座標平面上に，放物線$C:y=x^2-2x+1$と点$\mathrm{A}(1,\ -1)$がある．$\mathrm{A}$を通る$C$の接線のうち，傾きが負のものを$\ell$とする．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\ell$に関して，$C$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{5}{4},\ \frac{1}{16} \right)$と線対称な点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{Q}$の座標を求め，$C$，$\ell$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を同一平面上に図示せよ．
(3)$\ell$に関して，$y$軸と線対称な直線を$m$とする．$m$の方程式を求めよ．
(4)$\ell$に関して，$C$と線対称な曲線を$D$とする．$D$と$y$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．

座標空間に$3$点$\mathrm{A}(4,\ 0,\ -1)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{C}(a,\ b,\ 0)$がある．

(1)$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$のとき，$a,\ b$が満たす条件を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{ACB}$が$90^\circ$のとき，$a,\ b$が満たす条件を求めよ．また，その条件を満たしながら$a,\ b$の値が変わるとき，$xy$平面上での$\mathrm{C}$の軌跡を求めよ．
(3)$(1)$の条件と$(2)$の条件をともに満たす$\mathrm{C}$の座標を求めよ．

放物線$C_1$を$y=(x+1)^2+1$とする．$C_1$を$y$軸に関して対称移動した放物線を$C_2$とし，$C_1$を$x$軸に関して対称移動した放物線を$C_3$とする．次の各問に答えよ．

(1)$C_2$の方程式と$C_1$，$C_2$の交点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)$C_3$を平行移動して得られる曲線で，頂点が$\mathrm{P}$となる放物線を$C_4$とする．$C_4$の方程式を求めよ．
(3)$3$つの放物線$C_1$，$C_2$，$C_4$によって囲まれる部分の面積を求めよ．

$k$を正の定数とする．$3$つの直線
\[ \ell_1:y=kx,\quad \ell_2:y=-k^2x,\quad \ell_3:y=(k+1)x-3 \]
によって囲まれる三角形を考える．次の各問に答えよ．

(1)三角形の$3$つの頂点の座標を求めよ．
(2)三角形の面積を求めよ．

座標平面上において，原点$\mathrm{O}$，点$\mathrm{A}(0,\ 1+\sqrt{3})$，点$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ 2+\sqrt{3})$，点$\mathrm{C}(1+\sqrt{3},\ 0)$がある．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{AB}$を表す方程式と$\angle \mathrm{OAB}$の値を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{OAB}$の二等分線の方程式を求めよ．
(3)中心が第$1$象限にあり，直線$\mathrm{AB}$，$x$軸，$y$軸に接する円$P$の方程式を求めよ．
(4)傾きが正で，かつ点$\mathrm{C}$を通り，$(3)$で求めた円$P$と接する直線$\ell$の方程式を求めよ．

図のように，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$上に$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がある．点$\mathrm{A}$は第$3$象限にあり，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$は$y$軸に関して対称である．また，$\angle \mathrm{AOB}=60^\circ$である．
（図は省略）

(1)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の座標を求めなさい．
(2)点$\mathrm{A}$における円$C$の接線$\ell$の方程式を求めなさい．
(3)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$を通る放物線のうち，点$\mathrm{A}$における接線が$\ell$と一致するようなものの方程式を求めなさい．

$2$次関数$y=x^2-2(a-1)x \cdots\cdots①$（$a$は実数）について，次の問に答えよ．

(1)$①$の表す放物線の頂点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$①$の$-1 \leqq x \leqq 1$における最小値$m$を，$a$の値の範囲によって，場合に分けて求めよ．
(3)$(2)$の最小値$m$を$a$の関数と考えたとき，その最大値とそのときの$a$の値を求めよ．

$xy$平面上に，$2$つの放物線
\[ \begin{array}{l}
C_1:y=x^2 \\
C_2:y=-x^2+ax+b \quad (a,\ b \text{は実数})
\end{array} \]
があり，$C_2$の頂点を$\mathrm{P}$とする．

$C_1$，$C_2$は異なる$2$点で交わり，このとき，$C_1$と$C_2$で囲まれる部分の面積を$S$とする．
(1)$\mathrm{P}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$S$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$C_2$が$S=9$を満たして動くとき，$\mathrm{P}$がえがく軌跡を求めよ．

$2$次関数$y=x^2-2(a-1)x \cdots\cdots①$（$a$は実数）について，次の問に答えよ．

(1)$①$の表す放物線の頂点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$①$の$-1 \leqq x \leqq 1$における最小値$m$を，$a$の値の範囲によって，場合に分けて求めよ．
(3)$(2)$の最小値$m$を$a$の関数と考えたとき，その最大値とそのときの$a$の値を求めよ．

$xy$平面上に，$2$つの放物線
\[ \begin{array}{l}
C_1:y=x^2 \\
C_2:y=-x^2+ax+b \quad (a,\ b \text{は実数})
\end{array} \]
があり，$C_2$の頂点を$\mathrm{P}$とする．

$C_1$，$C_2$は異なる$2$点で交わり，このとき，$C_1$と$C_2$で囲まれる部分の面積を$S$とする．
(1)$\mathrm{P}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$S$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$C_2$が$S=9$を満たして動くとき，$\mathrm{P}$がえがく軌跡を求めよ．