関数$\displaystyle f(x)=4x+\frac{22}{3}$がある．また関数$g(x)$は等式
\[ g(x)=x(x+2)+\int_{-1}^1 g(t) \, dt \]
を満たす．このとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$g(x)$を求めよ．
(2)直線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$の交点の座標を求めよ．
(3)曲線$y=g(x)$と$y$軸の交点を$\mathrm{A}$，直線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$の交点のうち$x$座標の値が小さい方を$\mathrm{B}$，直線$y=f(x)$と$y$軸の交点を$\mathrm{C}$とする．また点$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{BC}$上にとり，点$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線と曲線$y=g(x)$の交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，線分$\mathrm{PQ}$，線分$\mathrm{PA}$，および曲線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積が最大となる点$\mathrm{P}$の座標と，そのときの面積を求めよ．

円$\displaystyle C_1:x^2+y^2-2 \sqrt{3}x-4y+3=0$と放物線$\displaystyle C_2:y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2 \sqrt{3}}x+1$について，次の問いに答えよ．

(1)$C_1$と座標軸との共有点，および$C_2$と座標軸との共有点の座標を求めよ．
(2)連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x^2+y^2-2 \sqrt{3}x-4y+3 \leqq 0 \\
y \leqq -\displaystyle\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2 \sqrt{3}}x+1
\end{array}
\right. \]
を満たす点$(x,\ y)$全体からなる領域を$D$とする．$D$の面積$S$を求めよ．
(3)点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$x+y$の最大値を求めよ．

曲線$C_1:y=\sqrt{x} |\log x|$と曲線$C_2:y=\sqrt{x}$がある．ただし，対数は自然対数とする．次に答えよ．

(1)関数$f(x)=\sqrt{x} \log x$の増減，極値を調べ，曲線$y=f(x)$の概形をかけ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to +0}\sqrt{x} \log x=0$であることを用いてよい．
(2)曲線$C_1,\ C_2$は$x>0$において$2$つの交点をもつ．それらの座標を求めよ．
(3)(2)で求めた交点の$x$座標を$a,\ b \ (a<b)$とする．曲線$C_1,\ C_2$の$a \leqq x \leqq b$の部分が囲む図形の面積$S$を求めよ．

四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$，$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AB}$の中点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．

(1)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を表せ．
(2)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$，$\overrightarrow{\mathrm{PS}}$，$\overrightarrow{\mathrm{SR}}$を表せ．
(3)点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標が実数$t$を用いて，それぞれ$(0,\ 0,\ 0)$，$(1,\ 2,\ 3)$，$(t,\ 1,\ 0)$，$(2,\ t,\ 1)$で与えられているとする．

(i) 四角形$\mathrm{PQRS}$が長方形となるような$t$の値を求めよ．
(ii) 四角形$\mathrm{PQRS}$がひし形となるような$t$の値を求めよ．

四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$，$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AB}$の中点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．

(1)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を表せ．
(2)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$，$\overrightarrow{\mathrm{PS}}$，$\overrightarrow{\mathrm{SR}}$を表せ．
(3)点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標が実数$t$を用いて，それぞれ$(0,\ 0,\ 0)$，$(1,\ 2,\ 3)$，$(t,\ 1,\ 0)$，$(2,\ t,\ 1)$で与えられているとする．

(i) 四角形$\mathrm{PQRS}$が長方形となるような$t$の値を求めよ．
(ii) 四角形$\mathrm{PQRS}$がひし形となるような$t$の値を求めよ．

四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$，$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AB}$の中点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．

(1)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を表せ．
(2)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$，$\overrightarrow{\mathrm{PS}}$，$\overrightarrow{\mathrm{SR}}$を表せ．
(3)点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標が実数$t$を用いて，それぞれ$(0,\ 0,\ 0)$，$(1,\ 2,\ 3)$，$(t,\ 1,\ 0)$，$(2,\ t,\ 1)$で与えられているとする．

(i) 四角形$\mathrm{PQRS}$が長方形となるような$t$の値を求めよ．
(ii) 四角形$\mathrm{PQRS}$がひし形となるような$t$の値を求めよ．

