「座標」について
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私立 龍谷大学 2011年 第3問円$C:x^2+y^2=1$上を動く点$\mathrm{P}$は，時刻$0$のときに点$\mathrm{A}(1,\ 0)$を出発して，時刻$t$のとき，弧$\koa{$\mathrm{AP}$}$の長さが$t$となるように反時計回りに動く．また，円$D:x^2+(y-1)^2=1$上を動く点$\mathrm{Q}$は，時刻$0$のときに点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を出発して，時刻$t$のとき，弧$\koa{$\mathrm{OQ}$}$の長さが$t$となるように反時計回りに動く．時刻$t$が$0 \leqq t \leqq \pi$のとき，以下の問いに答えなさい．
(1)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表しなさい．
(2)$\displaystyle t=\frac{\pi}{6}$のときの線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めなさい．
(3)線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値を求めなさい．また，そのときの線分$\mathrm{PQ}$を図示しなさい．
(1)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表しなさい．
(2)$\displaystyle t=\frac{\pi}{6}$のときの線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めなさい．
(3)線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値を求めなさい．また，そのときの線分$\mathrm{PQ}$を図示しなさい．
私立 名城大学 2011年 第4問関数$f(x)=x^3+(2a-1)x^2-2a+3$（$a$は実数）について，次の問に答えよ．
(1)$y=f(x)$のグラフは$a$の値によらず$2$つの定点を通ることを示せ．
(2)$f(x)$の極大値が存在するような$a$の値の範囲を求めよ．また，そのときの極大値を与える$x$の値を$m$とすると，$m$を$a$を用いて表せ．
(3)$(2)$のとき，点$(m,\ f(m))$の軌跡を座標平面上に図示せよ．
(1)$y=f(x)$のグラフは$a$の値によらず$2$つの定点を通ることを示せ．
(2)$f(x)$の極大値が存在するような$a$の値の範囲を求めよ．また，そのときの極大値を与える$x$の値を$m$とすると，$m$を$a$を用いて表せ．
(3)$(2)$のとき，点$(m,\ f(m))$の軌跡を座標平面上に図示せよ．
私立 明治大学 2011年 第3問空欄$[オ]$，$[カ]$，$[キ]$に当てはまるものを解答群の中から選び，それ以外の空欄には，当てはまる$0$から$9$までの数字を入れよ．
座標平面上に$3$つの放物線$C_1:y=x^2$，$C_2:y=-x^2-8x-8$，$C_3:y=-x^2+ax+b$がある．$C_1$と$C_3$は$t>0$の範囲にただ$1$つの共有点$(t,\ t^2)$を持ち，直線$\ell$は点$\mathrm{P}$で$C_2$に接し，なおかつ点$\mathrm{Q}$で$C_3$に接しているとする．次の問に答えよ．
(1)$C_1$と$C_2$の共有点は$\displaystyle \left( -[ア],\ [イ] \right)$である．また，$C_1$と$C_3$もただ$1$つの共有点を持つことから$a=[ウ]t$，$b=-[エ]t^2$である．
(2)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha$，$\beta$とする．$\ell$は点$\mathrm{P}$における$C_2$の接線および点$\mathrm{Q}$における$C_3$の接線に等しい．これら$2$つの接線の傾きおよび$y$軸との交点がともに等しいことから
\[ \beta-\alpha=[オ],\quad \beta^2-\alpha^2=[カ] \]
が成り立つ．したがって，$\beta+\alpha=[キ]$である．これより，直線$\ell$の方程式は
\[ y=\left( t-[ク] \right) x+\frac{t^2+[ケコ]t+[サ]}{[シ]} \]
である．
(3)$C_3$と$x$軸によって囲まれる部分の面積を$S_1$，$C_1$と直線$\ell$によって囲まれる部分の面積を$S_2$とすると，
$\displaystyle S_1=\frac{\sqrt{[ス]}}{[セ]} \cdot [ソ]t^3$
$\displaystyle S_2=\frac{\sqrt{[ス]}}{[セ]} \cdot \left( t+[タ] \right)^3$
である．$S_1-S_2$は$\displaystyle t=\frac{[チ]+[ツ] \sqrt{[テ]}}{[ト]}$のときに最小値をとる．
オ，カ，キの解答群
\[ \begin{array}{lllll}
\nagamarurei t+2 & \nagamaruichi t-2 & \nagamaruni 2t+4 & \nagamarusan t+\sqrt{2} & \nagamarushi t-\sqrt{2} \\
\nagamarugo t^2-2 & \nagamaruroku t^2-4 & \nagamarushichi t^2-8 & \nagamaruhachi 2t^2-4 & \nagamarukyu 2t^2-8
\end{array} \]
（図は省略）
座標平面上に$3$つの放物線$C_1:y=x^2$，$C_2:y=-x^2-8x-8$，$C_3:y=-x^2+ax+b$がある．$C_1$と$C_3$は$t>0$の範囲にただ$1$つの共有点$(t,\ t^2)$を持ち，直線$\ell$は点$\mathrm{P}$で$C_2$に接し，なおかつ点$\mathrm{Q}$で$C_3$に接しているとする．次の問に答えよ．
