座標平面上に，点$(0,\ 1)$を中心とする半径$1$の円と点$\mathrm{P}(0,\ h) \ (0<h<2)$がある．点$\mathrm{P}$を通る直線$y=h$と円との交点で第$1$象限にあるものを$\mathrm{Q}$とする．曲線$C:y=\alpha x^2$は点$\mathrm{Q}$を通るとし，$y$軸と曲線$C$および線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた部分を図形$\mathrm{A}$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\alpha$を$h$を用いて表せ．
(2)図形$\mathrm{A}$の面積$S$を$h$の式で表し，$S$の最大値を求めよ．
(3)図形$\mathrm{A}$を$y$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積$V$を$h$の式で表し，$V$の最大値を求めよ．
(4)$S,\ V$は，それぞれ(2)，(3)で求めたものとする．$\displaystyle X=\frac{V}{2\pi S}$とおくとき，$X$の最大値を求めよ．

点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ -1)$がある．このとき，以下の各問に答えよ．

(1)実数$s,\ t$によって，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$で定められる点$\mathrm{P}$を考える．$s,\ t$が$s+2t \leqq 2$，$s \geqq 0$，$t \geqq 0$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{P}$の存在する範囲を求めよ．さらに，その範囲が表す図形を図示せよ．
(2)実数$u$によって，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=(1-u)\overrightarrow{\mathrm{QA}}+2u\overrightarrow{\mathrm{QB}}$で定められる点$\mathrm{Q}$を考える．$u$が$0 \leqq u \leqq 1$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{Q}$の存在する範囲を求めよ．さらに，その範囲が表す図形を図示せよ．
(3)(1)で得られた図形が，(2)で得られた図形によって$2$つの図形に分割される．この$2$つの図形の面積をそれぞれ$S,\ T (S \leqq T)$とおくとき，$\displaystyle \frac{S}{T}$の値を求めよ．

$xy$平面上の放物線$C:y=x^2-3x$と，点P$(1,\ -6)$に対して，次の問いに答えよ．

(1)Pを通って放物線$C$に接する直線の方程式を求めよ．
(2)放物線$C$と(1)の直線との接点のうち$x$座標が負のものをQ，正のものをRとする．Sは直線QR上にありQと異なる点とする．Sの$x$座標を$t$とし，P，Q，Sの3点を通る円の方程式を$x^2+y^2+lx+my+n=0$とするとき，$l,\ m,\ n$をそれぞれ$t$の式で表せ．
(3)(2)の円の中心の軌跡を求めよ．さらに，(2)の円の半径が最小となる$t$の値を求めよ．

座標平面上に，点$\mathrm{P}(p,\ q)$を中心とする楕円がある．長軸，短軸がそれぞれ$x$軸，$y$軸に平行であり，それぞれの長さは$4,\ 2$である．このとき，以下の問に答えよ．

(1)この楕円の方程式を求めよ．
(2)原点から，この楕円に異なる$2$本の接線が引けるような，点$\mathrm{P}(p,\ q)$の存在範囲を求めて，図示せよ．
(3)さらに，原点から，この楕円に$2$本の直交する接線が引けるような，点$\mathrm{P}(p,\ q)$の存在範囲を求めて，図示せよ．

座標平面上の原点O$(0,\ 0)$，点A$(1,\ 0)$，点B$(1,\ 1)$，点C$(0,\ 1)$および点P$(a,\ b)$に対して，点Pを原点のまわりに$90^\circ$回転した点をQ，点Qを点Aのまわりに$90^\circ$回転した点をR，点Rを点Bのまわりに$90^\circ$回転した点をS，また点Pを点Cのまわりに$-90^\circ$回転した点をUとする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)点Rの座標を求めよ．
(2)点Uの座標を求めよ．
(3)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{US}}$は$a,\ b$に無関係であることを示せ．
(4)3点B，R，Uが一直線上にあるための必要十分条件を求めよ．ただし，2点あるいは3点が重なっている場合も，3点は一直線上にあるものとする．

$p$を$0<p<1$を満たす有理数の定数とし，関数$f(x)$を$f(x)=|x|^p$と定める．以下の各問に答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$の概形を描け．
(2)$a$を$0$でない実数の定数とするとき，点$(a,\ f(a))$における曲線$y=f(x)$の接線の方程式を求めよ．また，接線と$x$軸の交点の$x$座標を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$を次のように定める：$a_1=1$とし，$n \geqq 2$のとき$a_n$を点$(a_{n-1},\ f(a_{n-1}))$における曲線$y=f(x)$の接線と$x$軸との交点の$x$座標とする．このとき一般項$a_n$を$n$と$p$を用いて表せ．
(4)(3)で求めた数列$\{a_n\}$について，点$(a_n,\ f(a_n))$における曲線$y=f(x)$の接線と，$x$軸，および直線$x=a_n$とで囲まれた部分の面積を$T_n$とする．$T_n$を$n$と$p$を用いて表せ．
(5)(4)の$T_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$について，無限級数$T_1+T_2+T_3+\cdots$が収束する$p$の範囲を求めよ．また，収束するときの無限級数の値を求めよ．

曲線$C:y=x^3+2ax^2+bx$と直線$\ell:y=ax$が$x \geqq 0$で定義されており，原点以外でこれらの曲線$C$と直線$\ell$が接するものとする．次の問いに答えなさい．なお，$a \neq 0$とする．

(1)曲線$C$と直線$\ell$との共有点が二つあることを示し，それらの共有点の座標を求めなさい．また，$a$のとりうる値の範囲を求めなさい．
(2)曲線$C$と直線$\ell$で囲まれる面積を$S_1$，これら二つの共有点と点$(0,\ -1)$からなる三角形の面積を$S_2$とする．$S_1=S_2$となる$a$の値を求めなさい．

座標平面上の放物線$y=(x+1)(x-3)$を$C$とする．$x$座標が$p,\ q$である$C$上の点P，Qにおける$C$の2つの接線が点A$(a,\ -7)$で交わり，2点P，Qを通る直線の傾きは2である．ただし，$p<q$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a$の値と点Pと点Qの座標をそれぞれ求めよ．
(2)$C$および3つの直線$x=p,\ x=q,\ y=-7$で囲まれた部分の面積を求めよ．

座標平面上で，行列$\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$で表される移動を$f$とする．0でないすべての実数$t$に対して，点P$\displaystyle \left( t+\frac{1}{t},\ t-\frac{1}{t} \right)$が$f$により曲線$x^2-y^2=4$上に移るとき，次の問に答えよ．

(1)$a,\ b,\ c,\ d$は，
\[ (a+b)^2=(c+d)^2,\quad (a-b)^2=(c-d)^2,\quad (a^2-c^2)+(d^2-b^2)=2 \]
を満たすことを示せ．
(2)$a,\ b,\ c,\ d$は，
\[ a^2-c^2=d^2-b^2=1,\quad ab=cd \]
を満たすことを示せ．
(3)$\biggl( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr) \biggl( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \biggr)$とするとき，
\[ X^2-Y^2=x^2-y^2 \]
となることを示せ．
(4)点Qが直線$y=x$上にあるとき，$f(Q)$は直線$y=x$または直線$y=-x$上にあることを示せ．

曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{1+x^2}$と直線$\displaystyle \ell:y=\frac{1}{2}x$を考える．

(1)曲線$C$と直線$\ell$との交点の座標を求めよ．
(2)曲線$C$と直線$\ell$および$y$軸によって囲まれる図形を，$y$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$\ell$および$y$軸によって囲まれる図形を，$x$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$W$を求めよ．