座標空間内に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{C}(3,\ 3,\ -3)$がある．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る平面$\alpha$上の点$\mathrm{P}$に対して，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は適当な$2$つの実数$s,\ t$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表すことができる．以下の問に答えなさい．

(1)平面$\alpha$上にない点$\mathrm{Q}(a,\ b,\ c)$に対して，線分$\mathrm{QH}$が平面$\alpha$と垂直になるような$\alpha$上の点$\mathrm{H}$の座標を$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい．
(2)四面体$\mathrm{OABD}$の体積が四面体$\mathrm{OABC}$の体積と等しくなるように$z$軸上の点$\mathrm{D}$の座標を求めなさい．

座標平面上で原点$\mathrm{O}$を中心に一定の角$\theta$で回転移動する$1$次変換を$f$とし，一定の正の数$r$で各点$(x,\ y)$を点$(rx,\ ry)$に移す相似変換を$g$とする．また，$g$と$f$の合成変換$g \circ f$を表す行列を$K(r,\ \theta)$とする．原点$\mathrm{O}$と異なる座標平面上の点$\mathrm{P}(a,\ b)$に対して，点$\mathrm{Q}(c,\ d)$を次で定める：
\[ \left( \begin{array}{c}
c \\
d
\end{array} \right)=K(r,\ \theta) \left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right) \]
次の問に答えなさい．

(1)$K(r,\ \theta)$を求めなさい．$r$を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表しなさい．
(2)$0^\circ<\theta<180^\circ$ならば，$ad-bc>0$であることを示しなさい．
(3)$0^\circ<\theta<180^\circ$ならば，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が$\displaystyle \frac{1}{2}(ad-bc)$に等しくなる．このことを用いて，図のように，点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$を時計の針が回る方向と反対回りに順番に配置した三角形$\triangle \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の面積が
\[ \frac{1}{2} \sum_{i=1}^3 (x_i-x_{i+1})(y_i+y_{i+1}) \]
に等しいことを示しなさい．ただし，$x_4=x_1$，$y_4=y_1$とする．
（図は省略）

次の空欄$[サ]$から$[ト]$にあてはまる数や式を書きなさい．

$x$-$y$平面上の$3$点$\mathrm{P}(-1,\ 0)$，$\mathrm{Q}(0,\ 1)$，$\mathrm{R}(2,\ 0)$を通る$2$次曲線$C$を考える．$C$が方程式
\[ y=ax^2+bx+c \quad (a,\ b,\ c \text{は定数}) \]
で与えられるとすると，$C$は点$\mathrm{Q}$を通るから$c=[サ]$である．また$C$は点$\mathrm{P}$を通るから$[シ]=0$であり，点$\mathrm{R}$を通るから$[ス]=0$である．これより，$a=[セ]$，$b=[ソ]$となる．
この$2$次曲線$C$の頂点の座標は$\displaystyle \left( [タ],\ [チ] \right)$である．また，第$1$象限において$C$と$x$軸と$y$軸が囲む面積$S$は，
\[ S=\int_{[テ]}^{[ツ]} (ax^2+bx+c) \, dx \]
で与えられるから，$S=[ト]$となる．

円$x^2+y^2+lx+my+n=0$が，点$\mathrm{A}(-4,\ 3)$，点$\mathrm{B}(-1,\ 0)$，点$\mathrm{C}(2,\ 3)$の$3$点を通るとき，次の問いに答えなさい．

(1)$l,\ m,\ n$の値を求めなさい．
(2)この円の中心の座標と半径を求めなさい．
(3)この円の面積を求めなさい．

放物線$y=x^2+2x$と直線$y=-x+4$について，次の問いに答えなさい．

(1)放物線と直線のグラフを描きなさい．
(2)放物線と直線の交点の座標を求めなさい．
(3)放物線と直線によって囲まれた部分の面積を求めなさい．

座標平面において原点を中心とする半径$1$の円を$C_1$とし，点$(1,\ 0)$を中心とする半径$3$の円を$C_2$とする．動点$\mathrm{P}$は$C_1$上を反時計回りに$1$秒間に$2$回転の速さで等速円運動をし，動点$\mathrm{Q}$は$C_2$上を反時計回りに$1$秒間に$1$回転の速さで等速円運動をしている．時刻$t=0$のとき，$\mathrm{P}$は$(0,\ 1)$にあり，$\mathrm{Q}$は$(4,\ 0)$にあるものとする．$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$間の距離の$2$乗の最大値と最小値，およびそれらをとる$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

