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私立 大阪産業大学 2012年 第2問直線$\ell:y=-3x+k$が，点$\mathrm{P}(1,\ 6)$および点$\mathrm{Q}$の$2$点で円$O:x^2+{(y-4)}^2=5$と交わり，点$\mathrm{Q}$で曲線$\displaystyle C:y=\frac{a}{x}+b$と接している．ここで$k,\ a,\ b$は定数とする．以下の各問いに答えよ．
(1)$k$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)$a$と$b$の値を求めよ．
(4)直線$\ell$と曲線$C$，および直線$x=1$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(1)$k$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)$a$と$b$の値を求めよ．
(4)直線$\ell$と曲線$C$，および直線$x=1$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
私立 大阪工業大学 2012年 第2問座標空間内の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2 \sqrt{2},\ -2 \sqrt{3},\ 2)$，$\mathrm{B}(\sqrt{6}-\sqrt{2},\ 3+\sqrt{3},\ \sqrt{3}-1)$について，次の問いに答えよ．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$および$\angle \mathrm{AOB}$を求めよ．ただし，$0 \leqq \angle \mathrm{AOB} \leqq \pi$とする．
(2)点$\mathrm{O}$を中心とし，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る円の周上から$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を含む$6$点をとって正六角形を作る．このとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$以外の$4$頂点の座標を求めよ．
(3)この正六角形の面積$S$を求めよ．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$および$\angle \mathrm{AOB}$を求めよ．ただし，$0 \leqq \angle \mathrm{AOB} \leqq \pi$とする．
(2)点$\mathrm{O}$を中心とし，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る円の周上から$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を含む$6$点をとって正六角形を作る．このとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$以外の$4$頂点の座標を求めよ．
(3)この正六角形の面積$S$を求めよ．
私立 大阪学院大学 2012年 第2問$\mathrm{O}$を原点とし，$y>0$であるような点$\mathrm{A}(x,\ y)$から$x$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{B}(x,\ 0)$とする．いま，点$\mathrm{A}$を，$\mathrm{OA}+\mathrm{AB}=c$（$c$は正定数）という条件を満たすように選びたい．次の問いに答えなさい．
(1)点$\mathrm{A}$の座標$(x,\ y)$の満たすべき条件を$y=f(x)$の形の式で表しなさい．また，そのとき点$\mathrm{A}$の$x$座標のとりうる範囲も示しなさい．
(2)$c=2$とするとき，点$\mathrm{A}$の条件を満たす座標$(x,\ y)$のうち，$-1 \leqq x \leqq 1$の範囲での$x+y$の最大値と最小値を求めなさい．
(1)点$\mathrm{A}$の座標$(x,\ y)$の満たすべき条件を$y=f(x)$の形の式で表しなさい．また，そのとき点$\mathrm{A}$の$x$座標のとりうる範囲も示しなさい．
(2)$c=2$とするとき，点$\mathrm{A}$の条件を満たす座標$(x,\ y)$のうち，$-1 \leqq x \leqq 1$の範囲での$x+y$の最大値と最小値を求めなさい．
私立 大阪薬科大学 2012年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)自然数$m,\ n$に対し，命題「$m^2+n^2$が偶数ならば，$m+n$は偶数である」が真ならば「真」と，偽ならば反例を$[$\mathrm{A]$}$に記入しなさい．
(2)$2^x=5^y=100$のとき，$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=[$\mathrm{B]$}$となる．
(3)$xy$座標平面において，円$x^2+y^2=3$と直線$x+y=1$の$2$つの交点を結ぶ線分の長さは，$[$\mathrm{C]$}$である．
(4)数直線上を動く点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$にある．表と裏が等しい確率で出るコインを投げ，表が出ると正方向に$1$だけ進み，裏が出ると負方向に$1$だけ進むことを繰り返す．コインを$10$回投げるとき，$\mathrm{P}$の座標が$-6$となる確率は，$[$\mathrm{D]$}$である．
(5)方程式$x^3-3x^2-9x-a=0$が異なる$3$つの実数解を持つとき，定数$a$が満たさなければならない条件を$[あ]$で求めなさい．
(1)自然数$m,\ n$に対し，命題「$m^2+n^2$が偶数ならば，$m+n$は偶数である」が真ならば「真」と，偽ならば反例を$[$\mathrm{A]$}$に記入しなさい．
(2)$2^x=5^y=100$のとき，$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=[$\mathrm{B]$}$となる．
(3)$xy$座標平面において，円$x^2+y^2=3$と直線$x+y=1$の$2$つの交点を結ぶ線分の長さは，$[$\mathrm{C]$}$である．
