放物線$C:y=x^2-4x$と，$C$上の点$(3,\ -3)$における接線を$y$軸方向に$a$だけ平行移動した直線$\ell$を考える．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$a=1$のとき，同一の座標平面に$C$と$\ell$を図示せよ．
(3)$x>0$において，$C$と$\ell$が異なる$2$点で交わるとき，$a$のとりうる値の範囲を求めよ．
(4)$(3)$のとき，$C$の下側で$y$軸と$C$と$\ell$とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

$xy$平面において，点$(2,\ 0)$を点$(1,\ \sqrt{3})$へ，点$(1,\ \sqrt{3})$を点$(-1,\ \sqrt{3})$へ移す$1$次変換$f$を表す行列を$A$とする．$\displaystyle B=\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{rr}
1 & -1 \\
1 & 1
\end{array} \right)$とし，$B$が表す$1$次変換を$g$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$A$および$A^3$を求めよ．
(2)$A^6$が表す$1$次変換によって点$(1,\ 0)$が移る点の座標を求めよ．
(3)合成変換$f \circ g$を表す行列を$C$とするとき，$C^n=\left( \begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$となる最小の自然数$n$の値を求めよ．

座標平面上に，$2$つの円$C_1:x^2+y^2=1$，$C_2:(x-2)^2+(y-1)^2=4$があり，$C_1$と$C_2$の共通接線を$n_1,\ n_2$（ただし$n_1$の傾きより$n_2$の傾きの方が大きい）とする．また，$C_1$と$C_2$の中心を結ぶ直線を$\ell$とし，$C_1$と$C_2$の$2$つの交点を結ぶ直線を$m$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式，および$\ell$と$n_1$の交点の座標を求めよ．
(2)直線$n_1$と直線$\ell$とのなす角を$\displaystyle \alpha \left( \text{ただし} 0 \leqq \alpha \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とし，$\tan \alpha$および$\tan 2\alpha$の値を求めよ．
(3)直線$n_2$の方程式を求めよ．
(4)直線$m$の方程式を求めよ．
(5)$3$つの直線$n_1,\ n_2,\ m$で囲まれた三角形の面積を求めよ．

$xy$平面上に，円$K:x^2+y^2=1$と放物線$C:y=x^2-2$がある．$K$上の点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta) (\pi<\theta<2\pi)$における$K$の接線を$\ell$とし，$\ell$と$C$で囲まれる部分の面積を$S$とする．

(1)$\ell$の方程式を$\theta$を用いて表せ．
(2)$S$を$\theta$を用いて表せ．
(3)$S$の最小値とそのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

空間の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$を通る平面を$\alpha$とし，原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．

(1)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表し，点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)空間に点$\mathrm{P}(-4,\ -6,\ 3)$がある．いま，$2$点$\mathrm{A}(2,\ -3,\ 0)$，$\mathrm{B}(-4,\ 0,\ 12)$を結ぶ直線上に点$\mathrm{H}$をとり，直線$\mathrm{PH}$が直線$\mathrm{AB}$と垂直になるようにする．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(2)次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．

(i) $\displaystyle \tan \frac{\theta}{2}=t$とおく．$\sin \theta$を$t$を用いて表せ．
(ii) $\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=-\frac{1}{5} (-\pi<\theta<\pi)$とする．$\displaystyle \tan \frac{\theta}{2}$の値を求めよ．

(3)$1$から$n$までの番号が$1$つずつ書かれた$n$枚の同じ形のカードがある．ただし，$n$は$2$以上の整数である．この$n$枚のカードから，元に戻さずに$1$枚ずつ$2$回無作為に抜き出すとする．$2$回目に抜き出したカードの番号が$1$回目の番号より大きければ，$2$回目のカードの番号を得点とする．そうでなければ得点は$0$とする．次の問に答えよ．

(i) $m$は$1 \leqq m \leqq n$を満たす整数とする．$2$回目のカードの番号が$m$となる確率を求めよ．
(ii) $m$は$(ⅰ)$と同じとする．得点が$m$となる確率を求めよ．
(iii) 得点が$0$となる確率を求めよ．
\mon[$\tokeishi$] 得点の期待値を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)双曲線$\displaystyle H:\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$について，次の問に答えよ．

(i) 双曲線$H$の焦点の座標を求めよ．
(ii) 双曲線$H$について正の傾きをもつ漸近線の方程式を求めよ．
(iii) $(ⅱ)$で求めた漸近線と直交する直線が$H$と接するとき，その接点の座標を求めよ．

(2)不等式$9a>b,\ \log_ab>\log_ba^4+3$をすべて満たす整数$a,\ b$の値を求めよ．
(3)直線$x-y+2=0$を$\ell$とし，直線$x+y-3=0$を$m$とする．$1$次変換$f$によって，直線$\ell$は$m$に移り，また直線$m$は$\ell$に移る．このとき，次の問に答えよ．

(i) $1$次変換$f$を表す行列$A$を求めよ．
(ii) $A^{2013}$を求めよ．

点$\mathrm{A}(-1,\ 2)$を通り傾きが$m$の直線$\ell$と放物線$C:y=x^2$に対し，次の各問に答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C$と$\ell$の$2$つの共有点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とするとき，差$\beta-\alpha$を$m$を用いて表せ．
(3)$\ell$と$C$で囲まれた図形の面積の最小値と，そのときの$m$の値を求めよ．

$0 \leqq k \leqq 1$のとき，直線$x-2+ky=0$と直線$-k(x+2)+y=0$について，次の各問に答えよ．

(1)$2$つの直線の交点$\mathrm{P}(x,\ y)$の座標を$k$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$の$x$座標の動く範囲を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$の軌跡を求め，図示せよ．

$b<a^2$を満たす点$\mathrm{P}(a,\ b)$から放物線$C:y=x^2$へ$2$本の接線$\ell_1,\ \ell_2$を引き，その接点をそれぞれ$(\alpha,\ \alpha^2)$，$(\beta,\ \beta^2)$とする．ただし$\alpha<\beta$にとる．放物線$C$と$2$直線$\ell_1,\ \ell_2$で囲まれた部分の面積を$S$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)$a$と$b$を$\alpha$と$\beta$を用いてそれぞれ表せ．
(2)$S$を$\alpha$と$\beta$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$が直線$y=x-2$上を動くときの$S$の最小値と，それを与える$\mathrm{P}$の座標を求めよ．