放物線$C:y=x^2$上の点$\mathrm{P}_1$の座標を$(1,\ 1)$とする．定数$k \ (0<k<1)$に対して，$\mathrm{P}_1$と点$(0,\ k)$を通る直線と$C$との交点を$\mathrm{P}_2$とする．ただし，$\mathrm{P}_2$は$\mathrm{P}_1$とは異なる点とする．$\mathrm{P}_2$と点$(0,\ k^2)$を通る直線と$C$との交点を$\mathrm{P}_3$とする．ただし，$\mathrm{P}_3$は$\mathrm{P}_2$とは異なる点とする．以下同様にして，自然数$n$に対し，$\mathrm{P}_n$と点$(0,\ k^n)$を通る直線と$C$との交点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．ただし，$\mathrm{P}_{n+1}$は$\mathrm{P}_n$とは異なる点とする．

(1)$\mathrm{P}_{2n-1}$および$\mathrm{P}_{2n}$の座標を$n$と$k$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}$の長さを$l_n$とする．${l_{2n-1}}^2$および${l_{2n}}^2$を$n$と$k$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle k=\frac{1}{2}$のとき，無限級数${l_1}^2+{l_2}^2+\cdots +{l_n}^2+\cdots$の和を求めよ．

$2$次曲線$C$が媒介変数$\theta$を用いて，
\[ x=3+5 \cos \theta,\quad y=2+3 \sin \theta \quad (0 \leqq \theta \leqq 2\pi) \]
と表されている．このとき，次の問いに答えよ．

(1)曲線$C$の方程式を$x,\ y$を用いて表せ．また，$C$を座標平面上に図示せよ．
(2)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(3+5 \cos \theta,\ 2+3 \sin \theta)$における$C$の接線$\ell$の方程式は，
\[ \frac{\cos \theta}{5}(x-3)+\frac{\sin \theta}{3}(y-2)=1 \]
となることを示せ．
(3)曲線$C$の焦点を$\mathrm{F}_1$，$\mathrm{F}_2$とする．$i=1,\ 2$に対し，$\mathrm{F}_i$を通り，接線$\ell$に垂直な直線$m_i$の方程式を求めよ．
(4)$i=1,\ 2$に対し，直線$m_i$と$\ell$との交点を$\mathrm{Q}_i$とする．点$\mathrm{O}^\prime(3,\ 2)$とするとき，線分$\mathrm{O}^\prime \mathrm{Q}_i$の長さを求めよ．
(5)$\mathrm{P}$が曲線$C$を一周するとき，線分$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$の長さの最大値，最小値，およびそのときの点$\mathrm{P}$をそれぞれ求めよ．

放物線$C:y=x^2$と直線$L:y=x-1$がある．$L$上の点$\mathrm{A}(a,\ a-1)$から$C$に引いた$2$本の接線の接点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$C$上の点$(t,\ t^2)$における接線の方程式を$y=mx+k$とするとき，$m,\ k$を$t$の式で表せ．
(2)$\alpha+\beta$および$\alpha\beta$を$a$の式で表せ．
(3)放物線$C$と$2$本の接線で囲まれた図形の面積を$S(a)$とするとき，$\displaystyle \frac{S(a)}{\beta-\alpha}$を$a$の式で表せ．

直線$\ell_1:y=mx+3 (m>0)$が，点$\mathrm{A}(5,\ 3)$を中心とする円$C_1$に接している．その接点を$\mathrm{P}$とする．直線$\ell_1$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$を通る直線$\ell_2$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．

(1)円$C_1$の半径$r$を$m$を用いて表しなさい．
(2)円$C_1$が$x$軸と異なる$2$点で交わるような$m$の値の範囲を求めなさい．
(3)線分$\mathrm{QR}$の中点$\mathrm{S}$の座標を求めなさい．
(4)$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る円$C_2$の中心と円$C_1$の中心との距離を$d$とする．$d$の最小値とそのときの$m$の値を求めなさい．