(1)$C_1$と$C_2$の共有点は$\displaystyle \left( -[ア],\ [イ] \right)$である．また，$C_1$と$C_3$もただ$1$つの共有点を持つことから$a=[ウ]t$，$b=-[エ]t^2$である．
(2)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha$，$\beta$とする．$\ell$は点$\mathrm{P}$における$C_2$の接線および点$\mathrm{Q}$における$C_3$の接線に等しい．これら$2$つの接線の傾きおよび$y$軸との交点がともに等しいことから
\[ \beta-\alpha=[オ],\quad \beta^2-\alpha^2=[カ] \]
が成り立つ．したがって，$\beta+\alpha=[キ]$である．これより，直線$\ell$の方程式は
\[ y=\left( t-[ク] \right) x+\frac{t^2+[ケコ]t+[サ]}{[シ]} \]
である．
(3)$C_3$と$x$軸によって囲まれる部分の面積を$S_1$，$C_1$と直線$\ell$によって囲まれる部分の面積を$S_2$とすると，
$\displaystyle S_1=\frac{\sqrt{[ス]}}{[セ]} \cdot [ソ]t^3$
$\displaystyle S_2=\frac{\sqrt{[ス]}}{[セ]} \cdot \left( t+[タ] \right)^3$
である．$S_1-S_2$は$\displaystyle t=\frac{[チ]+[ツ] \sqrt{[テ]}}{[ト]}$のときに最小値をとる．
オ，カ，キの解答群
\[ \begin{array}{lllll}
\nagamarurei t+2 & \nagamaruichi t-2 & \nagamaruni 2t+4 & \nagamarusan t+\sqrt{2} & \nagamarushi t-\sqrt{2} \\
\nagamarugo t^2-2 & \nagamaruroku t^2-4 & \nagamarushichi t^2-8 & \nagamaruhachi 2t^2-4 & \nagamarukyu 2t^2-8
\end{array} \]
（図は省略）
私立 明治大学 2011年 第2問以下の$[あ]$から$[お]$にあてはまるものを答えよ．
座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 1)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$，$\mathrm{C}(2,\ 4)$をとり，$\theta=\angle \mathrm{ABC}$とおく．ただし，$-1<b<2$とする．
(1)直線$\mathrm{AB}$の傾きと直線$\mathrm{BC}$の傾きを$b$を用いて表すと，それぞれ$[あ]$，$[い]$である．
(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}$となるのは，$b=[う]$のときである．
(3)$\displaystyle \theta \neq \frac{\pi}{2}$のとき，$\tan \theta$を$b$で表すと，$[え]$である．
(4)$b$が$-1<b<2$の範囲を動くとき，$\theta$の値が最小となるのは，$b=[お]$のときである．
座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 1)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$，$\mathrm{C}(2,\ 4)$をとり，$\theta=\angle \mathrm{ABC}$とおく．ただし，$-1<b<2$とする．
(1)直線$\mathrm{AB}$の傾きと直線$\mathrm{BC}$の傾きを$b$を用いて表すと，それぞれ$[あ]$，$[い]$である．
(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}$となるのは，$b=[う]$のときである．
(3)$\displaystyle \theta \neq \frac{\pi}{2}$のとき，$\tan \theta$を$b$で表すと，$[え]$である．
(4)$b$が$-1<b<2$の範囲を動くとき，$\theta$の値が最小となるのは，$b=[お]$のときである．
私立 立教大学 2011年 第3問座標平面上の$2$つの曲線$\displaystyle y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$，$\displaystyle y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$を，それぞれ$C_1$，$C_2$とする．$0$以上の実数$t$に対して，$x$座標が$t$である点における$C_1$の接線を$\ell_1$，$x$座標が$t$である点における$C_2$の接線を$\ell_2$とする．$\ell_1$と$\ell_2$との交点を$\mathrm{P}$，$\ell_1$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$，$\ell_2$と$y$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{PQR}$の面積を$S(t)$とする．$0$以上の実数$t$を変化させるとき，$S(t)$の最大値を求めよ．また最大値を与える$t$の値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$S(t)$に対して，定積分$\displaystyle \int_0^2 S(t) \, dt$の値を求めよ．
(1)点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{PQR}$の面積を$S(t)$とする．$0$以上の実数$t$を変化させるとき，$S(t)$の最大値を求めよ．また最大値を与える$t$の値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$S(t)$に対して，定積分$\displaystyle \int_0^2 S(t) \, dt$の値を求めよ．
