関数$f(x)=xe^{-x} (0 \leqq x \leqq 3)$とする．曲線$y=f(x)$，$x$軸および直線$x=3$で囲まれる図形を$G$とする．

(1)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)=[ア]$である．
(2)関数$f(x)$の極値は$[イ]$である．
(3)曲線$y=f(x)$の変曲点の座標は$[ウ]$である．
(4)図形$G$の面積は$[エ]$である．

$r$を$0<r<1$を満たす実数として，次のように行列とベクトルを定める．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
r & 0 \\
2r-1 & 1-r
\end{array} \right) ,\quad P=\left( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \right),\quad Q=\left( \begin{array}{c}
0 \\
1
\end{array} \right) \]
またベクトル$Q_n=\left( \begin{array}{c}
a_n \\
b_n
\end{array} \right) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を
\[ Q_1=\left( \begin{array}{c}
a_1 \\
b_1
\end{array} \right)=Q,\quad Q_n=AQ_{n-1}+P \quad (n \geqq 2) \]
として定める．

(1)$AP=\alpha P$，$AQ=\beta Q$を満たす定数$\alpha$，$\beta$を求めよ．
(2)$A^nP,\ A^nQ$を求めよ．
(3)$Q_n=\left( \begin{array}{c}
a_n \\
b_n
\end{array} \right)$を求めよ．
(4)座標平面において，各$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し座標が$(a_n,\ 0)$である点を$X_n$，座標が$(a_n,\ b_n-a_n)$である点を$Y_n$とする．さらに，台形$X_nX_{n+1}Y_{n+1}Y_n$の面積を$S_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とし，
\[ S=\sum_{n=1}^\infty S_n=S_1+S_2+\cdots +S_n+ \cdots \]
とする．

(i) $S$を求めよ．
(ii) $r$が$0<r<1$の範囲を動くとき，$S$の最大値とそのときの$r$の値を求めよ．

座標平面上の点$\mathrm{P}(p,\ q)$が，媒介変数$\theta$により
\[ p=1+2 \cos \theta,\quad q=1+\sin \theta \quad (-\pi<\theta \leqq \pi) \]
で与えられている．$a$を非負の定数とするとき，点$\mathrm{P}$から，原点$\mathrm{O}$と点$(1,\ a)$を通る直線に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とし，$\mathrm{H}$の座標を$(u,\ v)$とする．点$\mathrm{P}$が$p \geqq 2$を満たす範囲にあるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\theta$と$q$の値の範囲を求めよ．
(2)$u$を$a$と$\theta$を用いて表せ．
(3)$N=\sqrt{u^2+(2+a^2)v^2}$とおく．$N$を$a$と$\theta$を用いて表せ．
(4)各$a$に対して，点$\mathrm{P}$が$p \geqq 2$を満たすように動くとき，$(3)$で求めた$N$の最大値を$M(a)$により表す．

(i) $M(0)$を求めよ．
(ii) $a>0$のとき，$M(a)$を求めよ．

放物線$y=ax^2-6x+7$と直線$y=bx+c$が$2$点$\mathrm{A}(1,\ 2)$，$\mathrm{B}(4,\ d)$で交わっている．$a,\ b,\ c,\ d$を定数とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c,\ d$の値を求めよ．
(2)この放物線の頂点の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$が$1 \leqq x \leqq 4$の区間において放物線上を動くとき，$\triangle \mathrm{APB}$の面積の最大値を求めよ．また，そのときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

座標平面上の直線$y=2x+1$を直線$\ell$とし，直線$\ell$と$y$軸の交点を$\mathrm{A}$とする．第$1$象限内における直線$\ell$上の任意の点を中心とし$\mathrm{A}$を通る円$\mathrm{O}$を考える．直線$\ell$と円$\mathrm{O}$の交点のうち，$\mathrm{A}$と異なるもう一方の交点を$\mathrm{B}$とする．また，$\mathrm{A}$を通り$x$軸に平行な直線と円$\mathrm{O}$の交点のうち，$\mathrm{A}$と異なる交点を$\mathrm{C}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\sin \angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)直線$\mathrm{BC}$は$y$軸に平行であることを証明せよ．
(3)円$\mathrm{O}$が$x$軸と接するとき，接点の$x$座標を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$を整数とするとき，以下の問いに答えなさい．

