座標空間における点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2 \sqrt{2},\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(2 \sqrt{2},\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{D}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{E}(2 \sqrt{2},\ 0,\ 1)$，$\mathrm{F}(2 \sqrt{2},\ 1,\ 1)$，$\mathrm{G}(0,\ 1,\ 1)$を頂点とする直方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$について，直線$\mathrm{FG}$上の点を$\mathrm{P}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{FG}$の中点であるとき，$\angle \mathrm{OPA}$を求めよ．
(2)点$\mathrm{G}$と点$\mathrm{A}$を通る直線$\ell$と原点$\mathrm{O}$との距離$d$を求めよ．
(3)点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$を通る直線$m$と$xy$平面のなす角を$\theta$とするとき，$\theta=15^\circ$，$\theta=30^\circ$を満たす点$\mathrm{P}$の座標をそれぞれ求めよ．

曲線$C:y=(\log x-2 \log 2) \log x$について次の問いに答えよ．

(1)関数の増減と凹凸を調べ，曲線$C$の概形をかけ．曲線$C$が$x$軸および$y$軸と共有点がある場合にはその点の座標を明記すること．また，極値を表す点や変曲点がある場合にはその座標を明記すること．
(2)変曲点における接線と法線の方程式を求めよ．また，接線と$x$軸との交点$\mathrm{P}$および法線と$x$軸との交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)原点を$\mathrm{O}$とし，変曲点から$x$軸に下ろした垂線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{OP}$の長さと線分$\mathrm{QR}$の長さの積を求めよ．
(4)曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

$xy$平面上において，原点$\mathrm{O}$を中心とする正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の$3$つの頂点の座標が，$\mathrm{A}(0,\ 2)$，$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ 1)$，$\mathrm{C}(\sqrt{3},\ -1)$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{L}$，線分$\mathrm{AL}$の中点を$\mathrm{M}$とし，直線$\mathrm{FM}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{N}$とする．$\mathrm{FM}:\mathrm{MN}$，$\mathrm{BN}:\mathrm{NC}$の比の値をそれぞれ求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{FP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{BF}}|$を満たす点$\mathrm{P}$の描く図形の方程式を求めよ．
(3)$\mathrm{BF}$上の点$\mathrm{Q}(q,\ 1)$が$-\sqrt{3} \leqq q \leqq \sqrt{3}$を満たす任意の点であるとき，$\triangle \mathrm{QCE}$の垂心$\mathrm{H}$の描く図形の方程式を求めよ．

放物線$y=x^2$の$2$つの接線が直交しており，接点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$としその$x$座標をそれぞれ$s,\ t$とする．次の問に答えなさい．

(1)$s$と$t$の関係式を求めなさい．
(2)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を結ぶ線分は，接線のとり方に関係なく常に$y$軸上のある定点を通ることを示しなさい．

次の空欄$[ア]$から$[カ]$にあてはまる数や式を書きなさい．

$2$つの曲線
\[ C:y=x^3+ax^2 \quad \text{と} \quad D:y=a(x-b)^2 \quad (ab \neq 0) \]
について，点$\mathrm{P}$を$C$と$D$の交点とし，$\mathrm{P}$の$x$座標を$p$とする．
$\mathrm{P}$における$C$の接線の方程式は
\[ y=\left( [ア] \right) x+[イ] \]
で，$\mathrm{P}$における$D$の接線の方程式は
\[ y=\left( [ウ] \right) x+[エ] \]
である．
また，$C$と$D$が$\mathrm{P}$で接するとき，$b,\ p$を$a$を用いて表せば，
\[ b=[オ],\quad p=[カ] \]
となる．

数直線上の点$\mathrm{P}$を，サイコロを投げ，偶数の目が出たら正の方向に出た目の数だけ動かし，奇数の目が出たら負の方向に出た目の数だけ動かす．$\mathrm{P}$を最初原点$0$に置き，サイコロを$2$回投げたとき，$\mathrm{P}$の位置する場所について，次の問いに答えよ．ただし，サイコロは$1$から$6$までのどの目も同じ確率で出るものとする．

(1)$\mathrm{P}$が位置する可能性がある点（存在する確率が正の点）をすべて書け．
(2)$\mathrm{P}$が位置する可能性が最も高い点を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$の座標の期待値を求めよ．

次の空欄$[ハ]$から$[マ]$にあてはまる数や式を書きなさい．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$3$点
\[ \mathrm{A} \left( \frac{1}{a},\ 0,\ 0 \right),\quad \mathrm{B} \left( 0,\ \frac{1}{b},\ 0 \right),\quad \mathrm{C} \left( 0,\ 0,\ \frac{1}{c} \right) \]
$(a,\ b,\ c>0)$をとる．平面$\mathrm{ABC}$上に点$\mathrm{H}$をとり，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+u \overrightarrow{\mathrm{AC}}$（$t,\ u$は定数）とおく．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=[ハ],\quad \overrightarrow{\mathrm{OH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=[ヒ] \]
となる．
したがって，$\mathrm{OH}$が平面$\mathrm{ABC}$に垂直であるとすると，$\mathrm{H}$の座標は
\[ \left( [フ],\ [ヘ],\ [ホ] \right) \]
となる．また，このとき$\overrightarrow{\mathrm{AH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=[マ]$となる．

区間$[-1,\ 1]$で，曲線$y=|x|e^{|x|}$と直線$\ell:y=a (0 \leqq a \leqq e)$の間にある部分の面積を$S$とする．

(1)曲線$y=xe^x (x \geqq 0)$と$\ell$の交点の$x$座標を$t$とし，$S$を$t$の式で表せ．
(2)$S$の最大値と最小値，およびそれらをとる$a$の値を求めよ．

$xy$平面上の点$\mathrm{P}_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は放物線$y=x^2$上にあり，直線$\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}$の傾きは$\displaystyle \frac{1}{n(n+2)}$である．点$\mathrm{P}_n$の$x$座標を$x_n$とし，点$\mathrm{P}_1$が原点$\mathrm{O}$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)$x_{n+1}+x_n$を$n$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle y_n=x_n-\frac{1}{2n(n+1)}$とおくとき，数列$\{y_n\}$は等比数列であることを示せ．
(3)$x_n$を求めよ．

数直線上の点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は，さいころ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を同時に投げた結果によって移動する．点$\mathrm{P}$は，さいころ$\mathrm{A}$の出る目が偶数ならば$+3$だけ移動し，奇数ならば$-1$だけ移動する．点$\mathrm{Q}$は，さいころ$\mathrm{B}$の出る目が$2$以下ならば$+3$だけ移動し，$3$以上ならば$+1$だけ移動する．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は最初に原点にあるものとし，このような操作をくり返すとき，次の問いに答えよ．

(1)$8$回目の操作で，点$\mathrm{P}$が原点に戻る確率$p_1$を求めよ．
(2)$6$回目の操作で，点$\mathrm{Q}$の座標が$14$以上である確率$p_2$を求めよ．
(3)$4$回目の操作で，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の座標が同じである確率$p_3$を求めよ．