放物線$C : y = x^2$に対して，以下の問いに答えよ．

(1)$C$上の点P$(a,\ a^2)$を通り，Pにおける$C$の接線に直交する直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\ell$を(1)で求めた直線とする．$a \neq 0$のとき，直線$x = a$を$\ell$に関して対称に折り返して得られる直線$m$の方程式を求めよ．
(3)(2)で求めた直線$m$は$a$の値によらず定点Fを通ることを示し，Fの座標を求めよ．

座標平面において，点P$_n(a_n,\ b_n) \ (n \geqq 1)$を
\begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{c}
a_1 \\
b_1
\end{array}
\right) &=& \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array}
\right) \nonumber \\
\left(
\begin{array}{c}
a_n \\
b_n
\end{array}
\right) &=& \frac{1}{2} \left(
\begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{c}
a_{n-1} \\
b_{n-1}
\end{array}
\right) \quad (n \geqq 2) \nonumber
\end{eqnarray}
で定める．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$a_n,\ b_n$を$n$と$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき，自然数$n$に対して，線分P$_n$P$_{n+1}$の長さ$l_n$を求めよ．
(3)(2)で求めた$l_n$に対して，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty l_n$を求めよ．

$xy$平面上で，点A$(-1,\ 0)$を中心とする円$C_1$と点B$(1,\ 0)$を中心とする円$C_2$が原点Oで外接している．点Pは円$C_1$上を，点Qは円$C_2$上を，それぞれ正の向きに回転する．今，P，Qが同時に原点を出発して，QはPの2倍の速さで回転する．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\angle \text{OAP} = \theta$とするとき，P，Qの座標をそれぞれ$\theta$を用いて表せ．
(2)線分PQの長さの最大値を求めよ．

$xy$平面上で，点A$(-1,\ 0)$を中心とする円$C_1$と点B$(1,\ 0)$を中心とする円$C_2$が原点Oで外接している．点Pは円$C_1$上を，点Qは円$C_2$上を，それぞれ正の向きに回転する．今，P，Qが同時に原点を出発して，QはPの2倍の速さで回転する．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\angle \text{OAP} = \theta$とするとき，P，Qの座標をそれぞれ$\theta$を用いて表せ．
(2)線分PQの長さの最大値を求めよ．

$xyz$座標空間に，下図のように一辺の長さ1の立方体OABC-DEFGがある．この立方体を$xy$平面上の直線$y = -x$のまわりに，頂点Fが$z$軸の正の部分にくるまで回転させる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)回転後の頂点Bの座標を求めよ．
(2)回転後の頂点A，Gで定まるベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$の成分を求めよ．

\setlength\unitlength{1truecm}

（図は省略）

平面上を運動する点Pの時刻$t$における座標$(x,\ y)$が
\[ x=2t-t^2,\quad y=1-t^2 \quad (0 \leqq t \leqq 1) \]
で与えられている．このとき，点Pの描く曲線を$C$とおく．

(1)$0<t<1$の範囲で，点Pの速さ(速度の大きさ)が最小になる時刻$t$を求めよ．
(2)(1)で求めた時刻$t$に対応する$C$上の点における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)接線$\ell$と曲線$C$は，接点以外に共有点を持たないことを示せ．
(4)曲線$C$，接線$\ell$および$y$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

$k$は定数で，$k > 0$とする．曲線$C : y = kx^2 \ (x \geqq 0)$と2つの直線$\displaystyle \ell : y = kx+\frac{1}{k},\ m : y = -kx+\frac{1}{k}$との交点の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta \ (0 < \beta < \alpha)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\alpha-\beta$の値を求めよ．
(2)$\alpha \beta,\ \alpha^2+ \beta^2$および$\alpha^3- \beta^3$を$k$を用いて表せ．
(3)曲線$C$と2直線$\ell,\ m$とで囲まれた部分の面積を最小にする$k$の値を求めよ．また，そのときの面積を求めよ．

座標平面上に点O$(0,\ 0)$と点P$(4,\ 3)$をとる．不等式$(x-5)^2 +(y-10)^2 \leqq 16$の表す領域を$D$とする．次の問いに答えよ．

(1)$k$は定数とする．直線$\displaystyle y = -\frac{4}{3}x+k$上の点をQとするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$k$を用いて表せ．
(2)点Rが$D$全体を動くとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OR}}$の最大値および最小値を求めよ．

Oを原点とする座標平面上の円$C:x^2+y^2=1$と直線$x+2y=1$の交点のうち，$x$座標の小さい方をP，他方をQとする．点P，Qにおける円$C$の接線をそれぞれ$\ell,\ m$とする．次の問いに答えよ．

(1)P，Qの座標を求めよ．また，$\ell$と$m$の交点Rの座標を求めよ．
(2)線分ORと$C$の交点をSとする．Sの座標を求めよ．また，$\triangle$QRSの面積を求めよ．
(3)$\angle \text{PQS}=\angle \text{RQS}$であることを示せ．

$xy$平面上に曲線$\displaystyle y =\frac{1}{x^2}$を描き，この曲線の第1象限内の部分を$C_1$，第2象限内の部分を$C_2$と呼ぶ．$C_1$上の点P$_1 \displaystyle \left( a,\ \frac{1}{a^2} \right)$から$C_2$に向けて接線を引き，$C_2$との接点をQ$_1$とする．次に点Q$_1$から$C_1$に向けて接線を引き，$C_1$との接点をP$_2$とする．次に点P$_2$から$C_2$に向けて接線を引き，接点をQ$_2$とする．以下同様に続けて，C$_1$上の点列P$_n$と$C_2$上の点列Q$_n$を定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)点Q$_1$の座標を求めよ．
(2)三角形P$_1$Q$_1$P$_2$の面積$S_1$を求めよ．
(3)三角形P$_n$Q$_n$P$_{n+1} \ (n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の面積$S_n$を求めよ．
(4)級数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} S_n$の和を求めよ．