(i) $a+b+c=10,\ a \geqq 1,\ b \geqq 1,\ c \geqq 1$を満たす整数解$a,\ b,\ c$の組の総数は$[ア][イ]$である．
(ii) $a+b+c \leqq 10,\ a \geqq 1,\ b \geqq 1,\ c \geqq 1$を満たす整数解$a,\ b,\ c$の組の総数は$[ウ][エ][オ]$である．
(iii) $a+b+c \leqq 10,\ 7 \geqq a \geqq 1,\ 7 \geqq b \geqq 1,\ 7 \geqq c \geqq 1$を満たす整数解$a,\ b,\ c$の組の総数は$[カ][キ][ク]$である．

(2)$\angle \mathrm{B}=2 \angle \mathrm{A}$を満たす$\triangle \mathrm{ABC}$について，以下の問いに答えなさい．

(i) 式$\displaystyle \frac{\sin B+\sin C}{\sin A}$がとりうる値の範囲は
\[ [ア]<\frac{\sin B+\sin C}{\sin A}<[イ] \]
である．
(ii) $\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=3$のとき，
\[ \cos A=\frac{[ウ]+\sqrt{[エ][オ]}}{[カ]} \]
であり，
\[ \mathrm{BC}=-[キ]+\sqrt{[ク][ケ]} \]
である．

(3)座標平面上に，点$\mathrm{A}(0,\ 2)$，$\mathrm{B}(4,\ 0)$および放物線$C:y=-x^2+mx+1$（ただし，$m$は実数の定数）がある．$2$点$\mathrm{A}(0,\ 2)$，$\mathrm{B}(4,\ 0)$を通る直線を$\ell$とする．

(i) 放物線$C$と直線$\ell$が$2$個の異なる共有点をもつのは，
\[ m<-\frac{[ア]}{[イ]},\quad m>\frac{[ウ]}{[エ]} \]
のときである．
以下，放物線$C$と直線$\ell$が$2$個の異なる共有点をもつ場合について考え，この$2$個の共有点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．
(ii) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$のすくなくとも一方が線分$\mathrm{AB}$（端点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を含む）上にあるのは
\[ m>\frac{[オ]}{[カ]} \]
のときである．
(iii) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$がともに，線分$\mathrm{AB}$（端点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を含む）上にあるのは
\[ \frac{[キ]}{[ク]}<m \leqq \frac{[ケ][コ]}{[サ]} \]
のときである．また，$m$がこの範囲内で動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さは，
$\displaystyle m=\frac{[シ][ス]}{[セ]}$で最大値$\displaystyle \frac{[ソ][タ]}{[チ]} \times \sqrt{[ツ]}$をとる．

$a$を$a>2$であるような実数とする．座標平面上で，曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}$を$C_1$とし，点$(a,\ a)$を中心とし点$(1,\ 1)$を通る円を$C_2$とする．曲線$C_1$と円$C_2$の点$(1,\ 1)$以外の共有点のうち，$x$座標が$1$より小さいものを$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{B}$から直線$y=x$に下ろした垂線と直線$y=x$の交点を$\mathrm{H}$とする．

(1)円$C_2$の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．また，点$\mathrm{H}$と点$(1,\ 1)$の距離を求めよ．
(3)$t$を正の実数とする．直線$y=x$上にあり点$(1,\ 1)$からの距離が$t$である点のうち，$x$座標が$1$より大きいものを$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$を通り直線$y=x$に垂直な直線と曲線$C_1$の交点のうち，$x$座標が$1$より小さいものを$\mathrm{Q}$とする．このとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さを$t$を用いて表せ．
(4)直線$y=x$と線分$\mathrm{BH}$，および曲線$C_1$で囲まれた部分を，直線$y=x$の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

以下の問の$[$64$]$～$[$73$]$に当てはまる適切な数値またはマイナス符号（$-$）をマークしなさい．

$xy$平面上に原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする円$C$と，$2$つの直線$\ell_1$，$\ell_2$がある．ただし，$a>1$とする．