私立 上智大学 2011年 第2問座標平面において，円$A$
\[ A:(x-4)^2+(y+1)^2=9 \]
および放物線$B$
\[ B:y=\frac{1}{4}x^2+1 \]
を考える．
(1)$m$を実数とすると，直線$\ell:y=mx+m-1$は$m$の値によらずに点$([エ],\ [オ])$を通る．
(2)$\ell$と円$A$との共有点の個数を$n_a$，$\ell$と放物線$B$との共有点の個数を$n_b$とする．$n_a+n_b=2$となるのは，$m<[カ]$または$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}<m<\frac{[ケ]}{[コ]}$または$[サ]<m$のときである．
(3)$m=[カ]$のとき$\ell$と$B$とのただ一つの共有点は$\mathrm{P}([シ],\ [ス])$であり，$m=[サ]$のとき$\ell$と$B$とのただ一つの共有点は$\mathrm{Q}([セ],\ [ソ])$である．
(4)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線の方程式は$\displaystyle y=\frac{[タ]}{[チ]}x+[ツ]$であり，直線$\mathrm{PQ}$と放物線$B$とで囲まれた図形の面積は$[テ]$である．
\[ A:(x-4)^2+(y+1)^2=9 \]
および放物線$B$
\[ B:y=\frac{1}{4}x^2+1 \]
を考える．
(1)$m$を実数とすると，直線$\ell:y=mx+m-1$は$m$の値によらずに点$([エ],\ [オ])$を通る．
(2)$\ell$と円$A$との共有点の個数を$n_a$，$\ell$と放物線$B$との共有点の個数を$n_b$とする．$n_a+n_b=2$となるのは，$m<[カ]$または$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}<m<\frac{[ケ]}{[コ]}$または$[サ]<m$のときである．
(3)$m=[カ]$のとき$\ell$と$B$とのただ一つの共有点は$\mathrm{P}([シ],\ [ス])$であり，$m=[サ]$のとき$\ell$と$B$とのただ一つの共有点は$\mathrm{Q}([セ],\ [ソ])$である．
(4)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線の方程式は$\displaystyle y=\frac{[タ]}{[チ]}x+[ツ]$であり，直線$\mathrm{PQ}$と放物線$B$とで囲まれた図形の面積は$[テ]$である．
私立 立教大学 2011年 第2問$a,\ b$は$a \neq b$を満たす定数とする．座標平面上に放物線$C_1$が$y=x^2+ax+b$で与えられ，放物線$C_2$が$y=x^2+bx+a$で与えられている．$C_1$上の点$\mathrm{P}(0,\ b)$での$C_1$の接線は，$C_2$上の点$\mathrm{Q}$で$C_2$に接しているとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$a$と$b$の間に成り立つ関係式を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を$a$を用いて表せ．
(3)$C_1$と$C_2$の交点$\mathrm{R}$の座標を$a$を用いて表せ．
(4)放物線$C_1$，$C_2$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれる図形の面積$A$を求めよ．
(5)線分$\mathrm{PQ}$上に点$\mathrm{S}$を三角形$\mathrm{PRS}$の面積が$(4)$で求めた面積$A$と一致するようにとる．$\mathrm{S}$の$x$座標を求めよ．
(1)$a$と$b$の間に成り立つ関係式を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を$a$を用いて表せ．
(3)$C_1$と$C_2$の交点$\mathrm{R}$の座標を$a$を用いて表せ．
(4)放物線$C_1$，$C_2$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれる図形の面積$A$を求めよ．
(5)線分$\mathrm{PQ}$上に点$\mathrm{S}$を三角形$\mathrm{PRS}$の面積が$(4)$で求めた面積$A$と一致するようにとる．$\mathrm{S}$の$x$座標を求めよ．
私立 西南学院大学 2011年 第4問$xy$平面上に次に示す，$C$と$\ell$がある．
\[ \begin{array}{l}
C:y=|x^2-4| \\
\ell:y=2x+4
\end{array} \]
このとき以下の問に答えよ．
(1)$C$と$\ell$の交点は$x$座標の小さい順に
\[ ([ネノ],\ [ハ])$，$([ヒ],\ [フ])$，$([ヘ],\ [ホマ]) \]
である．
(2)$C$と$\ell$で囲まれる図形の面積は$\displaystyle \frac{[ミム]}{[メ]}$である．
\[ \begin{array}{l}
C:y=|x^2-4| \\
\ell:y=2x+4
\end{array} \]
このとき以下の問に答えよ．
(1)$C$と$\ell$の交点は$x$座標の小さい順に
\[ ([ネノ],\ [ハ])$，$([ヒ],\ [フ])$，$([ヘ],\ [ホマ]) \]
である．
(2)$C$と$\ell$で囲まれる図形の面積は$\displaystyle \frac{[ミム]}{[メ]}$である．
私立 立教大学 2011年 第3問座標平面上の放物線$\displaystyle y=\frac{1}{4}x^2$について，その頂点を$\mathrm{O}$とし，この放物線上に異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をとる．また$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は頂点$\mathrm{O}$と異なる点で，$\angle \mathrm{AOB}$が直角になるものとする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$a,\ b$とし，$a+b=t$として，次の問に答えよ．
