2次の正方行列$A$で表される1次変換を$f$とする．Oを原点とする座標平面上に，異なる2点P$(x_1,\ y_1)$，Q$(x_2,\ y_2)$があって，次の2つの条件を満たす．

条件1：1次変換$f$により，点Pは点$(-2x_2,\ -2y_2)$に移る．
条件2：合成変換$f \circ f$により，点Qは点$(4x_1,\ 4y_1)$に移る．


(1)行列$A^3$で表される1次変換により，点Pは点$(-8x_1,\ -8y_1)$に，点Qは点$(-8x_2,\ -8y_2)$に移ることを示せ．
(2)3点O，P，Qは同一直線上にないことを示し，$x_1y_2-x_2y_1 \neq 0$を示せ．
(3)$A^3=-8E$を示せ．ただし，$E$は2次の単位行列である．

座標平面上に2点P$(x,\ 2)$，Q$(1-\sqrt{3},\ y)$がある．

(1)原点を中心とする$60^\circ$の回転移動によって点Pが点Qに移るとき，$x$と$y$の値を求めよ．
(2)$x$と$y$は(1)で求めた値とする．点Pを点Qに，点Qを点Pに移す1次変換を表す行列$A$を求めよ．
(3)自然数$n$と(2)で求めた行列$A$に対し
\[ A+2A^2+3A^3+4A^4+\cdots +(2n-1)A^{2n-1}+2nA^{2n} \]
を求めよ．

半径2の円板が$x$軸上を正の方向に滑らずに回転するとき，円板上の点Pの描く曲線$C$を考える．円板の中心の最初の位置を$(0,\ 2)$，点Pの最初の位置を$(0,\ 1)$とする．

(1)円板がその中心のまわりに回転した角を$\theta$とするとき，Pの座標は
\[ (2\theta-\sin \theta,\ 2-\cos \theta) \]
で与えられることを示せ．
(2)点P$(2\theta-\sin \theta,\ 2-\cos \theta) \ (0<\theta<2\pi)$における曲線$C$の法線と$x$軸との交点をQとする．線分PQの長さが最大となるような点Pを求めよ．ここで，Pにおいて接線に直交する直線を法線という．
(3)曲線$C$と$x$軸，2直線$x=0,\ x=4\pi$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．

$a$を実数とする．次の問いに答えよ．

(1)放物線$y=x^2-x+3a$と直線$y=3ax+2$は異なる$2$つの交点をもつことを示せ．
(2)$(1)$の放物線と直線の$2$つの交点をむすぶ線分の中点を$\mathrm{M}$とする．$a$が実数全体を動くとき，$\mathrm{M}$の$y$座標の最小値を求めよ．
(3)$(1)$の放物線と直線の$2$つの交点の$x$座標を$\alpha$と$\beta$とする．$a$が実数全体を動くとき，$|\alpha|+|\beta|$の最小値を求めよ．

原点を中心とする半径1の円上の異なる3点P$_0(1,\ 0)$，P$_1(x_1,\ y_1)$，P$_2(x_2,\ y_2)$を$y_1>0$かつ$\triangle$P$_0$P$_1$P$_2$が正三角形になるようにとる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)P$_1$の座標$(x_1,\ y_1)$とP$_2$の座標$(x_2,\ y_2)$を求めよ．
(2)$A \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)$と$A \left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x_2 \\
y_2
\end{array} \right)$をみたす2次の正方行列$A$を求めよ．
(3)$B \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right)$と$B \left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x_2 \\
y_2
\end{array} \right)$をみたす2次の正方行列$B$を求めよ．
(4)(2)，(3)で求めた行列$A,\ B$と正の整数$n$に対して，$(AB+BABA)^n$を求めよ．

原点を中心とする半径1の円上の異なる3点P$_0(1,\ 0)$，P$_1(x_1,\ y_1)$，P$_2(x_2,\ y_2)$を$y_1>0$かつ$\triangle$P$_0$P$_1$P$_2$が正三角形になるようにとる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)P$_1$の座標$(x_1,\ y_1)$とP$_2$の座標$(x_2,\ y_2)$を求めよ．
(2)$A \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)$と$A \left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x_2 \\
y_2
\end{array} \right)$をみたす2次の正方行列$A$を求めよ．
(3)$B \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right)$と$B \left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x_2 \\
y_2
\end{array} \right)$をみたす2次の正方行列$B$を求めよ．
(4)(2)，(3)で求めた行列$A,\ B$と正の整数$n$に対して，$(AB+BABA)^n$を求めよ．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(2,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2)$に対して，線分$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}$と線分$\mathrm{OB}$上の点$\mathrm{Q}$を，直線$\mathrm{PQ}$が三角形$\mathrm{OAB}$の面積を二等分するようにとる．下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{Q}$の$y$座標が$t$のとき，直線$\mathrm{PQ}$の方程式と$t$の値の範囲を求めよ．
(2)(1)で求めた範囲で$t$を動かすとき，直線$\mathrm{PQ}$が通る点全体の領域を求め，図示せよ．

曲線$C:y=\log x$上に異なる$2$点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$，$\mathrm{B}(b,\ \log b)$をとり，$C$の$\mathrm{A}$における接線と$\mathrm{B}$における接線の交点について考える．次の問いに答えよ．

(1)任意に与えられた$a>1$に対して，$2$本の接線の交点がちょうど直線$x=1$上にくるような$b$が唯一つだけ存在し，$b<1$であることを示せ．
(2)$2$点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$，$\mathrm{B}\displaystyle \left( \frac{1}{a},\ \log \frac{1}{a} \right) \ (a>1)$について，$2$本の接線の交点の$x$座標が$1$より大きいか小さいかを調べよ．
(3)$k$を自然数とする．$\displaystyle a=1+\frac{1}{k}$として(2)の結果を使って，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} > \frac{1}{2} \left( 1+\frac{1}{n} \right) +\log n \quad (n \geqq 2) \]

座標平面上の2点A$(6,\ 0)$，B$(-2,\ 4)$を結ぶ線分AB上を点Tが移動する．原点Oと点Tを頂点とし，2辺がそれぞれ$x$軸と$y$軸上にある長方形の面積を$S$とする．また，点Tの座標を$(x,\ f(x))$とし，$S$を$x$の関数として$S(x)$と表す．次の各問に解答しなさい．

(1)$f(x)$と$S(x)$を$x$で表しなさい．さらに，区間$-2 \leqq x \leqq 6$における$y=S(x)$のグラフの概形を図示しなさい．
(2)直線$x=-2$と曲線$y=S(x)$および$x$軸で囲まれた図形の面積を求めなさい．
(3)区間$-2 \leqq x \leqq 4$における任意の$x$の値について，区間$x \leqq t \leqq x+2$における関数$S(t)$の最大値を$x$の関数として$M(x)$と定義する．関数$M(x)$を$x$で表し，さらに$y=M(x)$のグラフの概形を図示しなさい．

座標平面上の3点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ 0)$，$\mathrm{B}(3,\ 0)$について，$\angle \mathrm{PAB}=3 \angle \mathrm{POB}$となる$y>0$の領域にある点$\mathrm{P}$を考える．$r=\mathrm{OP}$，$\theta=\angle \mathrm{POB}$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)$r$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \lim_{\theta \to +0}r$を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$の座標を$(x,\ y)$で表すとき，$y$を$x$の式で表せ．