円$C$ \quad\!\! ：$x^2+y^2=1$
直線$\ell_1$：$\displaystyle x+\sqrt{2}y=\frac{\sqrt{3}}{a}$
直線$\ell_2$：$\displaystyle x+\sqrt{2}y=a \sqrt{3}$


円$C$と直線$\ell_1$は異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わり，それぞれの$x$座標を$x_\mathrm{A}$，$x_\mathrm{B}$とおくと，$x_\mathrm{A}<x_\mathrm{B}$である．また，直線$\ell_2$上に，$x$座標および$y$座標が共に正であるような点$\mathrm{P}$をとる．三角形$\mathrm{APB}$において，$\angle \mathrm{APB}=\theta$とすると，$\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{a} \sqrt{a^2-1}$であり，四角形$\mathrm{OAPB}$の面積は$2 \sqrt{6}$である．

(1)線分$\mathrm{AB}$の長さは$\displaystyle \frac{[$64$] \sqrt{[$65$]}}{[$66$]}$である．

(2)$\angle \mathrm{OBP}=\frac{[$67$]}{[$68$]} \pi+\frac{[$69$]}{[$70$]} \theta$である．

(3)三角形$\mathrm{OBP}$の面積は$\displaystyle \frac{[$71$] \sqrt{[$72$]}}{[$73$]}$である．

次の文章内の$[ア]$～$[コ]$に適当な式または数値を入れよ．ただし，$[ク]$～$[コ]$はそれぞれ$3$つの自然数の組である．

(1)$xy$平面上で，点$(-1,\ 0)$を通る傾き$t$の直線を考える．この直線が円$x^2+y^2=1$と点$(x,\ y)$（ただし，$x>0$，$y>0$）で交わるとき，$y$は$t$と$x$で，
\[ y=[ア] (ⅰ) \]
のように表される．この式を円の方程式$x^2+y^2=1$に代入して，$x$に関する$2$次方程式$[イ]=0$を得る．
この方程式を解いて，
\[ x=[ウ] (ⅱ) \]
を得る．また，式$(ⅰ)$から，
\[ y=[エ] (ⅲ) \]
となる．ただし，$t$の範囲は$0<t<[オ]$である．
(2)円$x^2+y^2=1$上の点$(x,\ y)$（ただし，$x>0$，$y>0$）の各座標がともに有理数であるとき，式$(ⅰ)$より$t$は有理数である．よって，$m,\ n$（ただし，$m>n$）を互いに素な自然数として$\displaystyle t=\frac{n}{m}$と表せば，式$(ⅱ)$，$(ⅲ)$より点$(x,\ y)$は
\[ x=\frac{[カ]}{m^2+n^2},\quad y=\frac{[キ]}{m^2+n^2} \]
と表される．
(3)等式$a^2+b^2=c^2$が成り立つような$3$つの自然数の組$(a,\ b,\ c)$（ただし，$a<b$）で，$a,\ b,\ c$の最大公約数が$1$，かつ$a<9$である組は
$(a,\ b,\ c)=(3,\ 4,\ 5),\ [ク],\ [ケ],\ [コ]$の$4$つである．

曲線$C:y=2x^2 (x>0)$上の点$\mathrm{P}_1(x_1,\ 2{x_1}^2)$における接線が$x$軸と交わる点の$x$座標を$x_2$とする．曲線$C$上の点$\mathrm{P}_2(x_2,\ 2{x_2}^2)$における接線が$x$軸と交わる点の$x$座標を$x_3$とし，曲線$C$上に点$\mathrm{P}_3(x_3,\ 2{x_3}^2)$を定める．以下，同様に曲線$C$上の点$\mathrm{P}_3,\ \mathrm{P}_4,\ \cdots,\ \mathrm{P}_{n-1},\ \mathrm{P}_n$における接線と$x$軸が交わる点の$x$座標を$x_4,\ x_5,\ \cdots,\ x_n,\ x_{n+1}$とする．$x_1=1$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}_1$および点$\mathrm{P}_2$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}_n(x_n,\ 2{x_n}^2)$における接線と$x$軸との交点の$x$座標$x_{n+1}$を$x_n$で表せ．
(3)$x_n$を$n$の式で表せ．