関数$f(x) = x^3+3x^2+x-1$を考える．曲線$C:y=f(x)$について，以下の問いに答えよ．

(1)$t \geqq 0$のとき，曲線$C$は傾きが$t$である接線を$2$本持つことを示せ．
(2)(1)において，傾きが$t$である$2$本の接線と曲線$C$との接点を，それぞれP$(p,\ f(p))$，Q$(q,\ f(q))$とする(ただし$p<q$)．このとき，点Pと点Qは点A$(-1,\ 0)$に関して対称の位置にあることを示せ．
(3)$t \geqq 0$のとき，$2$点P，Qの間の距離の最小値を求めよ．また，最小値を与えるときのP，Qの$x$座標$p,\ q$もそれぞれ求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面における曲線$\displaystyle C: \frac{x^2}{4}+y^2=1$上に，点$\mathrm{P} \displaystyle\left( 1,\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$をとる．

(1)$C$の接線で直線$\mathrm{OP}$に平行なものをすべて求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$が$C$上を動くとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積の最大値と，最大値を与える$\mathrm{Q}$の座標をすべて求めよ．

$a$を正の定数とし，座標平面上の$2$曲線$C_1:y=e^{x^2},\ C_2:y=ax^2$を考える．このとき以下の問いに答えよ．ただし必要ならば$\displaystyle \lim_{t \to +\infty} \frac{e^t}{t}=+\infty$であることを用いてもよい．

(1)$t>0$の範囲で，関数$\displaystyle f(t)=\frac{e^t}{t}$の最小値を求めよ．
(2)$2$曲線$C_1,\ C_2$の共有点の個数を求めよ．
(3)$C_1,\ C_2$の共有点の個数が$2$のとき，これらの$2$曲線で囲まれた領域を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

表の出る確率が$p$，裏の出る確率が$q$である硬貨を用意する．ここで$p,\ q$は正の定数で，$p+q=1$を満たすとする．座標平面における領域$D$を
\[ D= \{ (x,\ y) \ | \ 0 \leqq x \leqq 2,\ 0 \leqq y \leqq 2\} \]
とし，$D$上を動く点$\mathrm{Q}$を考える．$\mathrm{Q}$は点$(0,\ 0)$から出発し，硬貨を投げて表が出れば$x$軸方向に$+1$だけ進み，裏が出れば$y$軸方向に$+1$だけ進む．なお，この規則で$D$上を進めないときには，その回はその点にとどまるものとする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)硬貨を$4$回投げて$\mathrm{Q}$が点$(2,\ 2)$に到達する確率$P_4$を求めよ．
(2)硬貨を$5$回投げて$5$回目に初めて$\mathrm{Q}$が点$(2,\ 2)$に到達する確率$P_5$を求めよ．
(3)$\displaystyle P_5 = \frac{1}{9}$のとき，$p$の値を求めよ．

$xy$平面上に曲線$C:y=x^2-x$と直線$\ell:y=x$がある．

(1)$\ell$上の点$\mathrm{P} \displaystyle \left( \frac{t}{\sqrt{2}},\ \frac{t}{\sqrt{2}}\right) (0 \leqq t \leqq 2\sqrt{2})$を通り，$\ell$と垂直な直線を$m$とする．$m$と$C$の共有点のうち，$x$座標が$0$以上のものを$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)$0 \leqq t \leqq 2\sqrt{2}$のとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値とそのときの$t$を求めよ．
(3)$C$と$\ell$で囲まれた部分を$\ell$を軸として$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$と直線$\ell$があり，$\mathrm{A}$と$\ell$の距離と$\mathrm{B}$と$\ell$の距離の和が$1$であるという．以下の問に答えよ．

(1)$\ell$は$y$軸と平行でないことを示せ．
(2)$\ell$が線分$\mathrm{AB}$と交わるとき，$\ell$の傾きを求めよ．
(3)$\ell$が線分$\mathrm{AB}$と交わらないとき，$\ell$と原点との距離を求めよ．

座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$と直線$\ell$があり，$\mathrm{A}$と$\ell$の距離と$\mathrm{B}$と$\ell$の距離の和が$1$であるという．以下の問に答えよ．

(1)$\ell$は$y$軸と平行でないことを示せ．
(2)$\ell$が線分$\mathrm{AB}$と交わるとき，$\ell$の傾きを求めよ．
(3)$\ell$が線分$\mathrm{AB}$と交わらないとき，$\ell$と原点との距離を求めよ．

座標平面内の曲線$y=x^2$上の2点$\mathrm{P}_1(x_1,\ y_1)$と$\mathrm{P}_2(x_2,\ y_2)$を両端にもつ長さ$r>0$の線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の中点を$\mathrm{C}(s,\ t)$とする．また$a=x_1-x_2,\ b=x_1+x_2$とおく．このとき下記の設問に答えなさい．

(1)$r^2$を$a$と$b$を用いて表しなさい．
(2)線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の中点$\mathrm{C}$の$y$座標$t$を$b$と$r$を用いて表しなさい．
(3)$0<r<1$とする．このとき$t$は$b=0$のとき最小値$\displaystyle \frac{r^2}{4}$をとることを示しなさい．
(4)$r \geqq 1$の場合，$t$の最小値を$r$を用いて表しなさい．

座標平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$の座標の値$x$と$y$がともに整数であるとき，点$\mathrm{P}$を平面上の格子点と呼ぶ．このとき下記の設問に答えなさい．

(1)不等式$|x|+|y|<3$の表す領域$A$を図示しなさい．また，領域$A$内の格子点の個数を求めなさい．
(2)不等式$x^2+y \leqq 2$の表す領域$B$を図示しなさい．また，領域$B$内の格子点の個数を求めなさい．
(3)$2$つの不等式$x^2 \leqq a^2,\ y^2 \leqq a^2$の表す領域を$C$とする．領域$A$内の格子点全体から領域$B$内のすべての格子点を除いた集合を$D$とする．領域$C$と集合$D$との共通部分が空集合となる$a$の条件を求めなさい．

次の設問に答えよ．

(1)すべての自然数$n$に対して$\displaystyle \frac{1}{n^2+6n+8}=\frac{A}{n+2}+\frac{B}{n+4}$を満たすような定数$A,\ B$の値を求めよ．また，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+6n+8}$の和を求めよ．
(2)面積が$\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}$の三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3,\ \mathrm{AC}=2$であるとき，辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(3)座標空間において，$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 2)$を通る平面を$\alpha$とする．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る球面の中心$\mathrm{M}$が平面$\alpha$上にあるとき，$\mathrm{M}$の座標と球面の半径$r$を求めよ．