(4)数直線上を動く点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$にある．表と裏が等しい確率で出るコインを投げ，表が出ると正方向に$1$だけ進み，裏が出ると負方向に$1$だけ進むことを繰り返す．コインを$10$回投げるとき，$\mathrm{P}$の座標が$-6$となる確率は，$[$\mathrm{D]$}$である．
(5)方程式$x^3-3x^2-9x-a=0$が異なる$3$つの実数解を持つとき，定数$a$が満たさなければならない条件を$[あ]$で求めなさい．
私立 大阪薬科大学 2012年 第3問次の問いに答えなさい．
原点を$\mathrm{O}$とする$xy$座標平面に，点$\mathrm{A}(3,\ 4)$がある．$\mathrm{O}$を中心に反時計回りに$\displaystyle \frac{1}{4}\pi$だけ回転することで，$\mathrm{A}$は点$\mathrm{B}$に移る．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$x$軸の正の向きがなす角を$\alpha$とすると，$\tan \alpha=[$\mathrm{J]$}$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の成分は$[$\mathrm{K]$}$である．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=-2 \sqrt{2} \, \overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる点$\mathrm{C}$を定め，$\mathrm{OA}$と$\mathrm{OC}$を$2$辺とする平行四辺形$\mathrm{OAPC}$を考える．また，$\mathrm{O}$と$\mathrm{P}$を通る直線を$\ell$とする．
(i) $\ell$の方程式は，$y=[$\mathrm{L]$}$である．
(ii) $3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$を通る放物線と$\ell$で囲まれる部分の面積は，$[$\mathrm{M]$}$である．
(iii) $\mathrm{AP}$を$(1-t):t$に内分する点を$\mathrm{D}$，$\mathrm{CD}$と$\ell$の交点を$\mathrm{E}$とするとき，$\mathrm{DE}:\mathrm{EC}$を$[う]$で求めなさい．
原点を$\mathrm{O}$とする$xy$座標平面に，点$\mathrm{A}(3,\ 4)$がある．$\mathrm{O}$を中心に反時計回りに$\displaystyle \frac{1}{4}\pi$だけ回転することで，$\mathrm{A}$は点$\mathrm{B}$に移る．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$x$軸の正の向きがなす角を$\alpha$とすると，$\tan \alpha=[$\mathrm{J]$}$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の成分は$[$\mathrm{K]$}$である．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=-2 \sqrt{2} \, \overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる点$\mathrm{C}$を定め，$\mathrm{OA}$と$\mathrm{OC}$を$2$辺とする平行四辺形$\mathrm{OAPC}$を考える．また，$\mathrm{O}$と$\mathrm{P}$を通る直線を$\ell$とする．
(i) $\ell$の方程式は，$y=[$\mathrm{L]$}$である．
(ii) $3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$を通る放物線と$\ell$で囲まれる部分の面積は，$[$\mathrm{M]$}$である．
(iii) $\mathrm{AP}$を$(1-t):t$に内分する点を$\mathrm{D}$，$\mathrm{CD}$と$\ell$の交点を$\mathrm{E}$とするとき，$\mathrm{DE}:\mathrm{EC}$を$[う]$で求めなさい．
私立 大阪工業大学 2012年 第2問座標空間内の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2 \sqrt{2},\ -2 \sqrt{3},\ 2)$，$\mathrm{B}(\sqrt{6}-\sqrt{2},\ 3+\sqrt{3},\ \sqrt{3}-1)$について，次の問いに答えよ．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$および$\angle \mathrm{AOB}$を求めよ．ただし，$0 \leqq \angle \mathrm{AOB} \leqq \pi$とする．
(2)点$\mathrm{O}$を中心とし，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る円の周上から$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を含む$6$点をとって正六角形を作る．このとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$以外の$4$頂点の座標を求めよ．
(3)この正六角形の面積$S$を求めよ．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$および$\angle \mathrm{AOB}$を求めよ．ただし，$0 \leqq \angle \mathrm{AOB} \leqq \pi$とする．
(2)点$\mathrm{O}$を中心とし，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る円の周上から$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を含む$6$点をとって正六角形を作る．このとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$以外の$4$頂点の座標を求めよ．
(3)この正六角形の面積$S$を求めよ．
