座標空間に$3$点$\mathrm{A}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{C}(0,\ 1,\ 1)$がある．次の$[　]$をうめよ．

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$は$[$①$]$であり，$\angle \mathrm{BAC}=[$②$]^\circ$である．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[$③$]$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心$\mathrm{G}$の座標は$[$④$]$である．
点$\mathrm{D}$を$\mathrm{DG} \perp \mathrm{AB}$，$\mathrm{DG} \perp \mathrm{AC}$かつ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が四面体の頂点をなすようにとる．四面体$\mathrm{ABCD}$の体積が$1$になるとき，$\mathrm{DG}$の長さは$[$⑤$]$であり，$\mathrm{D}$の$x$座標が正となるときの$\mathrm{D}$の座標は$[$⑥$]$である．

$a$を実数の定数とし，曲線$x^2+4y^2-2x-3=0$を$C_1$とし，円$(x-a)^2+y^2=4$を$C_2$とする．次の$[　]$をうめよ．

(1)曲線$C_1$は楕円$\displaystyle \frac{x^2}{[$①$]}+\frac{y^2}{[$②$]}=1$を$x$軸方向に$[$③$]$だけ平行移動した楕円を表す．
(2)曲線$C_1$と円$C_2$が共有点をもつような$a$の値の範囲は$[$④$]$である．
(3)$a=0$のとき，$C_1$と$C_2$の共有点は$2$点あり，そのうち$y$座標が正である点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$の$x$座標の値は$\displaystyle \frac{-1+2 \sqrt{[$⑤$]}}{3}$である．また，点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線が$x$軸と交わる点の$x$座標の値は$3+\sqrt{[$⑥$]}$であり，点$\mathrm{P}$における$C_2$の接線が$x$軸と交わる点の$x$座標の値は$\displaystyle \frac{8 \sqrt{10}+[$④chi$]}{13}$である．

$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -b \\
b & a
\end{array} \right) (b \neq 0)$が表す$1$次変換を$f$とする．点$\mathrm{P}(c,\ 0) (c>0)$を考える．次の問いに答えよ．

(1)次の$[$①$]$から$[$④$]$を数値でうめよ．
点$\mathrm{Q}(3,\ 4)$を，点$\mathrm{R}(1,\ 2)$を中心として反時計まわりに$\displaystyle \frac{\pi}{3}$だけ回転した点の座標は
\[ \left( \begin{array}{rr}
\displaystyle \cos \frac{\pi}{3} & \displaystyle -\sin \frac{\pi}{3} \\ \\
\displaystyle \sin \frac{\pi}{3} & \displaystyle \cos \frac{\pi}{3}
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
3-[$①$] \\ \\
4-[$②$]
\end{array} \right)+\left( \begin{array}{c}
[$①$] \\ \\
[$②$]
\end{array} \right) \]
を計算することにより，$([$③$],\ [$④$])$である．

(2)$B=\left( \begin{array}{rr}
\displaystyle \cos \frac{\pi}{3} & \displaystyle -\sin \frac{\pi}{3} \\
\displaystyle \sin \frac{\pi}{3} & \displaystyle \cos \frac{\pi}{3}
\end{array} \right)$，$V=\left( \begin{array}{c}
c \\
0
\end{array} \right)-A \left( \begin{array}{c}
c \\
0
\end{array} \right)$，$O=\left( \begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array} \right)$とおく．

点$\mathrm{P}$を，点$f(\mathrm{P})$を中心として反時計まわりに$\displaystyle \frac{\pi}{3}$だけ回転した点が$(f \circ f)(\mathrm{P})$と一致するという条件を$A,\ B,\ V,\ O$を用いて表すと，$([$⑤$])V=O$と表すことができる．$A$と$B$を用いて$[$⑤$]$をうめよ．
(3)$3$点$\mathrm{P}$，$f(\mathrm{P})$，$(f \circ f)(\mathrm{P})$が正三角形の$3$つの頂点をなすとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(4)$(3)$の正三角形の$1$辺の長さが$1$になるとき，$c$の値を求めよ．

