$a,\ b$は$a<b$を満たす実数とする．正の整数$n$に対し，座標平面上の$(2^n+1)$個の点
\[ \mathrm{P}_k \left( a+\frac{k(b-a)}{2^n},\ \left\{ a+\frac{k(b-a)}{2^n} \right\}^2 \right) \quad \left( k=0,\ 1,\ \cdots,\ 2^n \right) \]
を考える．$X_n$を$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\cdots$，$\mathrm{P}_{2^n}$，$\mathrm{P}_0$をこの順に結んで得られる$(2^n+1)$角形とし，$X_n$の面積を$S_n$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)$S_1$を求めなさい．
(2)$S_2-S_1$，$S_3-S_2$を求めなさい．
(3)$S_n$を求めなさい．

行列$\left( \begin{array}{rr}
-2 & 1 \\
4 & -2
\end{array} \right)$が表す移動により，座標平面上の点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{Q}$に移るとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$が座標平面全体の上を動くとき，点$\mathrm{Q}$は図形$F_1$全体の上を動くという．図形$F_1$を表す方程式を求めよ．
(2)$k$を実数とする．点$\mathrm{P}$が直線$y=kx+1$全体の上を動くとき，点$\mathrm{Q}$は図形$F_2$全体の上を動くという．図形$F_2$を求めよ．

曲線$y=\sin x$上の点$\mathrm{P}(\theta,\ \sin \theta)$における曲線の接線$\ell_1$と$x$軸との交点を$\mathrm{K}$とする．また，点$\mathrm{P}$から$x$軸へ下した垂線$\ell_2$と$x$軸との交点を$\mathrm{H}$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．

(1)接線$\ell_1$を$y=Ax+B$とおくとき，$A$と$B$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{PKH}$の面積$S$を$\cos \theta$を用いて表せ．
(3)$S=1$となる$\cos \theta$の値を求めよ．
(4)座標平面の原点を$\mathrm{O}$とする．また，曲線$y=\sin x$と二つの線分$\mathrm{OH}$，$\mathrm{PH}$で囲まれた図形の面積を$T$とする．$S:T=3:2$となる$\theta$の値を求めよ．

$\overrightarrow{a}=(1,\ 0,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(1,\ 1,\ 0)$とする．点$\mathrm{P}(1,\ 1,\ 0)$を通り，$\overrightarrow{a}$に平行な直線を$\ell_1$とし，点$\mathrm{Q}(0,\ 0,\ 1)$を通り，$\overrightarrow{b}$に平行な直線を$\ell_2$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)$\ell_1$上の点$\mathrm{R}$と$\ell_2$上の点$\mathrm{S}$を通る直線$\ell_3$が，$\ell_1$と$\ell_2$に垂直であるとする．このとき，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$の座標を求めなさい．
(2)$\ell_1$上の$2$点$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が$\mathrm{EF}=2$を満たしながら動き，$\ell_2$上を点$\mathrm{G}$が動くとき，$\triangle \mathrm{EFG}$の面積の最小値を求めなさい．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面で，関数$y=\sqrt{x^2-1} (x \geqq 1)$のグラフを$C$とする．また，$t>1$を満たす実数$t$に対し，直線$x+y=t$と$C$との交点を$\mathrm{P}$，直線$x+y=t$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)線分$\mathrm{PQ}$の長さ$f(t)$を求めなさい．
(2)次の極限値を求めなさい．
\[ \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n f \left( 1+\frac{k(t-1)}{n} \right) \frac{t-1}{\sqrt{2}n} \]
(3)線分$\mathrm{OP}$，$x$軸および$C$で囲まれる図形の面積を$S$とする．$S$を用いて点$\mathrm{P}$の座標を表しなさい．

以下の問いに答えよ．

(1)$a,\ c$を実数の定数とする．$a>0$のとき，方程式$2x^3-3ax^2=c$の相異なる実数解の個数を求めよ．
(2)$3$次関数$y=x^3-3x$のグラフを$G$とする．$x$座標が正である座標平面上の点$\mathrm{P}(a,\ b)$を通る$G$の接線が$3$本存在するための，$a,\ b$の条件を求めよ．

座標平面上の点$\mathrm{P}(0,\ -1)$を中心とする半径$2$の円を$C$とする．$C$上に点$\mathrm{Q}(0,\ 1)$をとる．点$\mathrm{R}$を$C$上の点で$\angle \mathrm{QPR}=120^\circ$をみたし，$\mathrm{R}$の$x$座標は負であるようにとる．$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$を両端として，中心角が$120^\circ$である$C$の弧を$A$とする．さらに，$a$を実数の定数として，直線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}x+a$を$\ell$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)$A$と$\ell$の共有点の個数を求めよ．
(3)$A$と$\ell$が相異なる$2$つの共有点をもつとき，$A$と$\ell$で囲まれた部分の面積を$S(a)$とする．$S(a)$が最大になるときの$a$の値と，そのときの$S(a)$の値を求めよ．

$2$次関数$\displaystyle y=\sqrt{2}x^2-\frac{\sqrt{2}}{4}$のグラフを$C$とする．以下の問いに答えよ．

(1)相異なる実数$s,\ t$に対し，$C$上の点$\displaystyle \left( s,\ \sqrt{2}s^2-\frac{\sqrt{2}}{4} \right)$，$\displaystyle \left( t,\ \sqrt{2}t^2-\frac{\sqrt{2}}{4} \right)$における$C$の法線をそれぞれ$\ell_s,\ \ell_t$で表す．$\ell_s$と$\ell_t$の交点の座標を求めよ．ただし，曲線$C$上の点$\mathrm{P}$における法線とは，$\mathrm{P}$を通り，$\mathrm{P}$における$C$の接線と垂直に交わる直線のことである．
(2)$t$を固定して$s$を$t$に近づけるとき，(1)で求めた交点の$x$座標と$y$座標が近づく値をそれぞれ$f(t)$，$g(t)$で表す．このとき，$f(t)$，$g(t)$を求めよ．
(3)(2)で求めた$f(t)$，$g(t)$を，実数全体で定義された$t$の関数とみなして，
\[ x=f(t),\quad y=g(t) \]
によって媒介変数表示される曲線を$D$とする．このとき，$C$と$D$によって囲まれた部分の面積を求めよ．

関数$y=e^{2x}-2e^x$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，増減表をつくり，そのグラフを座標平面上に描け．ただし，漸近線および座標軸との交点も調べること．

$3$次関数$f(x)=x^3+3x^2-9x$について，以下の各問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフにおいて，$f(x)$が極大となる点を$\mathrm{A}$，極小となる点を$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{A}$および$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$を両端とする線分の中点を$\mathrm{C}$とする．$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(3)$y=f(x)$のグラフ上に点$\mathrm{D}$をとる．ただし，$\mathrm{D}$の$x$座標は$\mathrm{B}$の$x$座標より大きいものとする．いま，三角形$\mathrm{BCD}$の面積が$480$であるとき，$\mathrm{C}$と$\mathrm{D}$を結ぶ直線の式を求めよ．