$2$次関数$\displaystyle f(x)=-x^2+2ax+\frac{1}{2}$について，以下の問に答えよ．ただし，$a \geqq 0$とする．

(1)放物線$y=f(x)$の頂点の座標を$a$の式で表せ．
(2)定義域$0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を$a$の式で表せ．

次の$[　]$にあてはまる数字または符号を記入せよ．

(1)$\displaystyle -2<\log_8 x<\frac{5}{3}$を満たす$x$は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}<x<[　]$である．
(2)$x^3+ax^2+x+b=0$が$1$と$-2$を解にもつとき，もう$1$つの解は$[　]$である．
(3)$7$個の数字$1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4$を$1$列に並べる．このとき，偶数番目がすべて奇数になるような並べ方は$[　]$通りある．
(4)$2$点$(2,\ 0,\ 1)$，$(1,\ 1,\ 2)$を通る直線がある．原点$\mathrm{O}$からこの直線に下ろした垂線の足を$\mathrm{A}$とする．点$\mathrm{A}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[　]}{[　]},\ \frac{[　]}{[　]},\ \frac{[　]}{[　]} \right)$であり，原点から点$\mathrm{A}$までの距離は$\displaystyle \frac{\sqrt{[　]}}{[　]}$である．

$2$つの放物線
\[ C_1:y=x^2-6x+12,\quad C_2:y=x^2+6x+8 \]
の頂点同士を結ぶ直線を$\ell$とする．

(1)$C_1$の頂点の座標は$([ア],\ [イ])$であり，$C_2$の頂点の座標は$(-[ウ],\ -[エ])$である．
(2)$\ell$の方程式は$\displaystyle y=\frac{[オ]}{[カ]}x+[キ]$となる．
(3)$C_1$と$\ell$との交点の$x$座標は$[ク]$，$\displaystyle \frac{[ケコ]}{[サ]}$，$C_2$と$\ell$との交点の$x$座標は$-[シ]$，$\displaystyle -\frac{[ス]}{[セ]}$である．$C_1$と$\ell$とで囲まれた部分の面積と，$C_2$と$\ell$とで囲まれた部分の面積との和は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タチ]}$となる．

放物線$y=2x^2-8x+9$について，以下の問に答えよ．

(1)この放物線の頂点の座標は$[　]$である．
(2)この放物線と$x$軸に関して対称な放物線の方程式は$[　]$である．

$2$次関数$y=ax^2+8x+10-a$について考える（ただし，$a \neq 0$）．

(1)この$2$次関数のグラフが，$x$軸とただ一つの共有点を持ち，$a<7$ならば，$a=[　]$である．またこのとき，$2$次関数のグラフの軸は直線$x=-[　]$である．
(2)$a=4$のとき，定義域が$-2 \leqq x \leqq 1$の場合の最小値は$[　]$，最大値は$[　]$である．
(3)この$2$次関数のグラフの軸が直線$x=4$となるように$a$を定めたとき，頂点の$y$座標は$[　]$である．

$2$つの放物線$y=-(x+1)^2+4$と$y=(x-1)^2$の交点の$x$座標は$x=[　]$である．また，これら$2$つの放物線で囲まれた部分の面積は$[　]$である．

$2$つの放物線$y=x^2-4x+2$と$y=-x^2+6x-6$がある．

(1)これらの放物線の交点の座標は$([　],\ -1)$と$([　],\ [　])$である．
(2)これらの放物線によって囲まれた図形の面積$S_1$は$S_1=[　]$である．
(3)$x \geqq 0$の範囲で，これらの放物線と$y$軸によって囲まれた図形の面積$S_2$は$\displaystyle S_2=\frac{[　]}{3}$である．

$2$つの放物線
\[ \begin{array}{l}
C_1:y=ax^2-2bx+c \\
C_2:y=(a+1)x^2-2(b+3)x+c+5
\end{array} \]
がある．そのうち，一方のグラフは下の図の点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通り，他方は点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$を通る．次の問に答えよ．
（図は省略）

(1)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る放物線は$C_1$，$C_2$のうちどちらか．理由をつけて答えよ．
(2)点$\mathrm{Q}$および$\mathrm{R}$の$x$座標を求めよ．
(3)$\mathrm{PO}=\mathrm{OQ}$，$\mathrm{QR}=\mathrm{RS}$であるとき，$C_1$，$C_2$の方程式を求めよ．

座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(-2,\ 3)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$と放物線$y=x^2-8x+15$がある．点$\mathrm{P}$が放物線上の$1 \leqq x \leqq 7$の範囲を動くとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{PAB}$が$\mathrm{PA}=\mathrm{PB}$である二等辺三角形となるときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{PAB}$の面積が最小となるときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

$x,\ y$は実数で，曲線$9x^2+16y^2-144=0$を$\ell$とする．

(1)曲線$\ell$上の点で，$x+y$の値の最大値は$[$4$]$である．
(2)座標平面上の第$1$象限において，曲線$\ell$上の点を$\mathrm{P}$とする．曲線$\ell$上の点$\mathrm{P}$における接線と，$x$軸，$y$軸とで囲まれる三角形の面積の最小値は$[$5$]$であり，このときの点$\mathrm{P}$の座標は$[$6$]$である．