$a,\ b$を実数として，$x$の$4$次関数$f(x)=x^4-ax^2+bx$を考える．次の問いに答えよ．

(1)$s,\ t$を異なる実数とする．曲線$y=f(x)$の，$x=s$における接線の傾きと，$x=t$における接線の傾きが等しいとき，$a$を$s$と$t$を用いて表せ．
(2)曲線$y=f(x)$が異なる$2$点で共通の接線$\ell$をもつとし，その接点の$x$座標の一つを$s$とする．

(i) $a$を$s$を用いて表せ．
(ii) $\ell$の方程式を，$a$と$b$を用いて表せ．

(3)関数$f(x)$が極大値をもつための必要十分条件を$a$と$b$に関する不等式で与えよ．

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．ただし$(2)$において，適切な$t$の値が複数個ある場合は，それらをすべて記入しなさい．

放物線$y=x^2$を$C$とする．$C$上に点$\mathrm{P}(-1,\ 1)$をとり，$\mathrm{P}$における$C$の法線と$C$との交点のうち，$\mathrm{P}$と異なるものを$\mathrm{Q}$とする．また$t$を実数として，点$\mathrm{P}$をとおって傾きが$t$の直線を$\ell_1$とし，点$\mathrm{Q}$をとおって$\ell_1$と直交する直線を$\ell_2$とする．$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{R}$とする．

(1)点$\mathrm{Q}$の座標は$([あ],\ [い])$である．
(2)点$\mathrm{R}$が点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$と異なるように$t$を変化させるときの$\triangle \mathrm{PQR}$の面積の最大値は$[う]$である．また$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を最大にする$t$の値をすべて求めると$t=[え]$である．
(3)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とは異なる$C$上の点$\mathrm{T}(u,\ u^2)$を考える．$\overrightarrow{\mathrm{TP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{TQ}}<0$となるような$u$の範囲は
\[ [お]<u<[か] \]
である．
(4)点$\mathrm{R}$が，不等式$y<x^2$の表す領域に入るような$t$の範囲は
\[ [き]<t<[く] \]
である．

$a$を正の定数とし，座標平面において放物線$C:y=ax^2$上の点$\mathrm{P}(t,\ at^2)$を考える．ただし，$t>0$とする．点$\mathrm{P}$における$C$の接線$\ell$と$x$軸の交点を$\mathrm{R}$とする．$x$軸上の点$\mathrm{Q}$を，$\mathrm{RP}=\mathrm{RQ}$を満たし，その$x$座標が$\mathrm{R}$の$x$座標より大きいものとする．

(1)点$\mathrm{P}$を通り$\ell$と直交する直線の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)直線$\ell$と点$\mathrm{P}$において接し$x$軸とも接する円で，中心が第$1$象限にあるものを考える．この円の中心の座標を$(q,\ r)$とするとき，$q,\ r$を$t$と$a$を用いて表せ．
(4)$(3)$の$q,\ r$に対して，$t$が$0$に限りなく近づくときの，$\displaystyle \frac{q}{t},\ \frac{r}{t^2},\ \frac{r}{q^2}$の極限値をそれぞれ求めよ．

$s,\ t$を実数とし，$0<s<1$とする．座標空間内の$3$点
\[ \begin{array}{l}
\mathrm{P}((2-s)+s \cos t,\ 0,\ (2-s)+s \sin t), \\ \\
\displaystyle \mathrm{Q} \left( \frac{2-s}{\sqrt{2}}+\frac{s}{\sqrt{2}} \cos t,\ \frac{2-s}{\sqrt{2}}+\frac{s}{\sqrt{2}} \cos t,\ (2-s)+s \sin t \right), \\ \\
\mathrm{R}(0,\ 0,\ (2-s)+s \sin t)
\end{array} \]
について，次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を含む平面の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{RP}=\mathrm{RQ}$を示せ．

点$\mathrm{Q}$は，点$\mathrm{R}$を中心とし$\mathrm{RP}$を半径とする円周上に存在する．このとき，弦$\mathrm{PQ}$に対する弧$\mathrm{PQ}$と，半径$\mathrm{RP}$および半径$\mathrm{RQ}$で囲まれる扇形を$C$とする．ただし，$C$の中心角$\angle \mathrm{PRQ}$は$\pi$以下とする．

(3)$C$の面積を$s$と$t$を用いて表せ．
(4)$t$が$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\mathrm{R}$の$z$座標の動く範囲を$s$を用いて表せ．
(5)$t$が$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，扇形$C$が通過する部分の体積$V_1$を$s$を用いて表せ．
(6)$t$が$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq t \leqq \frac{3\pi}{2}$の範囲を動くとき，扇形$C$が通過する部分の体積$V_2$を$s$を用いて表せ．
(7)上の$(5)$，$(6)$の$V_1$，$V_2$に対して，$s$が$\displaystyle \frac{1}{4} \leqq s \leqq \frac{1}{2}$の範囲を動くときの$V_1-V_2$の最大値とそのときの$s$の値を求めよ．

