関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^2}$について，次の各問に答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$上の点P$\displaystyle \left( \sqrt{3},\ \frac{1}{4} \right)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と接線$\ell$との共有点のうち，点Pと異なる点Qの$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と接線$\ell$によって囲まれる部分の面積を求めよ．

座標平面上の放物線$y=x^2$と直線$y=kx+1 \ (k \text{は実数})$の2つの交点をP，Qとし，点Pの$x$座標を$\alpha$，点Qの$x$座標を$\beta \ (\alpha<\beta)$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$\alpha+\beta$および$\alpha\beta$の値を，$k$を用いて表せ．
(2)2点P，Qにおける放物線の接線をそれぞれ$\ell,\ m$とし，その交点をRとするとき，点Rの$x$座標を，$k$を用いて表せ．
(3)放物線と(2)の2つの接線$\ell,\ m$で囲まれる部分の面積を，$k$を用いて表せ．

$a$を正の定数とし，座標平面上に異なる2点$\mathrm{A}(a,\ 0)$，$\mathrm{P}(x,\ 0)$をとる．線分の長さ$\mathrm{OP}$と$\mathrm{PA}$の比の値$\displaystyle \frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{PA}}$について，次の問に答えよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点を表す．

(1)$\displaystyle \frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{PA}}$を$x,\ a$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{PA}}=\frac{1}{2}$のとき，$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)$\displaystyle f(x)=\frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{PA}}$とするとき，関数$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．

放物線$C:y=x(x-a)$について，次の問に答えよ．ただし，$a>0$とする．

(1)直線$\ell:y=ax$と，$C$との交点で，原点とは異なる点の座標を求めよ．
(2)$C$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)$C$と$\ell$とで囲まれた図形$D$の面積を求めよ．
(4)点$(a,\ 0)$を通り，図形$D$の面積を2等分する直線の方程式を求めよ．

定数$a>0$に対して，$f(x)=ax^3-6ax^2+9ax+1$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)関数$y=f(x)$の極値を調べて，そのグラフをかけ．
(2)点A，B，Cの座標をそれぞれ$(-1,\ f(-1))$，$(4,\ f(t))$，$(t,\ f(t))$とする．$-1<t<3$のとき，点Cにおける曲線$y=f(x)$の接線と，線分ABとが平行になるような$t$が1つだけ存在することを示せ．

座標平面上に，2つの放物線
\[ C_1:y=(x-t)^2+t,\quad C_2:y=-x^2+4 \]
がある．ただし，$t$は実数とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$C_1,\ C_2$が異なる2点で交わるとき，$t$の値の範囲を求めよ．
(2)(1)のとき，$C_1$と$C_2$の2つの交点を結ぶ線分の中点の軌跡を図示せよ．

曲線$y=\sqrt{x^2-1} (x \geqq 1)$上の点$\mathrm{P}(a,\ b) (a>1)$での接線と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．次の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{Q}$の座標を$b$で表せ．
(2)$\mathrm{PQ}^2$の最小値を求めよ．

点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に点$\mathrm{A}(2,\ 0)$と点$\mathrm{P}_0(-1,\ 0)$をとる．点$\mathrm{P}_0$を通り，ベクトル$\overrightarrow{d}=(3,\ \sqrt{3})$に平行な直線を$\ell$とする．$\ell$上の点の列
\[ \mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots,\ \mathrm{P}_n,\ \cdots \]
を$n=1,\ 2,\ \cdots$について，直線$\mathrm{OP}_n$と直線$\mathrm{AP}_{n-1}$とが垂直であるようにとる．また$t_n$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}_n}=\overrightarrow{\mathrm{OP}_0}+t_n \overrightarrow{d}$を満たす実数とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)$t_1$の値を求めよ．
(2)数列$\{t_n\}$の漸化式を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}_n$の$x$座標が$\displaystyle \frac{33}{67}$となるときの$n$の値を求めよ．

点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に点$\mathrm{A}(2,\ 0)$と点$\mathrm{P}_0(-1,\ 0)$をとる．点$\mathrm{P}_0$を通り，ベクトル$\overrightarrow{d}=(3,\ \sqrt{3})$に平行な直線を$\ell$とする．$\ell$上の点の列
\[ \mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots,\ \mathrm{P}_n,\ \cdots \]
を$n=1,\ 2,\ \cdots$について，直線$\mathrm{OP}_n$と直線$\mathrm{AP}_{n-1}$とが垂直であるようにとる．また$t_n$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}_n}=\overrightarrow{\mathrm{OP}_0}+t_n \overrightarrow{d}$を満たす実数とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)$t_1$の値を求めよ．
(2)数列$\{t_n\}$の漸化式を求めよ．
(3)$t_2,\ t_3,\ t_4$の値を求めよ．

極方程式$\displaystyle r=\frac{a}{2+\cos \theta}$で与えられる2次曲線がある．ただし，$a$は正の定数とする．このとき次の各問いに答えよ．

(1)この2次曲線を直交座標$(x,\ y)$に関する方程式で表せ．
(2)(1)で求めた2次曲線を$x$軸方向に$\displaystyle \frac{a}{3}$だけ平行移動した2次曲線を$C$で表す．$C$を直交座標$x,\ y$の方程式で表せ．また，この2次曲線$C$は$x$軸と2点AとBで交わる．この2点A，Bの座標を求めよ．ただし，Bの$x$座標は正とする．
(3)(2)で求めた2次曲線$C$上の$x$軸上にない点P$(\alpha,\ \beta)$から$x$軸に下ろした垂線をPHとする．さらにPと$x$軸に関して対称な点をQとするとき，次の値は定数であることを証明せよ．
\[ \frac{\text{PH} \cdot \text{QH}}{\text{AH} \cdot \text{BH}} \]