$xy$平面上にある長方形$\mathrm{OPRS}$を底面とし，三角形$\mathrm{OST}$，三角形$\mathrm{PRQ}$，四角形$\mathrm{OPQT}$，四角形$\mathrm{RSTQ}$を側面とする五面体$\mathrm{OPQRST}$がある．五面体$\mathrm{OPQRST}$が$\mathrm{OP}=\mathrm{PQ}=\mathrm{QR}=\mathrm{RS}=\mathrm{ST}=\mathrm{TO}=1$，$\angle \mathrm{TOP}=\angle \mathrm{OPQ}=\angle \mathrm{PQR}=\angle \mathrm{QRS}=\angle \mathrm{RST}=\angle \mathrm{STO}=\theta (90^\circ<\theta<120^\circ)$をみたしているとき，次の問いに答えよ．ただし，$2$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$の座標をそれぞれ$(0,\ 0,\ 0)$，$(1,\ 0,\ 0)$とし，$\displaystyle \sin \frac{\theta}{2}=a$とする．

(1)辺$\mathrm{OS}$の長さを$a$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を$a$を用いて表せ．ただし，点$\mathrm{Q}$の$y$座標は正とする．
(3)五面体$\mathrm{OPQRST}$の体積$V$を$a$を用いて表せ．

$xy$平面において原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする半径$1$の円を$S$とし，円$S$の任意の点$\mathrm{P}$に対して，点$\mathrm{P}$における円$S$の接線を$L(\mathrm{P})$とおく．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \]
を全ての成分が実数からなる$2$行$2$列の行列とし，$A$によって定まる$xy$平面の一次変換
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime \\
y^\prime
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
を$\varphi$とおく．このとき，円$S$の任意の点$\mathrm{P}$に対して円$S$の点$\mathrm{Q}$が存在し，接線$L(\mathrm{P})$のいかなる点も$\varphi$によって接線$L(\mathrm{Q})$の点に移されると仮定する．

(1)円$S$の点$\mathrm{P}$の座標を$(s,\ t)$として，接線$L(\mathrm{P})$の方程式を求めよ．
(2)行列$A$は逆行列を持つことを証明せよ．
(3)円$S$の点$\mathrm{Q}$は円$S$の点$\mathrm{P}$により一意的に定まることを示し，点$\mathrm{Q}$の座標$(u,\ v)$を点$\mathrm{P}$の座標$(s,\ t)$及び行列$A$の成分$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表示せよ．
(4)$xy$平面の一次変換$\varphi$は，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする回転か，または原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を通るある直線$\ell$を対称軸とする対称変換のいずれかであることを証明せよ．

座標平面上の楕円$C_1:4x^2+y^2=4$について，以下の問いに答えよ．

(1)$C_1$を$x$軸方向に$p$，$y$軸方向に$1$だけ平行移動した楕円を$C_2$とする．$1 \leqq k \leqq 2$を満たすすべての$k$に対して，直線$\ell:y=kx-3$と$C_2$が$2$個の共有点をもつとき，$p$の値の範囲を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c,\ d,\ e$を定数とする．$C_1$を原点まわりに${75}^\circ$回転した$2$次曲線を
\[ C_3:x^2+axy+by^2+cx+dy+e=0 \]
とするとき，$a,\ b$の値を求めよ．

$n$を$5$以上の整数とする．座標平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$n$の円$C_1$と，点$\mathrm{A}$を中心とする半径$1$の円$C_2$がある．$C_2$が$C_1$に外接しながらすべることなく反時計回りに転がるとき，$C_2$上の点$\mathrm{P}$が描く曲線を考える．はじめに$\mathrm{A}$は$(n+1,\ 0)$，$\mathrm{P}$は$(n,\ 0)$の位置にあるものとする．$\mathrm{P}$が$(n,\ 0)$から出発し，再び$(n,\ 0)$に戻るまで，$\mathrm{P}$が描く曲線を$C$とする．線分$\mathrm{OA}$と$x$軸の正の部分のなす角が$\theta (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$であるときの$\mathrm{P}$の座標を$(x(\theta),\ y(\theta))$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$x(\theta),\ y(\theta)$を$\theta$を用いて表せ．
(2)区間$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{2\pi}{n}$で$x(\theta)$の増減を調べよ．
(3)$C$によって囲まれた部分の面積を求めよ．