私立 近畿大学 2012年 第2問$f(x)=x^2-4x+7$とし，放物線$y=f(x)$上の$2$点$\mathrm{A}(t,\ f(t))$，$\mathrm{B}(t+a,\ f(t+a)) (a>0)$における$y=f(x)$の接線をそれぞれ$\ell_\mathrm{A}$，$\ell_\mathrm{B}$とする．また$\ell_\mathrm{A}$と$\ell_\mathrm{B}$の交点を$\mathrm{P}$とする．
(1)点$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( t+\frac{a}{[ア]},\ t^{[イ]}+(a-[ウ])t-[エ]a+[オ] \right) \]
である．このことから，$t$が変化するとき，点$\mathrm{P}$は曲線
\[ y=x^{[カ]}-[キ]x-\frac{a^{[ク]}}{[ケ]}+[コ] \]
上を動く．
(2)$\mathrm{AB}=\mathrm{AP}$となる実数$t$が存在するための必要十分条件は$\displaystyle a \geqq \frac{[サ]}{[シ]}$である．
(1)点$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( t+\frac{a}{[ア]},\ t^{[イ]}+(a-[ウ])t-[エ]a+[オ] \right) \]
である．このことから，$t$が変化するとき，点$\mathrm{P}$は曲線
\[ y=x^{[カ]}-[キ]x-\frac{a^{[ク]}}{[ケ]}+[コ] \]
上を動く．
(2)$\mathrm{AB}=\mathrm{AP}$となる実数$t$が存在するための必要十分条件は$\displaystyle a \geqq \frac{[サ]}{[シ]}$である．
私立 近畿大学 2012年 第2問$f(x)=x^2-4x+7$とし，放物線$y=f(x)$上の$2$点$\mathrm{A}(t,\ f(t))$，$\mathrm{B}(t+a,\ f(t+a)) (a>0)$における$y=f(x)$の接線をそれぞれ$\ell_\mathrm{A}$，$\ell_\mathrm{B}$とする．また$\ell_\mathrm{A}$と$\ell_\mathrm{B}$の交点を$\mathrm{P}$とする．
(1)点$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( t+\frac{a}{[ア]},\ t^{[イ]}+(a-[ウ])t-[エ]a+[オ] \right) \]
である．このことから，$t$が変化するとき，点$\mathrm{P}$は曲線
\[ y=x^{[カ]}-[キ]x-\frac{a^{[ク]}}{[ケ]}+[コ] \]
上を動く．
(2)$\mathrm{AB}=\mathrm{AP}$となる実数$t$が存在するための必要十分条件は$\displaystyle a \geqq \frac{[サ]}{[シ]}$である．
(1)点$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( t+\frac{a}{[ア]},\ t^{[イ]}+(a-[ウ])t-[エ]a+[オ] \right) \]
である．このことから，$t$が変化するとき，点$\mathrm{P}$は曲線
\[ y=x^{[カ]}-[キ]x-\frac{a^{[ク]}}{[ケ]}+[コ] \]
上を動く．
(2)$\mathrm{AB}=\mathrm{AP}$となる実数$t$が存在するための必要十分条件は$\displaystyle a \geqq \frac{[サ]}{[シ]}$である．
私立 中央大学 2012年 第1問次の問題文の空欄にもっとも適する答えを解答群から選び，その記号をマークせよ．ただし，同じ記号を$2$度以上用いてもよい．
$a,\ b,\ r,\ k$は$a>b>0$，$r>0$，$k>0$を満たす定数とする．
座標平面の相異なる$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が円$X^2+Y^2=r^2$の上を動くとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S_1$の最大値は次のようにして求められる．まず，$2$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を固定して点$\mathrm{A}$を動かすとき，その三角形の高さに注意すれば，面積が最大となるのは，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$であるような二等辺三角形のときである．したがって，この円に内接する二等辺三角形のうちで面積が最大のものを見つければよい．そこで，$\mathrm{A}(0,\ r)$，$\mathrm{B}(-r \cos \theta,\ r \sin \theta)$，$\mathrm{C}(r \cos \theta,\ r \sin \theta)$ $\displaystyle \left( -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とすれば$S_1$の最大値は$\sin \theta=[ア]$のとき$S_1=[イ] r^2$であることがわかる．
点$\mathrm{P}(x,\ y)$の$y$座標を$k$倍した点を$\mathrm{P}^\prime(x,\ ky)$とおく．相異なる$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標を$\mathrm{A}(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{B}(x_2,\ y_2)$，$\mathrm{C}(x_3,\ y_3)$としたとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$は内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて計算すると$[ウ]$と表される．したがって，点$\mathrm{A}^\prime(x_1,\ ky_1)$，$\mathrm{B}^\prime(x_2,\ ky_2)$，$\mathrm{C}^\prime(x_3,\ ky_3)$のなす三角形の面積を$S_2$とおくと，$S_2$は$S$の$[エ]$倍である．
