y=\log (ax)$と直線$y=1$とが交わるように，$a$の値の範囲を定めよ．
(3)$a$の値が(2)で求めた範囲にあるとする．座標平面において，曲線$y=\log (ax)$と2直線$y=0,\ x=e$とで囲まれた図形のうち，$y \leqq 1$の部分の面積を$S_1$，$y \geqq 1$の部分の面積を$S_2$とする．$S=S_1-S_2$を$a$を用いて表せ．
(4)$a$の値が(2)で求めた範囲にあるとする．$S$の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．