$2$直線$x \cos \theta+y \sin \theta=6$，$x \sin \theta-y \cos \theta=8$の交点を$\mathrm{P}(\theta)$とおく．このとき，次の問に答えなさい．

(1)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{4}$のとき点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{\pi}{4} \right)$を$\mathrm{A}$とおくと$\mathrm{A}$の座標は$([ア] \sqrt{[イ]},\ [ウ] \sqrt{[エ]})$である．
(2)点$\mathrm{P}(\theta)$の座標$(x,\ y)$を$\theta$で表すと$x=[オ] \cos \theta+[カ] \sin \theta$，$y=[キ] \sin \theta-[ク] \cos \theta$である．
(3)$\theta$が$\displaystyle \frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{3\pi}{4}$を動くとき，点$\mathrm{P}(\theta)$の軌跡は中心$([ケ],\ [コ])$，半径$[サシ]$の円の一部（円弧）を動き，その円弧の長さは$[ス] \pi$である．
(4)点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{3\pi}{4} \right)$を$\mathrm{B}$，点$\mathrm{P}(\theta)$を$\mathrm{P}$とおく．このときベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$の内積は
\[ \overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}=[セソタ]([チ]-\sqrt{[ツ]} \sin \theta) \]
である．また，$\theta$が$\displaystyle \frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{3\pi}{4}$を動くとき，この内積が最小となる点$\mathrm{P}$の座標は$([テ],\ [ト])$である．

放物線$C:y=ax(x-b)$について，以下の問いに答えよ．ただし，$a,\ b$は定数とする．

(1)放物線$C$の頂点の座標を$a$と$b$で表せ．
(2)放物線$C$の頂点の座標が$(4,\ -12)$のとき，$a$と$b$を求めよ．
(3)$a$と$b$が$(2)$で求めた値であるとき，$xy$平面上で放物線$C$と$x$軸によって囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

曲線$C:y=x^3$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^3)$における接線を$\ell$とする．$\ell$の$\mathrm{P}$とは異なる$C$との交点を$\mathrm{Q}$とし，$C$と$\ell$とで囲まれた部分を$S$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$t>0$とする．

(1)接線$\ell$の方程式と，点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の中点を通る直線を$m$とする．$m$の方程式を求めよ．
(3)$(2)$の直線$m$により$S$は$2$つの部分に分けられる．$x$軸で$x>0$の一部を含む部分の面積を$s_1$とし，もう一方の面積を$s_2$とする．このとき$\displaystyle \frac{s_1}{s_2}$を求めよ．

曲線$y=-x^2+1$を$C_1$とし，曲線$y=2 |x(1-x)|$を$C_2$とする．

(1)$C_1$と$C_2$の交点の座標をすべて求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の直線$y=x+1$を$\ell$とする．$\ell$に関して点$\mathrm{P}(s,\ t)$と対称な点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)点$\mathrm{Q}$の座標を$s,\ t$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}} \leqq 1$をみたすような点$\mathrm{P}$の存在範囲を図示せよ．

$xy$平面において，曲線$y=-x^2-2x+6$を$C_1$，曲線$y=3 |x|$を$C_2$とする．

(1)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$a,\ d$は$ad \neq 0$をみたす実数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上において，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -1 \\
0 & d
\end{array} \right)$の表す$1$次変換（移動）を$f$とし，以下の$2$つの条件をみたす直線$\ell$がただ$1$つ存在するときを考える．

$(ⅰ)$ $\ell$は$\mathrm{O}$を通る．
$(ⅱ)$ $f$によって，$\ell$上の点はすべて$\ell$と垂直に交わるある直線$m$上に移される．

このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a$と$d$の関係式を求めよ．
(2)$d>0$とする．$\ell$上に$\mathrm{O}$からの距離が$1$で$x$座標が正となる点$\mathrm{P}$をとり，$\mathrm{P}$の$f$による像を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．また，直線$\mathrm{PQ}$と$y$軸が交わる点を$\mathrm{R}$とするとき，線分$\mathrm{OR}$の長さが最小となるように$a$と$d$の値を定めよ．

$2$次関数$y=ax^2+bx+12 (a \neq 0)$のグラフがある．この関数のグラフの軸は，直線$x=-2$であるとする．

(1)この関数のグラフが点$(2,\ 0)$を通るならば，頂点の$y$座標は$[][]$である．
(2)定義域$-3 \leqq x \leqq 2$に対する値域が$-4 \leqq y \leqq 60$ならば，$a=[][]$，$b=[][]$である．
(3)このグラフを$y$軸方向に$-4$だけ平行移動させたとき$x$軸と接するならば，$a=[][]$，$b=[][]$である．

$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$とする．時刻$t$における座標平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$の位置が$x=\sin t$，$y=\sin 2t$で与えられている．

(1)原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$から点$\mathrm{P}$が最も遠方にあるとき，$2$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$間の距離は$[　]$であり，そのときの点$\mathrm{P}$の速度$\overrightarrow{v}$は$\overrightarrow{v}=[　]$である．
(2)点$\mathrm{P}$の軌跡を$y=f(x)$と表すと，$f(x)=[　]$である．ただし$x$の範囲は$[　]$である．
(3)$(2)$で求めた軌跡と$x$軸とで囲まれてできる図形の面積は$[　]$である．

次の問に答えよ．

(1)$\left( \begin{array}{cc}
1+a & 1 \\
4 & 3+3a
\end{array} \right)$が逆行列をもたないような$a$の値をすべて求めよ．
(2)$xy$平面上の曲線$y=\sqrt{x-1}+1$と直線$y=x-6$の交点の座標を求めよ．
(3)媒介変数表示
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=4 \cos^2 \theta \\
y=4 \cos \theta \sin \theta
\end{array} \right. \]
の表す円の方程式，および中心の座標と半径を求めよ．