「座標」について
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国立 群馬大学 2012年 第3問点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に点$\mathrm{A}(2,\ 0)$と点$\mathrm{P}_0(-1,\ 0)$をとる．点$\mathrm{P}_0$を通り，ベクトル$\overrightarrow{d}=(3,\ \sqrt{3})$に平行な直線を$\ell$とする．$\ell$上の点の列
\[ \mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots,\ \mathrm{P}_n,\ \cdots \]
を$n=1,\ 2,\ \cdots$について，直線$\mathrm{OP}_n$と直線$\mathrm{AP}_{n-1}$とが垂直であるようにとる．また$t_n$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}_n}=\overrightarrow{\mathrm{OP}_0}+t_n \overrightarrow{d}$を満たす実数とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$t_1$の値を求めよ．
(2)数列$\{t_n\}$の漸化式を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}_n$の$x$座標が$\displaystyle \frac{33}{67}$となるときの$n$の値を求めよ．
\[ \mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots,\ \mathrm{P}_n,\ \cdots \]
を$n=1,\ 2,\ \cdots$について，直線$\mathrm{OP}_n$と直線$\mathrm{AP}_{n-1}$とが垂直であるようにとる．また$t_n$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}_n}=\overrightarrow{\mathrm{OP}_0}+t_n \overrightarrow{d}$を満たす実数とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$t_1$の値を求めよ．
(2)数列$\{t_n\}$の漸化式を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}_n$の$x$座標が$\displaystyle \frac{33}{67}$となるときの$n$の値を求めよ．
国立 群馬大学 2012年 第3問点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に点$\mathrm{A}(2,\ 0)$と点P$_0(-1,\ 0)$をとる．点$\mathrm{P}_0$を通り，ベクトル$\overrightarrow{d}=(3,\ \sqrt{3})$に平行な直線を$\ell$とする．$\ell$上の点の列
\[ \mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots,\ \mathrm{P}_n,\ \cdots \]
を$n=1,\ 2,\ \cdots$について，直線$\mathrm{OP}_n$と直線$\mathrm{AP}_{n-1}$とが垂直であるようにとる．また$t_n$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}_n}=\overrightarrow{\mathrm{OP}_0}+t_n \overrightarrow{d}$を満たす実数とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$t_1$の値を求めよ．
(2)数列$\{t_n\}$の漸化式を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}_n$の$x$座標が$\displaystyle \frac{33}{67}$となるときの$n$の値を求めよ．
\[ \mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots,\ \mathrm{P}_n,\ \cdots \]
を$n=1,\ 2,\ \cdots$について，直線$\mathrm{OP}_n$と直線$\mathrm{AP}_{n-1}$とが垂直であるようにとる．また$t_n$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}_n}=\overrightarrow{\mathrm{OP}_0}+t_n \overrightarrow{d}$を満たす実数とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$t_1$の値を求めよ．
(2)数列$\{t_n\}$の漸化式を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}_n$の$x$座標が$\displaystyle \frac{33}{67}$となるときの$n$の値を求めよ．
国立 群馬大学 2012年 第4問$a$は0でない定数とする．座標平面上の3点A$(a+2,\ a+1)$，B$(9,\ 0)$，C$(2,\ 1)$について，線分ABと線分ACが垂直のとき，以下の問いに答えよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)自然数$n$について，線分ABを$n:n+4$に内分する点をP$_n$，線分BCを$3:n$に内分する点をQ$_n$，線分CAを$n:1$に内分する点をR$_n$とする．$\triangle$P$_n$Q$_n$R$_n$の面積を$S_n$とするとき，$S_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle T_m=\sum_{n=1}^m \frac{S_n}{n}$とするとき，$\displaystyle \lim_{m \to \infty}T_m$を求めよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)自然数$n$について，線分ABを$n:n+4$に内分する点をP$_n$，線分BCを$3:n$に内分する点をQ$_n$，線分CAを$n:1$に内分する点をR$_n$とする．$\triangle$P$_n$Q$_n$R$_n$の面積を$S_n$とするとき，$S_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle T_m=\sum_{n=1}^m \frac{S_n}{n}$とするとき，$\displaystyle \lim_{m \to \infty}T_m$を求めよ．
