関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=x^2+\int_{-1}^1 f(t) \, dt$とおく．曲線$y=f(x)$を$C$とする．$C$上に2つの点P，Qがある．Pの$x$座標を$a$，Qの$x$座標を$b$とする．ただし，$a<b$とする．Pにおける$C$の接線と直交しPを通る直線を$\ell$，Qにおける$C$の接線と直交しQを通る直線を$m$，PとQを通る直線を$n$とする．$\ell$と$m$の交点をRとする．$\displaystyle \angle \text{PRQ}=\frac{\pi}{2}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)等式$\displaystyle f(x)=x^2+\int_{-1}^1 f(t) \, dt$を満たす関数$f(x)$を求めよ．
(2)Rの$x$座標を$a$を用いて表せ．
(3)Rが$y$軸上にあるとき，$n$および$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$a$を実数とし，$f(x)=2x^3-3(a^2+a)x^2+6a^3x$とおく．次の問いに答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}(2a,\ f(2a))$における接線が，点$\mathrm{A}$とは異なる点$\mathrm{B}$において曲線$y=f(x)$と交わるとき，$a$が満たす条件を求めよ．また，そのときの点$\mathrm{B}$の$x$座標を求めよ．
(2)$0<a<1$のとき，$f(x)$の極大値と極小値の差を$g(a)$とおく．$g(a)$の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．

実数$\displaystyle t \left( 0 \leqq t \leqq \frac{5}{2} \right)$に対し，座標平面上の点P$(2t-5,\ 0)$とQ$(t,\ t^2)$を考える．

(1)放物線$y=x^2$の$0 \leqq x \leqq t$の部分と線分OPおよび線分PQで囲まれた部分の面積を求めよ．ただし，Oは原点を表す．
(2)$t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{5}{2}$の範囲を動くとき，(1)で求めた面積の最大値を求めよ．

座標平面上に3点O$(0,\ 0)$，A$(r,\ 0)$，B$(0,\ 1)$がある．Oを中心として，Aを反時計回りに$\theta$回転した点をA$^\prime$とし，線分ABと線分OA$^\prime$の交点をPとする．ただし，$r$は$r>1$を満たす定数とし，$\theta$は$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$を満たす変数とする．$\theta$が不等式$\displaystyle \frac{1}{2}r \cos \theta \leqq \sin \theta \leqq 2r \cos \theta$を満たしながら変化するとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$の最小値$M$と，そのときのPの座標$(k,\ l)$を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$|x+y+1| \leqq 3$で定まる座標平面の領域を$D$とする．$D$を図示せよ．
(2)方程式$\displaystyle y= \left( -1+\frac{1}{a} \right)x$で与えられる直線$\ell$と，(1)で定めた領域$D$の共通部分として与えられる線分を考える．この線分の長さの最小値を求めよ．また，線分の長さが最小となるときの直線$\ell$は，どのような方程式で与えられるか．ただし，$a$は$0$でない定数とする．

座標平面において，原点$\mathrm{O}$を中心とし半径が$1$の円$C$を考える．円$C$上に，点$\mathrm{P} \displaystyle \left( -\frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$，点$\mathrm{Q}(0,\ 1)$，点$\mathrm{R} \displaystyle \left( \frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$をとる．以下の問いに答えよ．

(1)$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る放物線の方程式を求めよ．
(2)(1)で求めた放物線と，線分$\mathrm{OP}$，線分$\mathrm{OR}$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)(2)で求めた部分の面積は，点$\mathrm{Q}$が弧の上にある扇形$\mathrm{OPR}$の面積より小さい．このことを用いて，円周率$\pi$に対して$\pi > 3.13$が成り立つことを示せ．ただし，$\sqrt{3}<1.733$であることを用いてよい．

以下の問いに答えよ．

(1)$2$つの行列$M=\left( \begin{array}{cc}
p & q \\
r & s
\end{array} \right)$と$N=\left( \begin{array}{cc}
p & r \\
q & s
\end{array} \right)$が，
\[ M \left( \begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{array} \right) N= \left( \begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{array} \right) \]
をみたすのは，$p,\ q,\ r,\ s$の間にどのような関係が成り立つときか．
(2)行列$M=\left( \begin{array}{cc}
p & q \\
r & s
\end{array} \right)$が，(1)で求めた関係をみたしているとする．行列$M$の表す$1$次変換による，点$\mathrm{A}(q,\ -p)$の像を点$\mathrm{C}$，点$\mathrm{B}(s,\ -r)$の像を点$\mathrm{D}$とする．座標平面の原点を$\mathrm{O}$とするとき，三角形$\mathrm{OCD}$の面積を求めよ．

曲線$C:y=\log x-1$の接線で原点を通るものを$\ell$とする．このとき，以下の空欄をうめよ．

(1)$C$と$x$軸の共有点の座標は$[　]$である．
(2)$C$と$\ell$の接点の座標は$[　]$である．
(3)$C$と$x$軸および$\ell$で囲まれた部分の面積を$S$とすると，$S=[　]$である．

$y=x(x-2a) (a>0)$で表される放物線$C$がある．$C$の頂点$\mathrm{P}$を通る$y$軸に平行な直線と，$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．また，$C$上を原点$\mathrm{O}$から$\mathrm{P}$まで動く点を$\mathrm{R}$とし，$\mathrm{R}$を通り$x$軸に平行な直線と線分$\mathrm{PQ}$との交点を$\mathrm{H}$とする．

(1)線分$\mathrm{OQ}$，線分$\mathrm{PQ}$および$C$で囲まれた領域の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{OR}$と$C$で囲まれた領域の面積と，線分$\mathrm{RH}$，線分$\mathrm{PH}$および$C$で囲まれた領域の面積との和を$T$とするとき，$T$を最小にする$\mathrm{R}$の座標と$T$の最小値を$a$を用いて表せ．

曲線$C_1:y^2=4px$と$C_2:x^2-y^2=-q$（ただし，$p>0$，$q>0$）の二つの曲線が接するとき，次の問いに答えよ．

(1)$q$を$p$を用いて表せ．また接点の座標を$p$を用いて表せ．
(2)$\sqrt{x^2+q}+x=t$と置いたとき$x$を$t$で表せ．また不定積分$\displaystyle I=\int \sqrt{x^2+q} \, dx$を$x$から$t$への置換積分により，$t$の関数として求めよ．
(3)曲線$C_1$，$C_2$と$y$軸で囲まれた部分の面積を$p$で表せ．