実数$a$に対し，不等式
\[ y \leqq 2ax-a^2+2a+2 \]
の表す座標平面内の領域を$D(a)$とおく．

(1)$-1 \leqq a \leqq 2$を満たすすべての$a$に対し$D(a)$の点となるような点$(p,\ q)$の範囲を図示せよ．
(2)$-1 \leqq a \leqq 2$を満たすいずれかの$a$に対し$D(a)$の点となるような点$(p,\ q)$の範囲を図示せよ．

実数の組$(p,\ q)$に対し，$f(x) = (x-p)^2+q$とおく．

(1)放物線$y=f(x)$が点$(0,\ 1)$を通り，しかも直線$y=x$の$x>0$の部分と接するような実数の組$(p,\ q)$と接点の座標を求めよ．
(2)実数の組$(p_1,\ q_1),\ (p_2,\ q_2)$に対して，$f_1(x)=(x-p_1)^2+q_1$および$f_2(x)=(x-p_2)^2+q_2$とおく．実数$\alpha,\ \beta \quad (\text{ただし}\alpha < \beta)$に対して
\[ f_1(\alpha)<f_2(\alpha) \quad \text{かつ} f_1(\beta) < f_2(\beta) \]
であるならば，区間$\alpha \leqq x \leqq \beta$において不等式$f_1(x) < f_2(x)$がつねに成り立つことを示せ．
(3)長方形$R: 0 \leqq x \leqq 1,\ 0 \leqq y \leqq 2$を考える．また，4点P$_0(0,\ 1)$，P$_1(0,\ 0)$，P$_2(1,\ 1)$，P$_3(1,\ 0)$をこの順に線分で結んで得られる折れ線を$L$とする．実数の組$(p,\ q)$を，放物線$y=f(x)$と折れ線$L$に共有点がないようなすべての組にわたって動かすとき，$R$の点のうちで放物線$y=f(x)$が通過する点全体の集合を$T$とする．$R$から$T$を除いた領域$S$を座標平面上に図示し，その面積を求めよ．

$a,\ b,\ c$を実数とする．ベクトル$\overrightarrow{v_1}=(3,\ 0),\ \overrightarrow{v_2}=(1,\ 2\sqrt{2})$をとり，$\overrightarrow{v_3}=a\overrightarrow{v_1}+b\overrightarrow{v_2}$とおく．座標平面上のベクトル$\overrightarrow{p}$に対する条件
\[ (*) \qquad　(\overrightarrow{v_1}\cdot \overrightarrow{p})\overrightarrow{v_1}+(\overrightarrow{v_2}\cdot \overrightarrow{p})\overrightarrow{v_2}+(\overrightarrow{v_3}\cdot \overrightarrow{p})\overrightarrow{v_3} = c\overrightarrow{p} \]
を考える．ここで$\overrightarrow{v_i}\cdot \overrightarrow{p} \ (i=1,\ 2,\ 3)$はベクトル$\overrightarrow{v_i}$とベクトル$\overrightarrow{p}$の内積を表す．このとき以下の問いに答えよ．

(1)座標平面上の任意のベクトル$\overrightarrow{v}=(x,\ y)$が，実数$s,\ t$を用いて$\overrightarrow{v}=s\overrightarrow{v_1}+t\overrightarrow{v_2}$と表されることを，$s$および$t$の各々を$x,\ y$の式で表すことによって示せ．
(2)$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v_1}$と$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v_2}$の両方が条件$(*)$をみたすならば，座標平面上のすべてのベクトル$\overrightarrow{v}$こ対して，$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v}$が条件$(*)$をみたすことを示せ．
(3)座標平面上のすべてのベクトル$\overrightarrow{v}$に対して，$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v}$が条件$(*)$をみたす．このような実数の組$(a,\ b,\ c)$をすべて求めよ．