点$\mathrm{P}(x,\ y)$は楕円$\displaystyle E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$の上を動く点とする．$\displaystyle k=\frac{a}{b}$であるとき，点$\mathrm{P}^\prime(x,\ ky)$は原点を中心とする半径$[オ]$の円上を動く．したがって，相異なる$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が楕円$E$上を動くとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積の最大値は$a,\ b$を用いて$[カ]$と表される．
\begin{itemize}
ア，イの解答群
\[ \begin{array}{lllll}
\marua -\displaystyle\frac{1}{2} \phantom{AAA} & \marub -\displaystyle\frac{1}{3} \phantom{AAA} & \maruc \displaystyle\frac{1}{3} & \marud \displaystyle\frac{1}{2} \phantom{AAA} & \marue \displaystyle\frac{16}{9} \\ \\
\maruf -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} & \marug -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3} & \maruh \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4} & \marui \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} & \maruj \displaystyle\frac{3 \sqrt{3}}{4} \\ \\
\maruk \displaystyle\frac{8 \sqrt{2}}{9} & \marul \displaystyle\frac{2+\sqrt{3}}{4} & \marum \displaystyle\frac{\sqrt{2}(1+\sqrt{3})}{3} & &
\end{array} \]
ウの解答群
\mon[$\marua$] $\displaystyle |(x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1)|$
\mon[$\marub$] $\displaystyle\frac{1}{2} |(x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1)|$
\mon[$\maruc$] $\displaystyle |(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)|$
\mon[$\marud$] $\displaystyle\frac{1}{2} |(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)|$
\mon[$\marue$] $\displaystyle |(x_2-x_1)(y_3-y_1)+(x_3-x_1)(y_2-y_1)|$
\mon[$\maruf$] $\displaystyle\frac{1}{2} |(x_2-x_1)(y_3-y_1)+(x_3-x_1)(y_2-y_1)|$
\mon[$\marug$] $\displaystyle \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \sqrt{(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2}$
$\displaystyle -\{(x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1)\}$
\mon[$\maruh$] $\displaystyle\frac{1}{2} \biggl[ \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \sqrt{(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2}$
$\displaystyle -\{(x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1)\} \biggr]$
エの解答群
\[ \marua \frac{1}{k^3} \quad \marub \frac{1}{k^2} \quad \maruc \frac{1}{k} \quad \marud \frac{2}{k} \quad \marue \frac{k}{2} \quad \maruf k \quad \marug k^2 \quad \maruh k^3 \]
オの解答群
\[ \begin{array}{lllll}
\marua \displaystyle\frac{a}{2} \phantom{AAA} & \marub \displaystyle\frac{a^2}{4} \phantom{AAA} & \maruc a \phantom{AAA} & \marud a^2 \phantom{AAA} & \marue ab \\
\maruf \displaystyle\frac{b}{2} & \marug \displaystyle\frac{b^2}{4} & \maruh b & \marui b^2 & \maruj (ab)^2 \phantom{\frac{{[ ]}^2}{2}}
\end{array} \]
カの解答群
\[ \begin{array}{lllll}
\marua \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}ab \phantom{AA} & \marub \displaystyle\frac{8 \sqrt{2}}{9} ab \phantom{AA} & \maruc \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4} ab \phantom{AA} & \marud \displaystyle\frac{16}{9}ab \phantom{AA} & \marue \displaystyle\frac{3 \sqrt{3}}{4} ab \\ \\
\maruf \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \frac{a^3}{b} & \marug \displaystyle\frac{8 \sqrt{2}}{9} \frac{a^3}{b} & \maruh \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4} \frac{a^3}{b} & \marui \displaystyle\frac{16}{9} \frac{a^3}{b} & \maruj \displaystyle\frac{3 \sqrt{3}}{4} \frac{a^3}{b}
