「座標」について
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国立 宮崎大学 2010年 第2問座標平面に原点O$(0,\ 0)$，点A$(-1,\ 3)$，点B$(4,\ 8)$がある．さらに，2次関数$y=f(x)$のグラフ$G$と円$C$はそれぞれ3点O，A，Bを通るものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)円$C$の中心の座標および半径を求めよ．
(3)グラフ$G$と円$C$との交点のうち，3点O，A，B以外の点の座標を求めよ．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)円$C$の中心の座標および半径を求めよ．
(3)グラフ$G$と円$C$との交点のうち，3点O，A，B以外の点の座標を求めよ．
国立 宮崎大学 2010年 第3問座標平面上に原点O$(0,\ 0)$と点A$(3,\ 0)$がある．自然数$n$に対して，点B$_n(0,\ n)$をとり，$\triangle$AB$_n$Oの境界を除いた内部に含まれる格子点の個数を$a_n$とする．ただし，$x$座標と$y$座標がともに整数の点を格子点という．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$の値を求めよ．
(2)自然数$k$に対して，$n=3k$とする．このとき，$\triangle$AB$_n$Oの境界を除いた内部に含まれる格子点のうち，$x$座標が1であるものの個数を，$k$を用いて表せ．
(3)自然数$k$に対して，$a_{3k}$を，$k$を用いて表せ．
(4)$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$とする．自然数$m$に対して，$S_{3m}$を，$m$を用いて表せ．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$の値を求めよ．
(2)自然数$k$に対して，$n=3k$とする．このとき，$\triangle$AB$_n$Oの境界を除いた内部に含まれる格子点のうち，$x$座標が1であるものの個数を，$k$を用いて表せ．
(3)自然数$k$に対して，$a_{3k}$を，$k$を用いて表せ．
(4)$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$とする．自然数$m$に対して，$S_{3m}$を，$m$を用いて表せ．
国立 岡山大学 2010年 第3問原点を中心とする半径1の円を$C_1$とし，原点を中心とする半径$\displaystyle \frac{1}{2}$の円を$C_2$とする．$C_1$上に点P$_1(\cos \theta,\ \sin \theta)$があり，また，$C_2$上に点P$_2 \displaystyle (\frac{1}{2} \cos 3\theta,\ \frac{1}{2} \sin 3\theta)$がある．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta < \frac{\pi}{2}$であるとする．線分P$_1$P$_2$の中点をQとし，点Qの原点からの距離を$r(\theta)$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)点Qの$x$座標の取りうる範囲を求めよ．
(2)点Qが$y$軸上にあるときの$\theta$の値を$\alpha$とする．このとき，$\alpha$および定積分
\[ \int_0^\alpha \{r(\theta)\}^2 \, d\theta \]
を求めよ．
(1)点Qの$x$座標の取りうる範囲を求めよ．
(2)点Qが$y$軸上にあるときの$\theta$の値を$\alpha$とする．このとき，$\alpha$および定積分
\[ \int_0^\alpha \{r(\theta)\}^2 \, d\theta \]
を求めよ．
国立 千葉大学 2010年 第6問数直線の原点上にある点が，以下の規則で移動する試行を考える． \\
\quad （規則） サイコロを振って出た目が奇数の場合は，正の方向に1移動し，出た目が偶数の場合は，負の方向に1移動する． \\
$k$回の試行の後の，点の座標を$X(k)$とする．
(1)$X(10)=0$である確率を求めよ．
(2)$X(1) \neq 0,\ X(2) \neq 0,\ \cdots,\ X(5) \neq 0$であって，かつ，$X(6)=0$となる確率を求めよ．
(3)$X(1) \neq 0,\ X(2) \neq 0,\ \cdots,\ X(9) \neq 0$であって，かつ，$X(10)=0$となる確率を求めよ．
\quad （規則） サイコロを振って出た目が奇数の場合は，正の方向に1移動し，出た目が偶数の場合は，負の方向に1移動する． \\
$k$回の試行の後の，点の座標を$X(k)$とする．
(1)$X(10)=0$である確率を求めよ．
(2)$X(1) \neq 0,\ X(2) \neq 0,\ \cdots,\ X(5) \neq 0$であって，かつ，$X(6)=0$となる確率を求めよ．
(3)$X(1) \neq 0,\ X(2) \neq 0,\ \cdots,\ X(9) \neq 0$であって，かつ，$X(10)=0$となる確率を求めよ．
国立 宮崎大学 2010年 第1問座標平面上に原点O$(0,\ 0)$と点A$(3,\ 0)$がある．自然数$n$に対して，点B$_n(0,\ n)$をとり，$\triangle$AB$_n$Oの境界を除いた内部に含まれる格子点の個数を$a_n$とする．ただし，$x$座標と$y$座標がともに整数の点を格子点という．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$の値を求めよ．
(2)自然数$k$に対して，$n=3k$とする．このとき，$\triangle$AB$_n$Oの境界を除いた内部に含まれる格子点のうち，$x$座標が1であるものの個数を，$k$を用いて表せ．
(3)自然数$k$に対して，$a_{3k}$を，$k$を用いて表せ．