次の$[　]$を数値でうめよ．

放物線$y=ax^2+bx+c$の頂点の$x$座標は$\displaystyle \frac{11}{12}$であり，この放物線は$x$座標が$1$の点で直線$\displaystyle y=\frac{x}{3}+1$に接している．このとき，$a=[$①$]$，$b=[$②$]$，$c=[$③$]$である．この$a,\ b,\ c$に対し，$f(x)$を
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{lll}
ax^2+bx+c & & x \leqq 1 \\ \\
\displaystyle \frac{x}{3}+1 & & x>1
\end{array} \right. \]
と定め
\[ F(t)=\int_t^{t+1} f(x) \, dx \]
とおく．このとき，$F(t)$は$0 \leqq t \leqq 1$である$t$に対し
\[ F(t)=[$④$]t^3+[$⑤$]t^2-[$⑥$]t+\frac{11}{6} \]
と表される．$t$が$0 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，$F(t)$の値が最小になるのは$t=[$④chi$]$のときである．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)不等式$x^2-x-6<0$の解は$[$1$]$であり，不等式$x^2-|x|-6<0$の解は$[$2$]$である．
(2)放物線$y=-x^2+4x$の頂点の座標は$[$3$]$である．また，この放物線を$x$軸方向に$[$4$]$，$y$軸方向に$[$5$]$だけ平行移動した放物線の方程式は$y=-x^2-2x-3$である．
(3)$x$についての不等式$\log_{\alpha}(3-x)-\log_{\alpha}(2x-3) \leqq 2$の解は，$\displaystyle \alpha=\frac{1}{2}$のとき$[$6$]$であり，$\alpha=2$のとき$[$7$]$である．
(4)$1$個のさいころを$3$回投げるとき，$3$回とも同じ目が出る確率は$[$8$]$である．また，目の和が$7$になる確率は$[$9$]$である．
(5)$(x-2)^{50}=a_0+a_1x+\cdots +a_{50}x^{50}$（$a_0,\ a_1,\ \cdots,\ a_{50}$は実数）のとき，$a_{47}$の値は$[$10$]$であり，$a_0+a_1+\cdots +a_{50}$の値は$[$11$]$である．

$2$次関数$f(x)=x^2-4x+2$について次の問に答えよ．

(1)放物線$y=f(x)$の頂点の座標を求めよ．また，この放物線と$x$軸との交点の座標を求めよ．
(2)$a$を実数とするとき，$a \leqq x \leqq a+2$における関数$f(x)$の最大値，最小値を求めよ．

円$x^2+y^2=9$を$C$とする．円$C$が直線$y=-x+k$と異なる$2$つの共有点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をもつとき，次の問に答えよ．

(1)$k=1$のとき，線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
(2)$\mathrm{AB}=4$となるような定数$k$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{AB}=4$かつ$k>0$のとき，点$\mathrm{A}$における円$C$の接線と点$\mathrm{B}$における円$C$の接線の交点を$\mathrm{P}$とする．三角形$\mathrm{ABP}$の面積を求めよ．また，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

関数$y=1-x^2$，$y=4+3x-x^2$を考える．このとき，次の問に答えなさい．

(1)不等式$0 \leqq y \leqq 1-x^2$で表される領域の面積は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$である．また，不等式
\[ y \geqq 1-x^2,\quad y \leqq 4+3x-x^2,\quad y \geqq 0 \]
で表される領域の面積は$\displaystyle \frac{[ウエ]}{[オ]}$である．
(2)曲線$y=1-x^2$上の点$\mathrm{P}(k,\ 1-k^2)$における接線を$\ell$とおく．このとき接線$\ell$が曲線$y=4+3x-x^2$と異なる$2$点で交わるような$k$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[カキ]}{[ク]}<k$である．また，このとき交点の$x$座標の値を$\alpha$，$\beta$とおくと
\[ \alpha+\beta=[ケ]+[コ]k,\quad \alpha\beta=[サシ]+k^{[ス]} \]
である．
(3)接線$\ell$と曲線$y=4+3x-x^2$で囲まれる領域の面積が$\displaystyle \frac{125}{6}$となる$k$の値は$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソ]}$である．

曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x} (x>0)$を$C$とする．

(1)曲線$C$上の点$\mathrm{A}(1,\ 1)$を通り，傾き$-m (0<m<1)$の直線と曲線$C$の交点のうち，$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{B}$の座標，および線分$\mathrm{AB}$の長さ$l$を求めよ．
(2)直線$\mathrm{AB}$と曲線$C$によって囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(3)$m \to +0$のとき，$\displaystyle \frac{S}{l}$の極限値を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to +0}x \log x=0$であることを用いてよい．

放物線$y=x^2+2ax+4a+12$について，次の問いに答えよ．ただし，$a$は定数とする．

(1)放物線の頂点の座標を$a$で表せ．
(2)放物線と$x$軸が接するとき，$a$の値とその接点の座標を求めよ．
(3)放物線と$x$軸の負の部分が共有点をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．