$xy$平面上の$2$つの放物線$C_1,\ C_2$を考える．
\[ C_1:y=-x^2+4x,\quad C_2:y=x^2-2x \]

(1)$C_1,\ C_2$の原点とは異なる交点$\mathrm{A}$の座標と$C_2$の頂点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$から$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線$\ell$におろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{H}$の座標を$x_1,\ y_1$を用いて表せ．ただし点$\mathrm{P}$は直線$\ell$上にないものとする．
(3)点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$が$C_1$上にあるとき，三角形$\mathrm{ABP}$の面積を$x_1$の式で表せ．
(4)点$\mathrm{P}$が$C_1$上を原点から$\mathrm{A}$まで動くとき，三角形$\mathrm{ABP}$の面積の最大値とそのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

曲線$C$は極方程式$r=2 \cos \theta$で定義されているとする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)曲線$C$を直交座標$(x,\ y)$に関する方程式で表し，さらに図示せよ．
(2)点$(-1,\ 0)$を通る傾き$k$の直線を考える．この直線が曲線$C$と$2$点で交わるような$k$の値の範囲を求めよ．
(3)(2)のもとで，$2$交点の中点の軌跡を求めよ．

曲線$y=e^{ax+b} \ (a \geqq 1)$と曲線$y=e^{-x}$が一点で交わり，交点におけるそれぞれの接線が垂直に交わっているとする．次の問いに答えよ．

(1)交点の座標を$(x(a),\ y(a))$とおくとき，$b,\ x(a),\ y(a)$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(2)曲線$y=e^{ax+b} \ (a \geqq 1)$を$C(a)$で表す．曲線$C(a)$と曲線$C(a+1)$の交点の$x$座標を$X(a)$とおくとき，
\[ \lim_{a \to \infty}(X(a)-x(a)) \]
を求めよ．
(3)$X(a)-x(a)$は$a \geqq 1$のとき単調減少であることを示せ．

座標平面上に点$\displaystyle \mathrm{A} \left( 12,\ \frac{15}{2} \right)$と放物線$C:y=x^2$がある．放物線$C$上に点$\mathrm{P}$があり，点$\mathrm{P}$における放物線$C$の接線は，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$を通る直線に垂直である．このとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

$x$の$2$次関数$f(x)$が条件$f(0)=3$，$f^\prime(0)=-2$，$f^\prime(3)=4$を満たすとする．

(1)$f(x)$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$に点$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ 0 \right)$から$2$本の接線を引いたとき，それぞれについて接線の方程式および接点の座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$および$(2)$で求めた$2$本の接線で囲まれた部分の面積を求めよ．

次の各問に解答しなさい．

(1)円$x^2+y^2=4$と放物線$\displaystyle y=-\frac{1}{2}(2+\sqrt{2})x^2+2$との共有点の個数とすべての共有点の座標を求めなさい．
(2)連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x^2+y^2 \leqq 4 \\
(2+\sqrt{2})x^2+2y \geqq 4
\end{array}
\right. \]
の表す領域$R$を図示し，領域$R$の面積を求めなさい．
(3)$x^2+y^2 \leqq 4$のとき，$(2+\sqrt{2})x^2+2y$の最大値と最小値を求めなさい．

座標平面上に3点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\displaystyle \mathrm{B} \left( x,\ \frac{1}{2} \right) \ (x>0)$を考える．ベクトル$t \overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の長さを最小にする実数$t$の値を$t_0$とし，点$\mathrm{H}$を$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=t_0 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-t_0) \overrightarrow{\mathrm{OB}}$で定まる点とする．

(1)$t_0$を$x$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{H}$が線分$\mathrm{AB}$を2等分するとき，$x$の値を求めよ．
(3)$x$を動かすとき，$\triangle \mathrm{OAH}$の面積が最大になる$x$の値を求めよ．

放物線$C:y=-x^2+1$上の異なる$2$点$\mathrm{A}(a,\ -a^2+1)$，$\mathrm{B}(b,\ -b^2+1)$におけるそれぞれの接線$\ell,\ m$が直交するとする．次の問に答えよ．

(1)任意の実数$r$に対して
\[ \alpha+\beta=r,\quad \alpha\beta=-\frac{1}{4} \]
をみたす実数$\alpha,\ \beta$が存在することを示せ．
(2)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が上の条件をみたしながら動くとき，直線$\mathrm{AB}$が$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の取り方によらず常に通る点の座標を求めよ．
(3)$\ell$と$m$の交点の軌跡を求めよ．

楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \ (a>b>0)$上に2点$\mathrm{P}(0,\ -b)$，$\mathrm{Q}(a \cos \theta,\ b \sin \theta)$をとる．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$である．$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$\ell$とし，$\mathrm{P}$を通り$\ell$に平行な直線と$C$との交点のうち$\mathrm{P}$と異なるものを$\mathrm{R}$とおく．このとき以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積の最大値とそのときの$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)$C$の焦点のうち$x$座標が正のものを$\mathrm{F}$とする．(2)で求めた$\mathrm{Q}$の$x$座標と$\mathrm{F}$の$x$座標の大小を比較せよ．

$a,\ b,\ c,\ d$を実数の定数とする．座標平面上の点$(2,\ 1)$を点$(5,\ 2)$に移す1次変換を表す行列を
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \]
とする．以下の問に答えよ．

(1)$A$が逆行列をもつための必要十分条件を$a$と$c$を用いて表せ．
(2)次の式を満たす$A$を求めよ．
\[ A^2=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{25}{4} & 0 \\
\displaystyle\frac{5}{2} & 0
\end{array} \right) \]
(3)$n$を自然数とする．(2)で求めた$A$について
\[ -\frac{2}{5}A+\left( -\frac{2}{5} \right)^2A^2+\left( -\frac{2}{5}\right)^3A^3+\cdots +\left( -\frac{2}{5} \right)^n A^n \]
を求めよ．