(4)$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$とする．自然数$m$に対して，$S_{3m}$を，$m$を用いて表せ．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$の値を求めよ．
(2)自然数$k$に対して，$n=3k$とする．このとき，$\triangle$AB$_n$Oの境界を除いた内部に含まれる格子点のうち，$x$座標が1であるものの個数を，$k$を用いて表せ．
(3)自然数$k$に対して，$a_{3k}$を，$k$を用いて表せ．
(4)$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$とする．自然数$m$に対して，$S_{3m}$を，$m$を用いて表せ．
国立 宮崎大学 2010年 第5問座標平面上に2つの円
\begin{eqnarray}
& & C_1:(x+1)^2+(y-1)^2=1 \nonumber \\
& & C_2:(x-1)^2+(y-1)^2=1 \nonumber
\end{eqnarray}
がある．不等式$y>2$が表す領域$D$内に点P$(a,\ b)$をとる．点Pから円$C_1,\ C_2$にひいた接線と$x$軸との交点をそれぞれA，Bとする．ただし，下図のように$\triangle$PABは円$C_1,\ C_2$をともに含むものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$b$を定数とするとき，辺ABの長さが最小となるのは$a=0$のときであることを示せ．
(2)点Pが領域$D$内を動くとき，$\triangle$PABの面積の最小値を求めよ．
\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）
\begin{eqnarray}
& & C_1:(x+1)^2+(y-1)^2=1 \nonumber \\
& & C_2:(x-1)^2+(y-1)^2=1 \nonumber
\end{eqnarray}
がある．不等式$y>2$が表す領域$D$内に点P$(a,\ b)$をとる．点Pから円$C_1,\ C_2$にひいた接線と$x$軸との交点をそれぞれA，Bとする．ただし，下図のように$\triangle$PABは円$C_1,\ C_2$をともに含むものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$b$を定数とするとき，辺ABの長さが最小となるのは$a=0$のときであることを示せ．
(2)点Pが領域$D$内を動くとき，$\triangle$PABの面積の最小値を求めよ．
\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）
国立 鳥取大学 2010年 第1問次の問いに答えよ．
(1)直線$2x+y=16 \cdots\cdots ①,\ 2x+3y=24 \cdots\cdots ②$の$x$切片と$y$切片の座標をそれぞれ求めよ．
(2)(1)で定めた直線$①$と$②$との交点の座標を求めよ．
(3)$4$つの不等式$2x+y \leqq 16,\ 2x+3y \leqq 24,\ x \geqq 0,\ y \geqq 0$の表す領域を$F$とする．$F$の面積を求めよ．
(4)点$(x,\ y)$が(3)で定めた領域$F$を動くとき，$x+y$の最大値と最小値を求めよ．
(1)直線$2x+y=16 \cdots\cdots ①,\ 2x+3y=24 \cdots\cdots ②$の$x$切片と$y$切片の座標をそれぞれ求めよ．
(2)(1)で定めた直線$①$と$②$との交点の座標を求めよ．
(3)$4$つの不等式$2x+y \leqq 16,\ 2x+3y \leqq 24,\ x \geqq 0,\ y \geqq 0$の表す領域を$F$とする．$F$の面積を求めよ．
(4)点$(x,\ y)$が(3)で定めた領域$F$を動くとき，$x+y$の最大値と最小値を求めよ．
国立 福井大学 2010年 第1問座標平面上に4点O$(0,\ 0)$，A$(4,\ 0)$，B$(4,\ 4)$，C$(0,\ 4)$をとり，正方形OABCを考える．点Bを出発点とする2つの動点P，Qが，次の規則に従って動くものとする．
1枚のコインを投げ，
表が出たときには，点Pは辺AB上を点Aの方向に1進み，点Qは動かない．
裏が出たときには，点Qは辺BC上を点Cの方向に1進み，点Pは動かない．
この試行を4回繰り返し，その結果できる三角形OPQの面積を得点とするゲームを行う．以下の問いに答えよ．
(1)ゲームの終了時に，点Pの座標が$(4,\ 1)$である確率を求めよ．
(2)このゲームの得点が8となる確率を求めよ．
(3)このゲームの得点の期待値を求めよ．
1枚のコインを投げ，
表が出たときには，点Pは辺AB上を点Aの方向に1進み，点Qは動かない．
裏が出たときには，点Qは辺BC上を点Cの方向に1進み，点Pは動かない．
この試行を4回繰り返し，その結果できる三角形OPQの面積を得点とするゲームを行う．以下の問いに答えよ．
(1)ゲームの終了時に，点Pの座標が$(4,\ 1)$である確率を求めよ．
(2)このゲームの得点が8となる確率を求めよ．
(3)このゲームの得点の期待値を求めよ．
国立 徳島大学 2010年 第1問放物線$\displaystyle y=\frac{2}{3}x^2$を$C_1$とし，円$x^2+y^2=1$の$y \geqq 0$を満たす部分を$C_2$とする．$C_1$と$C_2$の交点をP，Qとし，原点をOとする．
(1)P，Qの座標を求めよ．
(2)扇形OPQの面積を求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)P，Qの座標を求めよ．
(2)扇形OPQの面積を求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 大分大学 2010年 第2問中心の$xyz$座標が$(0,\ 0,\ 1)$で半径が1の球$G$と点P$(0,\ -2,\ a)$に関して，点Pを通る直線が球$G$と共有点をもつとき，この直線と$xy$平面の交点全体が作る図形の外形を表す方程式を求めよ．また，その方程式が表す図形を実数$a$に関して分類せよ．