曲線$y=\sqrt{x}$上の点$\mathrm{P}(t,\ \sqrt{t})$から直線$y=x$へ垂線を引き，交点を$\mathrm{H}$とする．ただし，$t>1$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{H}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)$x \geqq 1$の範囲において，曲線$y=\sqrt{x}$と直線$y=x$および線分$\mathrm{PH}$とで囲まれた図形の面積を$S_1$とするとき，$S_1$を$t$を用いて表せ．
(3)曲線$y=\sqrt{x}$と直線$y=x$で囲まれた図形の面積を$S_2$とすると，$S_1=S_2$であるとき，$t$の値を求めよ．

空間内の$4$点
\[ \mathrm{O}(0,\ 0,\ 0),\quad \mathrm{A}(0,\ 2,\ 3),\quad \mathrm{B}(1,\ 0,\ 3),\quad \mathrm{C}(1,\ 2,\ 0) \]
を考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る球面の中心$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面に点$\mathrm{D}$から垂線を引き，交点を$\mathrm{F}$とする．線分$\mathrm{DF}$の長さを求めよ．
(3)四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．

座標空間内で4点O$(0,\ 0,\ 0),\ \text{A}(1,\ 0,\ 0),\ \text{B}(0,\ 1,\ 0),\ \text{C}(0,\ 0,\ 1)$を頂点とする四面体OABCを考える．線分ABを$m:(1-m)$に内分する点をP，線分OPを$s:(1-s)$に内分する点をQ，線分CPを$u:(1-u)$に内分する点をRとする．また，線分ABの中点をHとし，点Rを通り線分OPに垂直に交わる直線と線分OPとの交点をIとする．$\angle \text{OQC}$と$\angle \text{IQR}$が等しいとき，次の問いに答えよ．

(1)点Rの座標を$m,\ u$を用いて表せ．
(2)$s$を$u$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{HR}}=a\frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|}+b \frac{\overrightarrow{\mathrm{HC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{HC}}|}$と表すとき，この$a,\ b$を用いて$s,\ m$を表せ．

$a$を正の実数，$b$と$c$を実数とし，$2$点$\mathrm{P}(-1,\ 3)$，$\mathrm{Q}(1,\ 4)$を通る放物線$y=ax^2+bx+c$を$C$とおく．$C$上の$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$における$C$の接線をそれぞれ$\ell_1,\ \ell_2$とする．

(1)$b$の値を求め，$c$を$a$で表せ．
(2)$\ell_1$と$\ell_2$の交点の座標を$a$で表せ．
(3)放物線$C$と接線$\ell_1,\ \ell_2$で囲まれる図形の面積が$1$に等しくなるような$a$の値を求めよ．

$a,\ b$を実数とし，$xy$平面上の$3$直線を
\[ \ell:x+y=0,\quad \ell_1:ax+y=2a+2,\quad \ell_2:bx+y=2b+2 \]
で定める．

(1)直線$\ell_1$は$a$の値によらない$1$点$\mathrm{P}$を通る．$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)$\ell,\ \ell_1,\ \ell_2$によって三角形がつくられるための$a,\ b$の条件を求めよ．
(3)$a,\ b$は$(2)$で求めた条件を満たすものとする．点$(1,\ 1)$が$(2)$の三角形の内部にあるような$a,\ b$の範囲を求め，それを$ab$平面に図示せよ．

次の問いに答えよ．

(1)グラフが$3$点$(-2,\ 46),\ (3,\ -4),\ (5,\ 4)$を通る$2$次関数$y=f(x)$を求めよ．
(2)(1)の$2$次関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=-2x+6$の$2$つの交点の座標を求めよ．
(3)(2)の$2$つの交点の$x$座標をそれぞれ$p,\ q$とする．ただし，$p<q$とする．$a$を定数とするとき，$2$次関数$y=-x^2+2ax+3-a^2$の$p \leqq x \leqq q$における最大値を求めよ．

放物線$y = x^2$ の$2$本の接線$\ell,\ m$は垂直であるとする．

(1)$\ell$の接点の座標が$(a,\ a^2)$で与えられるとき，$\ell,\ m$の交点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$\ell,\ m$が$y$軸に関して対称なとき，$\ell,\ m$および放物線$y = x^2$で囲まれる部分の面積を求めよ．