自然数$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し，$x>0$で定義された関数$f_n(x)$を
\[ f_n(x)=\frac{\log x}{x^n} \quad (x>0) \]
で定める．ただし，$\log$は自然対数を表す．

$t>1$とするとき，座標平面において曲線$y=f_n(x)$の$x \leqq t$の部分，$x$軸，直線$x=t$の$3$つで囲まれている図形の面積を$S_n(t)$とする．また，$4$点$(1,\ 0)$，$(t,\ 0)$，$(t,\ f_n(t))$，$(1,\ f_n(t))$を頂点とする長方形の面積を$T_n(t)$とする．

(1)関数$f_n(x)$が極大となるときの$x$の値と，そのときの$f_n(x)$の極大値を求めよ．
(2)$t$が$t>1$を動くとき，$T_n(t)-S_n(t)$が最大となる$t$の値を求めよ．
(3)$S_1(t)$と$S_n(t) (n \geqq 2)$を求めよ．
(4)各$n \geqq 2$に対して$T_n(t)=S_n(t)$となる$t (t>1)$がただ$1$つあることを示せ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$となることを用いてもよい．

座標平面上において，放物線$y=x^2$上に異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をとり，線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{M}$の座標を$(a,\ b)$とする．

(1)$a=1$，$b=3$のとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さ$\mathrm{PQ}$を求めなさい．
(2)$\mathrm{PQ}=4$のとき，$b$を$a$の式で表しなさい．
(3)$\mathrm{PQ}=4$を満たしながら$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を動かすとき，$b$の最小値を求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)=xe^{-2x}$の極値と曲線$y=f(x)$の変曲点の座標を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の変曲点における接線，曲線$y=f(x)$および直線$x=3$で囲まれた部分の面積を求めよ．

空間内に$3$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( 0,\ \frac{1}{\sqrt{2}},\ \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$，$\displaystyle \mathrm{B} \left( 1,\ 0,\ \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$，$\displaystyle \mathrm{C} \left( 1,\ \frac{1}{\sqrt{2}},\ 0 \right)$がある．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面を$\alpha$とする．

(1)平面$\alpha$に関して原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$と対称な点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

数直線上に動点$\mathrm{P}$がある．$1$個のさいころを投げるという試行により$\mathrm{P}$を次の規則にしたがって，数直線上を移動させる．

$(\mathrm{A})$ 出た目の数が偶数であったら負の方向に$1$だけ移動させる．
$(\mathrm{B})$ 出た目の数が$1$であったら$0$だけ移動させる（その点にとどまる）．
$(\mathrm{C})$ $(\mathrm{A})$，$(\mathrm{B})$以外であったら正の方向に$2$だけ移動させる．

最初動点$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$にあるものとする．

(1)試行を$4$回くり返したとき，規則$(\mathrm{A})$が$a$回，規則$(\mathrm{B})$が$b$回適用されたとすると，$a+b$のとりうる値の範囲は$[ア]$以上$[イ]$以下の整数全体であり，これを満たす$a,\ b$の組合わせは全部で$[ウ][エ]$通りである．
$a=1,\ b=1$となる確率は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ]}$であり，そのときの$\mathrm{P}$の座標の値は$[キ]$である．また，$a=1$となる確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(2)試行を$4$回くり返したとき，$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$にある確率は$\displaystyle \frac{[コ][サ][シ]}{\kakkofour{ス}{セ}{ソ}{タ}}$である．
(3)試行を$1$回だけ行ったときの$\mathrm{P}$の座標の値の期待値は$\displaystyle \frac{[チ]}{[ツ]}$であり，試行を$4$回くり返したときの$\mathrm{P}$の座標の値の期待値は$\displaystyle \frac{[テ]}{[ト]}$である．

以下の問いに答えなさい．

(1)関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3} \cos 3x-\frac{1}{2} \cos 2x+\cos x (0<x<\pi)$について考える．

(i) $\displaystyle x=\frac{\pi}{12}$のとき，$f(x)$の値$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{12} \right)$を求めなさい．
(ii) 関数$f(x)$の極値を求めなさい．

(2)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$によって表される座標平面上の点の移動（$1$次変換）$f$が条件

「点$\mathrm{P}(x,\ y)$が直線$y=-x+1$上にあるとき，点$\mathrm{P}(x,\ y)$の$f$による像$\mathrm{P}^\prime(x^\prime,\ y^\prime)$はつねに直線$\displaystyle y=-\frac{2}{3}x+\frac{7}{3}$上にある．また，点$\mathrm{P}(x,\ y)$が直線$y=2x-1$上にあるとき，点$\mathrm{P}(x,\ y)$の$f$による像$\mathrm{P}^\prime(x^\prime,\ y^\prime)$はつねに直線$x=1$上にある」

を満たすとき，$A$を求めなさい．