(1)$\angle \mathrm{AOB}$が直角となる条件を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$t$を用いて直線$\mathrm{AB}$の方程式を求めよ．
(3)頂点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$におろした垂線が，直線$\mathrm{AB}$と交わる点を$\mathrm{H}$とするとき，$t$を用いて直線$\mathrm{OH}$の方程式を求めよ．
(4)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が放物線上を動くとき，$t$を用いて点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(1)$\angle \mathrm{AOB}$が直角となる条件を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$t$を用いて直線$\mathrm{AB}$の方程式を求めよ．
(3)頂点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$におろした垂線が，直線$\mathrm{AB}$と交わる点を$\mathrm{H}$とするとき，$t$を用いて直線$\mathrm{OH}$の方程式を求めよ．
(4)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が放物線上を動くとき，$t$を用いて点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
私立 立教大学 2011年 第1問次の空欄ア～サに当てはまる数または式を記入せよ．
(1)$2$つの異なる$2$次方程式$x^2+3px+4=0$，$x^2+3x+4p=0$が共通の実数解を持つとき，$p$の値は$[ア]$である．ただし，$p \neq 1$とする．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=4$，$\displaystyle \cos C=\frac{1}{3}$であるとき，$\sin A$の値は$[イ]$である．
(3)不等式$|2x|+|x-4|<6$を解くと，$[ウ]$となる．
(4)実数$x,\ y$が$(3+2i)x+(1-i)y+13+2i=0$を満たすとき，$x=[エ]$，$y=[オ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(5)点$\mathrm{Q}$が円$x^2+y^2=4$上を動くとき，点$\mathrm{P}(3,\ 0)$と点$\mathrm{Q}$の中点の軌跡の方程式は$[カ]$である．
(6)$\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{5}$のとき，$\tan \theta=[キ]$である．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
(7)$a=\log_{10}2$，$b=\log_{10}3$とするとき，$\displaystyle \log_{100}\frac{125}{9}$を$a,\ b$を用いて表すと，$[ク]$となる．
(8)等式$\displaystyle f(x)=x^2+4x-\int_0^1 f(t) \, dt$を満たす関数$f(x)$は，$[ケ]$である．
(9)数列$2,\ 4,\ 9,\ 17,\ 28,\ 42,\ \cdots$の第$n$項を$n$を用いて表すと，$[コ]$となる．
\mon 座標空間上に$3$つの点，$\mathrm{A}(1,\ 3,\ -1)$，$\mathrm{B}(-1,\ 2,\ 2)$，$\mathrm{C}(2,\ 0,\ 1)$をとるとき，三角形$\mathrm{ABC}$の重心の座標は$[サ]$である．
(1)$2$つの異なる$2$次方程式$x^2+3px+4=0$，$x^2+3x+4p=0$が共通の実数解を持つとき，$p$の値は$[ア]$である．ただし，$p \neq 1$とする．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=4$，$\displaystyle \cos C=\frac{1}{3}$であるとき，$\sin A$の値は$[イ]$である．
(3)不等式$|2x|+|x-4|<6$を解くと，$[ウ]$となる．
(4)実数$x,\ y$が$(3+2i)x+(1-i)y+13+2i=0$を満たすとき，$x=[エ]$，$y=[オ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(5)点$\mathrm{Q}$が円$x^2+y^2=4$上を動くとき，点$\mathrm{P}(3,\ 0)$と点$\mathrm{Q}$の中点の軌跡の方程式は$[カ]$である．
(6)$\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{5}$のとき，$\tan \theta=[キ]$である．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
(7)$a=\log_{10}2$，$b=\log_{10}3$とするとき，$\displaystyle \log_{100}\frac{125}{9}$を$a,\ b$を用いて表すと，$[ク]$となる．
(8)等式$\displaystyle f(x)=x^2+4x-\int_0^1 f(t) \, dt$を満たす関数$f(x)$は，$[ケ]$である．
(9)数列$2,\ 4,\ 9,\ 17,\ 28,\ 42,\ \cdots$の第$n$項を$n$を用いて表すと，$[コ]$となる．
\mon 座標空間上に$3$つの点，$\mathrm{A}(1,\ 3,\ -1)$，$\mathrm{B}(-1,\ 2,\ 2)$，$\mathrm{C}(2,\ 0,\ 1)$をとるとき，三角形$\mathrm{ABC}$の重心の座標は$[サ]$である．