\end{array} \]
\end{itemize}
$a,\ b,\ r,\ k$は$a>b>0$，$r>0$，$k>0$を満たす定数とする．
座標平面の相異なる$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が円$X^2+Y^2=r^2$の上を動くとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S_1$の最大値は次のようにして求められる．まず，$2$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を固定して点$\mathrm{A}$を動かすとき，その三角形の高さに注意すれば，面積が最大となるのは，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$であるような二等辺三角形のときである．したがって，この円に内接する二等辺三角形のうちで面積が最大のものを見つければよい．そこで，$\mathrm{A}(0,\ r)$，$\mathrm{B}(-r \cos \theta,\ r \sin \theta)$，$\mathrm{C}(r \cos \theta,\ r \sin \theta)$ $\displaystyle \left( -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とすれば$S_1$の最大値は$\sin \theta=[ア]$のとき$S_1=[イ] r^2$であることがわかる．
点$\mathrm{P}(x,\ y)$の$y$座標を$k$倍した点を$\mathrm{P}^\prime(x,\ ky)$とおく．相異なる$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標を$\mathrm{A}(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{B}(x_2,\ y_2)$，$\mathrm{C}(x_3,\ y_3)$としたとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$は内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて計算すると$[ウ]$と表される．したがって，点$\mathrm{A}^\prime(x_1,\ ky_1)$，$\mathrm{B}^\prime(x_2,\ ky_2)$，$\mathrm{C}^\prime(x_3,\ ky_3)$のなす三角形の面積を$S_2$とおくと，$S_2$は$S$の$[エ]$倍である．
点$\mathrm{P}(x,\ y)$は楕円$\displaystyle E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$の上を動く点とする．$\displaystyle k=\frac{a}{b}$であるとき，点$\mathrm{P}^\prime(x,\ ky)$は原点を中心とする半径$[オ]$の円上を動く．したがって，相異なる$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が楕円$E$上を動くとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積の最大値は$a,\ b$を用いて$[カ]$と表される．
\begin{itemize}
ア，イの解答群
\[ \begin{array}{lllll}
\marua -\displaystyle\frac{1}{2} \phantom{AAA} & \marub -\displaystyle\frac{1}{3} \phantom{AAA} & \maruc \displaystyle\frac{1}{3} & \marud \displaystyle\frac{1}{2} \phantom{AAA} & \marue \displaystyle\frac{16}{9} \\ \\
\maruf -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} & \marug -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3} & \maruh \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4} & \marui \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} & \maruj \displaystyle\frac{3 \sqrt{3}}{4} \\ \\
\maruk \displaystyle\frac{8 \sqrt{2}}{9} & \marul \displaystyle\frac{2+\sqrt{3}}{4} & \marum \displaystyle\frac{\sqrt{2}(1+\sqrt{3})}{3} & &
\end{array} \]
ウの解答群
\mon[$\marua$] $\displaystyle |(x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1)|$
\mon[$\marub$] $\displaystyle\frac{1}{2} |(x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1)|$
\mon[$\maruc$] $\displaystyle |(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)|$
\mon[$\marud$] $\displaystyle\frac{1}{2} |(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)|$
\mon[$\marue$] $\displaystyle |(x_2-x_1)(y_3-y_1)+(x_3-x_1)(y_2-y_1)|$
\mon[$\maruf$] $\displaystyle\frac{1}{2} |(x_2-x_1)(y_3-y_1)+(x_3-x_1)(y_2-y_1)|$