国立 群馬大学 2012年 第5問$a$は定数で$a<3$とし，$f(x)=x^2-2ax+4a,\ g(x)=-x^2+6x-2a$とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$2$曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の交点の$x$座標を求めよ．
(2)$2$曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた図形の面積が$9$となるときの$a$の値を求めよ．
(1)$2$曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の交点の$x$座標を求めよ．
(2)$2$曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた図形の面積が$9$となるときの$a$の値を求めよ．
国立 香川大学 2012年 第3問曲線$C:y=x \sin x$について，次の問に答えよ．
(1)$C$の接線のうち，原点を通る接線の方程式をすべて求めよ．
(2)直線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x$と$C$との交点のうち，第1象限にあるものを$x$座標の小さい方から順にP$_1$，P$_2$，P$_3$，$\cdots$とする．線分P$_{2n-1}$P$_{2n}$と$C$で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ．
(3)点Q$_n \displaystyle \left( \frac{\pi}{2}+2(n-1)\pi,\ \frac{\pi}{2}+2(n-1)\pi \right)$に対して，$\triangle$P$_{2n-1}$P$_{2n}$Q$_n$の面積を$T_n$とする．このとき，$n$によらずに$\displaystyle \frac{S_n}{T_n}$が一定であることを示せ．
(1)$C$の接線のうち，原点を通る接線の方程式をすべて求めよ．
(2)直線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x$と$C$との交点のうち，第1象限にあるものを$x$座標の小さい方から順にP$_1$，P$_2$，P$_3$，$\cdots$とする．線分P$_{2n-1}$P$_{2n}$と$C$で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ．
(3)点Q$_n \displaystyle \left( \frac{\pi}{2}+2(n-1)\pi,\ \frac{\pi}{2}+2(n-1)\pi \right)$に対して，$\triangle$P$_{2n-1}$P$_{2n}$Q$_n$の面積を$T_n$とする．このとき，$n$によらずに$\displaystyle \frac{S_n}{T_n}$が一定であることを示せ．
国立 三重大学 2012年 第2問座標平面上で$y=x+1$で表される直線を$\ell$とする．また，4点A$(-1,\ 1)$，B$(0,\ -2)$，C$(3,\ 1)$，D$(1,\ 3)$をとる．以下の問いに答えよ．
(1)領域$R_1=\{ (x,\ y) \;|\; y>x+1 \}$と$R_2=\{ (x,\ y) \;|\; y \leqq x+1 \}$を考える．4点A，B，C，Dはそれぞれ，領域$R_1,\ R_2$のどちらにあるか答えよ．
(2)$k$を定数とし，直線$y=x+k$上に点E$(x,\ x+k)$をとる．Eと直線$\ell$の距離が$\sqrt{2}$となる$k$の値をすべて求めよ．
(3)四角形ABCDの周または内部で，直線$\ell$との距離が$\sqrt{2}$以下となる点の範囲を図示せよ．
(4)点P$(x,\ y)$が(3)で求めた範囲を動くとき，$2x+y$がとる値の最小値と最大値を求めよ．
(1)領域$R_1=\{ (x,\ y) \;|\; y>x+1 \}$と$R_2=\{ (x,\ y) \;|\; y \leqq x+1 \}$を考える．4点A，B，C，Dはそれぞれ，領域$R_1,\ R_2$のどちらにあるか答えよ．
(2)$k$を定数とし，直線$y=x+k$上に点E$(x,\ x+k)$をとる．Eと直線$\ell$の距離が$\sqrt{2}$となる$k$の値をすべて求めよ．
(3)四角形ABCDの周または内部で，直線$\ell$との距離が$\sqrt{2}$以下となる点の範囲を図示せよ．
(4)点P$(x,\ y)$が(3)で求めた範囲を動くとき，$2x+y$がとる値の最小値と最大値を求めよ．
国立 和歌山大学 2012年 第3問座標平面上に$2$点$\mathrm{P}_0(0,\ 0)$，$\mathrm{P}_1(1,\ 0)$がある．$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，点$\mathrm{P}_{n+1}$を以下のように順に定める．
線分$\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n$を点$\mathrm{P}_n$を中心として時計まわりに$60^\circ$回転させて得られる線分の上に，$\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{2} \mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n$となるように点$\mathrm{P}_{n+1}$を定める．
このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{P}_3$の座標を求めよ．
(2)自然数$k$に対して，$\mathrm{P}_{3k}$，$\mathrm{P}_{3k+1}$，$\mathrm{P}_{3k+2}$の座標をそれぞれ求めよ．
