放物線$y=x^2$上の異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$におけるそれぞれの接線の交点を$\mathrm{A}$とする．$\triangle \mathrm{PQA}$において$\angle \mathrm{A}=90^\circ,\ \angle \mathrm{P}=60^\circ,\ \angle \mathrm{Q}=30^\circ$となるとき，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

座標平面における4分の1円：$x^2+y^2 \leqq 1 \ (x \geqq 0,\ y \geqq 0)$を，原点を通り$x$軸の正の向きと$\theta$の角をなす直線のまわりに1回転させてできる立体の体積を$V(\theta)$とおく．

(1)$\displaystyle V(0),\ V \left( \frac{\pi}{4} \right)$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$のとき$V(\theta)$を求めよ．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$V(\theta)$が最小となる$\theta$を求めよ．

座標平面における4分の1円：$x^2+y^2 \leqq 1 \ (x \geqq 0,\ y \geqq 0)$を，原点を通り$x$軸の正の向きと$\theta$の角をなす直線のまわりに1回転させてできる立体の体積を$V(\theta)$とおく．

(1)$\displaystyle V(0),\ V \left( \frac{\pi}{4} \right)$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$のとき$V(\theta)$を求めよ．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$V(\theta)$が最小となる$\theta$を求めよ．

座標平面の$x$軸の正の部分を始線にとり，角${\theta_n}^\circ \geqq 0 \ $(度数法)の動径と単位円との交点を$\mathrm{P}_n$とする．$\theta_1=0$のとき，次の問いに答えよ．

(1)$\{ \theta_n \}$は等差数列とする．$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\mathrm{P}_{10}$が単位円の周上を正の向きにちょうど$1$周して$\mathrm{P}_{10}=\mathrm{P}_1$となるとき，数列$\{ \theta_n \}$の公差を求めよ．
(2)$\{ \theta_n \}$は，$\theta_{n+1}-\theta_n=n+d$を満たす数列とする．$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\mathrm{P}_k \ (k \geqq 2)$が単位円の周上を正の向きにちょうど$1$周して$\mathrm{P}_k=\mathrm{P}_1$となるとき，$d$を$k$を用いて表せ．
(3)$\{ \theta_n \}$は，(2)の数列とする．$k=6$のとき，$\mathrm{P}_n=\mathrm{P}_1$を満たす$n \ (n \geqq 7)$をひとつ求めよ．

各点の座標が$(x,\ y,\ z)$で表される空間で，ある立方体の3頂点がA$(2,\ 2,\ 3)$，B$(2,\ 0,\ 1)$，C$(6,\ 0,\ 1)$であるとする．

(1)2頂点A，Cを通る直線と$xy$平面の交点をPとするとき，線分APの長さを求めよ．
(2)この立方体の体積を求めよ．
(3)この立方体の頂点Xで，$\angle \text{BXC}=60^\circ$となるものすべてについてそれらの座標を求めよ．

座標平面における4分の1円：$x^2+y^2 \leqq 1 \ (x \geqq 0,\ y \geqq 0)$を，原点を通り$x$軸の正の向きと$\theta$の角をなす直線のまわりに1回転させてできる立体の体積を$V(\theta)$とおく．

(1)$\displaystyle V(0),\ V \left( \frac{\pi}{4} \right)$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$のとき$V(\theta)$を求めよ．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$V(\theta)$が最小となる$\theta$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)座標空間内の点A$(0,\ 1,\ 0)$，B$(0,\ -1,\ 0)$に対して，ABCDが正四面体となるような$xy$平面の$x>0$の部分にある点Cと空間内の$z>0$の部分にある点Dの座標をそれぞれ求めよ．
(2)$\triangle$ABCの重心をEとする．線分DEを$3:1$に内分する点Gの座標を求めよ．
(3)$\angle \text{AGD}=\alpha$とするとき，$\cos \alpha$の値を求めよ．
(4)$\triangle$AGDの面積を求めよ．

座標空間の原点を$\mathrm{O}$とし，$2$点$\mathrm{A}(2,\ -1,\ 4)$，$\mathrm{B}(k,\ -k,\ 2)$について，線分$\mathrm{AB}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$k$は定数で$k>0$とする．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を$k$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{OP}$が直交するとき，$k$の値を求めよ．
(3)(2)で求めた$k$について，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．

$a$を$0$でない実数とする．
\begin{align}
& C_1 : y = x^2+(a+1)x-a(2a+1) \nonumber \\
& C_2 : y = -x^2+(3a+1)x+a(2a-1) \nonumber
\end{align}
で表される曲線$C_1$と曲線$C_2$について，以下の各問に答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$が異なる$2$交点をもつことを示せ．
(2)$C_1$と$C_2$の$2$交点を通る直線$\ell(a)$の方程式を求めよ．また，$\ell(a)$が$a$の値に関係なく必ず通る定点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)(2)で求めた定点$\mathrm{P}$が$C_1$と$C_2$の$2$交点を結んだ線分上にあるような$a$の値の範囲を求めよ．

座標平面上を運動する動点P$(x,\ y)$が時刻$t$の関数として
\[ x=t \cos \alpha,\quad y=t \sin \alpha-t^2 \]
で与えられているとする．ただし，$\alpha$は$0 \leqq \alpha < 2\pi$を満たす定数とする．直線$y=x$を$\ell$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)時刻$t=0$における動点Pの速度$\overrightarrow{v}$とその大きさ$|\overrightarrow{v}|$を求めよ．
(2)Pが直線$\ell$上の点を通る時刻$t$をすべて求めよ．
(3)正の時刻においてPが$\ell$上の点を通るための$\alpha$の範囲を求めよ．

以下では，$\alpha$は(3)で求めた範囲にあるとする．

\mon[(4)] 正の時刻においてPが通る$\ell$上の点の$x$座標を求めよ．
\mon[(5)] (4)で求めた$\ell$上の点の$x$座標を$f(\alpha)$とし，$\alpha$を(3)で求めた範囲で変化させる．$f(\alpha)$の最大値，最小値を求め，それらを与える$\alpha$の値を求めよ．