単位円上の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標をそれぞれ$(-1,\ 0)$，$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$，$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2} \right)$とする．単位円上の点$\mathrm{P}$が
\[ \triangle \mathrm{ABC} \text{の面積}:\triangle \mathrm{ABP} \text{の面積}=1:1+\sqrt{3} \]
をみたすとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)座標平面上の点$(x,\ y)$と点$(a,\ b)$とを結ぶ線分の傾きを求めよ．ただし，$x \neq a$とする．
(2)次の連立不等式の表す領域$D$を図示せよ．$x^2+y^2 \leqq 1,\ y \geqq x^2-1$
(3)$(2)$の領域$D$内の点$(x,\ y)$に対して$\displaystyle \frac{4y-7}{x-3}$が最大となる$(x,\ y)$を求めよ．

原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$と点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$を通る直線上に点$\mathrm{M}$をとり，$xy$平面上に点$\mathrm{P}$をとる．$3$条件

(i) $\overrightarrow{\mathrm{MP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OA}}$
(ii) $\angle \mathrm{POA}={60}^\circ$
(iii) $\mathrm{MP}=1$

が同時に成り立つとき，点$\mathrm{M}$と点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

放物線$y=ax^2+bx+c (a \neq 0)$が点$(0,\ 1)$を通り，かつ，その頂点の座標が$(\cos \theta,\ -\cos 2\theta)$であるとき，次の問に答えよ．ただし，定数$\theta$は$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲にある．

(1)$a$および$c$の値を求めよ．
(2)$b$を$\theta$を用いて表せ．
(3)関数$y=ax^2+bx+c (-1 \leqq x \leqq 1)$の最大値が$5$となるような$\theta$の値をすべて求めよ．

実数$t$は$t>1$を満たすとする．点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ t \right)$から，円$x^2+y^2=1$に相異なる$2$本の接線を引き，$2$つの接点を通る直線を$\ell$とする．

(1)直線$\ell$の方程式を$t$を用いて表せ．
(2)$t$を$t>1$の範囲で動かすとき，$t$によらず$\ell$が通る点がある．この点の座標を求めよ．

$f(x)=x^4+2x^3-3x^2$について，次に答えよ．

(1)$f(x)={(x^2+x+a)}^2+bx+c$となる$a,\ b,\ c$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=bx+c$が共有する点の$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と$2$点で接する直線の式を求めよ．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に点$\mathrm{A}(3,\ 0)$を中心とし半径が$r_1$の円$C_1$と，点$\mathrm{B}(1,\ 0)$を中心とし半径が$r_2$の円$C_2$がある．$C_1$上に$y$座標が正である点$\mathrm{P}_1$をとり，$\angle \mathrm{OAP}_1 = \theta$とする．$C_2$上に$y$座標が負である点$\mathrm{P}_2$を，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}_1}$と$\overrightarrow{\mathrm{BP}_2}$が平行であるようにとるとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$の座標を$r_1,\ r_2,\ \theta$でそれぞれ表しなさい．
(2)$r_1+r_2 < 2$とする．$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$を通る直線が$C_1$と$C_2$の両方に接するとき，$\cos \theta$を求めなさい．
(3)$(2)$の条件のもとで$\triangle \mathrm{OP}_1 \mathrm{P}_2$の面積を$r_1,\ r_2$で表しなさい．

$f(x)=\log x -2x+1 (x>0)$とする．$a$を正の定数とし，$t$は$0<t<a$をみたす実数とする．関数$y=f(x)$のグラフ上に$3$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$を，それぞれの$x$座標が$a-t,\ a,\ a+t$となるようにとる．以下の問いに答えなさい．

(1)$f(x)$の増減を調べ，$y=f(x)$のグラフをかきなさい．
(2)点$\mathrm{R}$が$\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を満たすとき，$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を求めなさい．
(3)四角形$\mathrm{APRQ}$の面積$S(t)$を求めなさい．
(4)$\displaystyle \lim_{t \to -0}\frac{S(t)}{t^3}$を求めなさい．

座標空間の3点A$(1,\ 2,\ 2)$，B$(2,\ 1,\ 1)$，C$(2,\ 4,\ 2)$を通る平面を$\alpha$とする．点D$(0,\ 2,\ 1)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 1,\ 1)$に平行な直線を$\ell_1$とする．また点Dを通り，ベクトル$\overrightarrow{b}=(-1,\ -1,\ 1)$に平行な直線を$\ell_2$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$\ell_1$と$\alpha$の交点をEとし，$\ell_2$と$\alpha$の交点をFとする．E，Fの座標を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DF}}$のなす角を$\theta \ (0 \leqq \theta \leqq \pi)$とおくとき，$\cos \theta$の値を求めなさい．
(3)$\triangle$DEFの面積を求めなさい．

以下の問いに答えなさい．

(1)赤，白，黒の玉がそれぞれ$3$個ずつあり，一列に並べるものとする．合計$9$個の玉の並べ方は何通りあるか求めなさい．なお，同じ色の玉は区別しないものとする．
(2)(1)の並べ方のうちで，先頭の$3$個の玉が同じ色であるか，末尾の$3$個の玉が同じ色であるか，少なくとも一方が成り立つ並べ方は何通りあるか求めなさい．
(3)空間において座標$(x,\ y,\ z)$にある点$\mathrm{P}$を$1$回の操作で$(x+1,\ y,\ z)$，$(x,\ y+1,\ z)$，$(x,\ y,\ z+1)$のいずれかを選んでその座標に移動させる．最初に$(0,\ 0,\ 0)$にある点$\mathrm{P}$を，$9$回の操作で$(3,\ 3,\ 3)$に移動させる選び方のうち，$(3,\ 0,\ 0)$，$(0,\ 3,\ 0)$，$(0,\ 0,\ 3)$，$(3,\ 3,\ 0)$，$(3,\ 0,\ 3)$，$(0,\ 3,\ 3)$のいずれも経由しないものは何通りあるか求めなさい．