線分$\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n$を点$\mathrm{P}_n$を中心として時計まわりに$60^\circ$回転させて得られる線分の上に，$\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{2} \mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n$となるように点$\mathrm{P}_{n+1}$を定める．
このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{P}_3$の座標を求めよ．
(2)自然数$k$に対して，$\mathrm{P}_{3k}$，$\mathrm{P}_{3k+1}$，$\mathrm{P}_{3k+2}$の座標をそれぞれ求めよ．
国立 和歌山大学 2012年 第3問座標平面上に$2$点$\mathrm{P}_0(0,\ 0)$，$\mathrm{P}_1(1,\ 0)$がある．$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，点$\mathrm{P}_{n+1}$を以下のように順に定める．
線分$\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n$を点$\mathrm{P}_n$を中心として時計まわりに$60^\circ$回転させて得られる線分の上に，$\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{2} \mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n$となるように点$\mathrm{P}_{n+1}$を定める．
このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{P}_3$の座標を求めよ．
(2)自然数$k$に対して，$\mathrm{P}_{3k}$，$\mathrm{P}_{3k+1}$，$\mathrm{P}_{3k+2}$の座標をそれぞれ求めよ．
線分$\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n$を点$\mathrm{P}_n$を中心として時計まわりに$60^\circ$回転させて得られる線分の上に，$\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{2} \mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n$となるように点$\mathrm{P}_{n+1}$を定める．
このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{P}_3$の座標を求めよ．
(2)自然数$k$に対して，$\mathrm{P}_{3k}$，$\mathrm{P}_{3k+1}$，$\mathrm{P}_{3k+2}$の座標をそれぞれ求めよ．
国立 三重大学 2012年 第2問座標平面上で$y=x+1$で表される直線を$\ell$とする．また，4点A$(-1,\ 1)$，B$(0,\ -2)$，C$(3,\ 1)$，D$(1,\ 3)$をとる．以下の問いに答えよ．
(1)領域$R_1=\{ (x,\ y) \;|\; y>x+1 \}$と$R_2=\{ (x,\ y) \;|\; y \leqq x+1 \}$を考える．4点A，B，C，Dはそれぞれ，領域$R_1,\ R_2$のどちらにあるか答えよ．
(2)$k$を定数とし，直線$y=x+k$上に点E$(x,\ x+k)$をとる．Eと直線$\ell$の距離が$\sqrt{2}$となる$k$の値をすべて求めよ．
(3)四角形ABCDの周または内部で，直線$\ell$との距離が$\sqrt{2}$以下となる点の範囲を図示せよ．
(4)点P$(x,\ y)$が(3)で求めた範囲を動くとき，$2x+y$がとる値の最小値と最大値を求めよ．
(1)領域$R_1=\{ (x,\ y) \;|\; y>x+1 \}$と$R_2=\{ (x,\ y) \;|\; y \leqq x+1 \}$を考える．4点A，B，C，Dはそれぞれ，領域$R_1,\ R_2$のどちらにあるか答えよ．
(2)$k$を定数とし，直線$y=x+k$上に点E$(x,\ x+k)$をとる．Eと直線$\ell$の距離が$\sqrt{2}$となる$k$の値をすべて求めよ．
(3)四角形ABCDの周または内部で，直線$\ell$との距離が$\sqrt{2}$以下となる点の範囲を図示せよ．
(4)点P$(x,\ y)$が(3)で求めた範囲を動くとき，$2x+y$がとる値の最小値と最大値を求めよ．
国立 三重大学 2012年 第2問座標平面上で$y=x+1$で表される直線を$\ell$とする．また，4点A$(-1,\ 1)$，B$(0,\ -2)$，C$(3,\ 1)$，D$(1,\ 3)$をとる．以下の問いに答えよ．
(1)領域$R_1=\{ (x,\ y) \;|\; y>x+1 \}$と$R_2=\{ (x,\ y) \;|\; y \leqq x+1 \}$を考える．4点A，B，C，Dはそれぞれ，領域$R_1,\ R_2$のどちらにあるか答えよ．
(2)$k$を定数とし，直線$y=x+k$上に点E$(x,\ x+k)$をとる．Eと直線$\ell$の距離が$\sqrt{2}$となる$k$の値をすべて求めよ．
(3)四角形ABCDの周または内部で，直線$\ell$との距離が$\sqrt{2}$以下となる点の範囲を図示せよ．
(4)点P$(x,\ y)$が(3)で求めた範囲を動くとき，$2x+y$がとる値の最小値と最大値を求めよ．
(1)領域$R_1=\{ (x,\ y) \;|\; y>x+1 \}$と$R_2=\{ (x,\ y) \;|\; y \leqq x+1 \}$を考える．4点A，B，C，Dはそれぞれ，領域$R_1,\ R_2$のどちらにあるか答えよ．
(2)$k$を定数とし，直線$y=x+k$上に点E$(x,\ x+k)$をとる．Eと直線$\ell$の距離が$\sqrt{2}$となる$k$の値をすべて求めよ．
(3)四角形ABCDの周または内部で，直線$\ell$との距離が$\sqrt{2}$以下となる点の範囲を図示せよ．
(4)点P$(x,\ y)$が(3)で求めた範囲を動くとき，$2x+y$がとる値の最小値と最大値を求めよ．