中心$\mathrm{A}(1,\ 1)$，半径$1$の円を$C$とする．原点を通り円$C$と異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わる直線を$\ell$とする．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$における円$C$の$2$本の接線が直交するとき，次の問に答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{APQ}$の面積$S$を求めよ．
(2)直線$\ell$の傾きを求めよ．
(3)$2$本の接線の交点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)${13}^{13}$を$144$で割ったときの余りは$[ア]$である．
(2)空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 3)$，$\mathrm{B}(3,\ 5,\ 2)$，$\mathrm{C}(1,\ 2,\ 1)$がある．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell$としたとき，点$\mathrm{C}$との距離が最小となる$\ell$上の点の座標は
\[ \left( \frac{[ウ]}{[イ]},\ \frac{[エ]}{[イ]},\ \frac{[オ]}{[イ]} \right) \]
である．

座標平面上に放物線$C:y=ax^2+1$がある．放物線$C$上の点$\mathrm{P}$における接線を$\ell$とし，点$\mathrm{P}$の$x$座標を$p$とする．ただし，$a>0$，$p>0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式を$a,\ p$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$，放物線$C$，および$y$軸で囲まれる部分の面積$S$を$a,\ p$を用いて表せ．
(3)直線$\ell$と原点との距離が$1$のとき，$S$を$a$を用いて表せ．

座標平面上に放物線$C:y=x^2+(2-a)x+3-a$がある．放物線$C$上の点$\mathrm{P}(-1,\ 2)$における接線を$\ell$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$が$x$軸の正の部分と交わり，かつ$y$軸の正の部分と交わるような$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$a$の値が$(2)$で求めた範囲にあるとする．$x$軸，$y$軸，直線$\ell$で囲まれる三角形の面積を$S_1$とし，また，$y$軸，直線$\ell$，放物線$C$で囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$S_1=3S_2$となるとき，$a$の値を求めよ．

座標平面上に点$\mathrm{A}(2,\ 0)$，点$\mathrm{B}(0,\ 2)$があり，点$\mathrm{P}(x,\ y)$は$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}=0$を満たしている．このとき，次の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を求めよ．
(2)線分$\mathrm{PA}$の長さが$\sqrt{2}$となるとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$について$x>0$，$y=1$であるとき，$\angle \mathrm{AMP}$を求めよ．

$2$つの曲線$y=x^3-x \cdots\cdots①$および$y={(x-a)}^3-(x-a) \cdots\cdots②$がある．ただし，$a>0$とする．次の問に答えよ．

(1)$②$が$x=x_1$で極大値，$x=x_2$で極小値をとり，$x=x_1,\ x_2$における曲線$②$上の点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とするとき，直線$\mathrm{AB}$の方程式を求めよ．
(2)曲線$①,\ ②$が異なる$2$点で交わるとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$(2)$のとき，曲線$①,\ ②$の交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とする．$\beta-\alpha$を$a$を用いて表せ．
(4)$(2)$のとき，曲線$①,\ ②$で囲まれた部分の面積$S$を$a$を用いて表せ．

図のように，座標平面上に，$x$座標が$0,\ 1,\ 2$，$y$座標が$0,\ 1,\ 2$である$9$個の点がある．これらの$9$点から$1$点を選ぶ試行を$3$回くり返すことで$3$点を選ぶ．ただし，どの点を選ぶ確率も等しいとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$3$点とも原点$\mathrm{O}$になる確率を求めよ．
(2)$3$点が同一の点になる確率を求めよ．
(3)$3$点のうち$2$点だけが同一の点になる確率を求めよ．
(4)$3$点とも異なる点であり，かつ一直線上に並ぶ確率を求めよ．
(5)$3$点を頂点とする三角形ができる確率を求めよ．
（図は省略）

座標平面上に曲線$C:y=x^2 (x \geqq 0)$がある．この曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$における接線を$\ell$，点$\mathrm{P}$を通り直線$\ell$に垂直な直線を$m$とする．ただし，$t>0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式を$t$を用いて表せ．
(2)曲線$C$，直線$\ell$，$x$軸で囲まれた部分の面積を$S$とする．$S$を$t$を用いて表せ．
(3)直線$m$の方程式を$t$を用いて表せ．
(4)曲線$C$，直線$m$，$y$軸で囲まれた部分の面積を$T$とする．$T$を$t$を用いて表せ．
(5)$S:T=1:9$となるとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

次の空欄$[ア]$～$[ケ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)不等式$x |x+2|<2x$の解は$[ア]$である．

(2)$a$を実数とする．$\displaystyle \frac{3+i}{1+ai}$の実部と虚部の和が$0$であるとき，$a=[イ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(3)座標平面上の点$(2,\ 1)$から円$x^2+y^2=1$へ引いた接線の方程式は$y=1$と$y=[ウ]$である．
(4)${128}^{\frac{1}{6}},\ 8^{\frac{2}{5}},\ {81}^{\frac{1}{5}}$のうち最大のものは$[エ]$である．
(5)$\cos {165}^\circ$の値は$[オ]$である．
(6)平面上に三角形$\mathrm{OAB}$と点$\mathrm{P}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}+2 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+3 \overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たしている．直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{OP}$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=[カ] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[キ] \overrightarrow{\mathrm{OB}}$である．
(7)数列$\{a_k\}$は$a_1=0$と漸化式$a_{k+1}=2a_k+1 (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められている．このとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n \log_8 (1+a_k)=[ク]$である．
(8)数字の$1$が書かれたカードが$1$枚，数字の$2$が書かれたカードが$2$枚，数字の$3$が書かれたカードが$3$枚ある．この$6$枚のカード全部を$1$列に並べるとき，数字の$2$が書かれたカードが連続して並ぶ確率は$[ケ]$である．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)座標平面上の放物線$C:y=a(x-b)^2$（$a,\ b$は正の定数）が点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{4}{5},\ \frac{3}{5} \right)$を通り，点$\mathrm{A}$における$C$の法線が原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を通るとき，$\displaystyle a=\frac{[アイ]}{[ウエ]}$，$\displaystyle b=\frac{[オカ]}{[キク]}$である．
(2)不等式
\[ \log (n+9)-\log (n+8)<\frac{1}{100} \]
をみたす最小の正の整数$n$の値は$n=[ケコ]$である．ただし，対数は自然対数とする．