$xy$平面上に直線$\ell:y=(1-\sqrt{3})x+1+\sqrt{3}$と曲線$C:y=-x^2+3x$がある．次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$と曲線$C$の交点の座標を求めよ．
(2)連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
y \geqq (1-\sqrt{3})x+1+\sqrt{3} \\
y \leqq -x^2+3x
\end{array}
\right. \]
の表す領域を$D$とする．

\mon[(i)] 領域$D$を$xy$平面上に図示し，$D$の面積を求めよ．
\mon[(ii)] 点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$\displaystyle \frac{y}{x}$の最大値と最小値を求めよ．

座標平面において，点$(2,\ 0)$を中心とする半径$2$の円を$C$とする．点$(1,\ 0)$を通る直線$\ell_1$と円$C$との交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とし，点$(3,\ 0)$を通る直線$\ell_2$と円$C$との交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．さらに，$\ell_1$と$\ell_2$は垂直に交わるとする．ただし，$\ell_2$は座標軸とは一致しない．$\ell_1$の傾きを$k$で表す．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\ell_1$と$\ell_2$の交点$\mathrm{D}$は円$C$の内部にあることを示せ．
(2)弦$\mathrm{AB}$の長さを$k$を用いて表せ．
(3)弦$\mathrm{PQ}$の長さを$k$を用いて表せ．
(4)四角形$\mathrm{APBQ}$の面積の最大値を求めよ．

正の定数$k$に対し，曲線$y=kx^2$を$C$とする．この曲線$C$を用いて，数列$\{a_n\}$を次のように定める．

\mon[(1)] $a_1>0$
\mon[(ii)] $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し，点P$_n (a_n,\ k(a_n)^2)$における曲線$C$の接線と$x$軸との交点の$x$座標を$a_{n+1}$とする．

このとき，次の問に答えよ．

(1)曲線$C$上の点P$_1$における接線の方程式を求めよ．
(2)$a_2$を$a_1$で表せ．
(3)$a_n$を$a_1$で表せ．
(4)曲線$C$，$x$軸，直線$x=a_n$，$x=a_{n+1}$で囲まれた図形の面積を$S_n$とする．$S_n$を$a_1$で表せ．
(5)$T_n=S_1+S_3+\cdots +S_{2n-1}$とする．$T_{n}$を$a_1$で表せ．
(6)$U_n=S_2+S_4+\cdots +S_{2n}$とする．$\displaystyle \frac{U_n}{T_n}$を求めよ．

座標平面において，点$(2,\ 0)$を中心とする半径2の円を$C$とする．点$(1,\ 0)$を通る直線$\ell_1$と円$C$との交点をA，Bとし，点$(3,\ 0)$を通る直線$\ell_2$と円$C$との交点をP，Qとする．さらに，$\ell_1$と$\ell_2$は垂直に交わるとする．ただし，$\ell_2$は座標軸とは一致しない．$\ell_1$の傾きを$k$で表す．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\ell_1$と$\ell_2$の交点Dは円$C$の内部にあることを示せ．
(2)弦ABの長さを$k$を用いて表せ．
(3)弦PQの長さを$k$を用いて表せ．
(4)四角形APBQの面積の最大値を求めよ．

Oを原点とする座標平面上に2点A$(4,\ 2)$，B$(5,\ 0)$がある．AをP$_0$とし，P$_0$から直線OBに下ろした垂線と直線OBとの交点をP$_1$，P$_1$から直線OAに下ろした垂線と直線OAとの交点をP$_2$とする．同様にして，自然数$n$に対して，P$_{2n}$から直線OBに下ろした垂線と直線OBとの交点をP$_{2n+1}$，P$_{2n+1}$から直線OAに下ろした垂線と直線OAとの交点をP$_{2n+2}$とする．さらに，自然数$n$に対して，線分P$_{n-1}$P$_n$の長さを$l_n$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$l_n$を$n$の式で表せ．
(2)$l_1+l_2+\cdots +l_n> \text{OA}+\text{OB}$となる最小の$n$の値を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(3)線分P$_{2n-1}$P$_{2n}$の中点をM$_n$とするとき，点M$_1$，M$_2$，M$_3$，$\cdots$，M$_n$，$\cdots$は一直線上にあることを示し，その直線の方程式を求めよ．

$xy$平面上に曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x} \ (x>0)$がある．曲線$C$上の点P$\displaystyle \left( t,\ \frac{1}{t} \right)$における接線を$\ell$とし，原点Oから$\ell$に下ろした垂線をOHとするとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式は$\displaystyle y=-\frac{1}{t^2}x+\frac{2}{t}$であることを示せ．
(2)点Hの座標は$\displaystyle \left( \frac{2t}{1+t^4},\ \frac{2t^3}{1+t^4} \right)$であることを示せ．
(3)直線$\ell$と$y$軸のなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とし，線分OHの長さを$d$とする．

\mon[(i)] $t^2,\ d^2$を$\theta$の式で表せ．
\mon[(ii)] $\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\frac{d^2}{\theta}$を求めよ．

以下の設問に答えよ．

(1)初項$a$，公比$r$の無限等比級数は$|\,r\,|<1$のとき収束し，その和が$\displaystyle \frac{a}{1-r}$となることを示せ．
(2)座標平面上で，動点Pが点$(1,\ 1)$から$x$軸の負の向きに1だけ進み，次に$y$軸の負の向きに$\displaystyle \frac{1}{3}$だけ進み，次に$x$軸の負の向きに$\displaystyle \frac{1}{3^2}$だけ進み，次に$y$軸の負の向きに$\displaystyle \frac{1}{3^3}$だけ進む．以下，動点Pがこのような運動を続けるとき，動点Pが限りなく近づく点の座標を求めよ．

関数$f(x)$を
\[ f(x)=\left\{
\begin{array}{l}
-x^2+4x \quad (x \leqq 0,\ x \geqq 2 \text{のとき}) \\
x^2 \qquad\qquad\;\! (0<x<2 \text{のとき})
\end{array}
\right. \]
とする．座標平面上の曲線$C:y=f(x)$と直線$\ell:y=x$で囲まれる部分の面積を$S$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)曲線$C$の概形をかけ．
(2)$S$の値を求めよ．

座標平面上の円$x^2+y^2=1$を$C$とする．点Pが行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
1 & 0
\end{array} \biggr)$で表される1次変換で点Qに移されるとき，次の問に答えよ．

(1)点Pが円$C$上を動くとき，点Qの軌跡を求め，図示せよ．
(2)(1)で求めた曲線で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

座標平面上において，点A$(0,\ 1)$を中心とし原点Oを通る円$C_1$について，点B$(0,\ -1)$から引いた2本の接線の接点をP，Qとする．ただし，点Pの$x$座標は正とする．さらに，$y$軸に関して対称な放物線$C_2$が直線BPと直線BQにそれぞれ点Pと点Qで接するものとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)2点P，Qの座標を求めよ．
(2)放物線$C_2$を表す方程式を求めよ．
(3)点Aから放物線$C_2$上の各点までの距離は1以上であることを示せ．
(4)円$C_1$の原点Oを含む弧PQと放物線$C_2$で囲まれる部分の面積$S$を求めよ．