\mon[$\marug$] $\displaystyle \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \sqrt{(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2}$
$\displaystyle -\{(x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1)\}$
\mon[$\maruh$] $\displaystyle\frac{1}{2} \biggl[ \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \sqrt{(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2}$
$\displaystyle -\{(x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1)\} \biggr]$
エの解答群
\[ \marua \frac{1}{k^3} \quad \marub \frac{1}{k^2} \quad \maruc \frac{1}{k} \quad \marud \frac{2}{k} \quad \marue \frac{k}{2} \quad \maruf k \quad \marug k^2 \quad \maruh k^3 \]
オの解答群
\[ \begin{array}{lllll}
\marua \displaystyle\frac{a}{2} \phantom{AAA} & \marub \displaystyle\frac{a^2}{4} \phantom{AAA} & \maruc a \phantom{AAA} & \marud a^2 \phantom{AAA} & \marue ab \\
\maruf \displaystyle\frac{b}{2} & \marug \displaystyle\frac{b^2}{4} & \maruh b & \marui b^2 & \maruj (ab)^2 \phantom{\frac{{[ ]}^2}{2}}
\end{array} \]
カの解答群
\[ \begin{array}{lllll}
\marua \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}ab \phantom{AA} & \marub \displaystyle\frac{8 \sqrt{2}}{9} ab \phantom{AA} & \maruc \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4} ab \phantom{AA} & \marud \displaystyle\frac{16}{9}ab \phantom{AA} & \marue \displaystyle\frac{3 \sqrt{3}}{4} ab \\ \\
\maruf \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \frac{a^3}{b} & \marug \displaystyle\frac{8 \sqrt{2}}{9} \frac{a^3}{b} & \maruh \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4} \frac{a^3}{b} & \marui \displaystyle\frac{16}{9} \frac{a^3}{b} & \maruj \displaystyle\frac{3 \sqrt{3}}{4} \frac{a^3}{b}
\end{array} \]
\end{itemize}
私立 中央大学 2012年 第3問座標平面において，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする半径$1$の円を$C_0$とし，点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{1}{2},\ 0 \right)$を中心とする半径が$\displaystyle \frac{1}{2}$の円を$C_1$とする．以下の問いに答えよ．
(1)円$C_0$と内接し，円$C_1$と外接する円$D$の半径を$r$，中心$\mathrm{G}$の座標を$(\alpha,\ \beta)$とするとき，$r$を$\alpha$によって表せ．
(2)中心$\mathrm{G}(\alpha,\ \beta)$の軌跡の方程式を求めよ．
以上で考察した円$D$は無数にあるが，これらの円はどれも点$\displaystyle \mathrm{B}(\frac{1}{3},\ 0)$を中心とする半径$\displaystyle \frac{2}{3}$の円$C_2$と特別な位置関係にある．以下ではこのことを調べてみよう．円$D$と円$C_2$の$2$つの交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．
(3)直線$\mathrm{PQ}$の方程式を$\alpha,\ \beta$により表せ．
(4)点$\mathrm{P}$の座標$(X,\ Y)$が直線$\mathrm{PQ}$の方程式と円$C_2$の方程式を満たしていることを利用して，$\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{GP}}=0$を示せ．
(1)円$C_0$と内接し，円$C_1$と外接する円$D$の半径を$r$，中心$\mathrm{G}$の座標を$(\alpha,\ \beta)$とするとき，$r$を$\alpha$によって表せ．
(2)中心$\mathrm{G}(\alpha,\ \beta)$の軌跡の方程式を求めよ．
以上で考察した円$D$は無数にあるが，これらの円はどれも点$\displaystyle \mathrm{B}(\frac{1}{3},\ 0)$を中心とする半径$\displaystyle \frac{2}{3}$の円$C_2$と特別な位置関係にある．以下ではこのことを調べてみよう．円$D$と円$C_2$の$2$つの交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．
(3)直線$\mathrm{PQ}$の方程式を$\alpha,\ \beta$により表せ．
(4)点$\mathrm{P}$の座標$(X,\ Y)$が直線$\mathrm{PQ}$の方程式と円$C_2$の方程式を満たしていることを利用して，$\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{GP}}=0$を示せ．