次の各問いに答えよ．

(1)$\log_{10}2=0.3010$とするとき，$\log_{10}125$の値を求めよ．
(2)$x$の$2$次方程式$x^2 \cos^2 \theta+2x \sin 2\theta+a \sin^2 \theta=0$が重解をもつとき，定数$a$の値を求めよ．ただし，$\theta$は$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$を満たす定数とする．
(3)座標平面上に，$3$直線$\ell_1:y=x+1$，$\ell_2:y=2x$，$\ell_3:y=ax+b$がある．$\ell_1$と$\ell_2$が$\ell_3$に関して対称であるとき，定数$a$と$b$の値を求めよ．ただし，$a>0$とする．

直線$\ell:y=2x+m$は，点$\mathrm{A}(4,\ 2)$を中心とする円$C$に点$\mathrm{P}$で接し，$y$軸と点$\mathrm{Q}$で交わっている．直線$\mathrm{AP}$と円$C$との交点のうち，$\mathrm{P}$とは異なる点を$\mathrm{R}$とする．ただし，$-4<m<4$とする．

(1)円$C$の半径$r$を$m$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$の座標を$m$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{PQR}$の面積の最大値を求めよ．

座標平面上の$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a,\ a+1)$，$\mathrm{B}(1,\ 3)$，$\mathrm{C}(2,\ 1)$について，次の問いに答えよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が垂直であるとき，$a$の値を求めよ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行であるとき，$a$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$30^\circ$であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が直線$\ell:\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}+t \overrightarrow{\mathrm{OC}}$上にあるとき，$y$を$x$を用いて表せ．また，点$\mathrm{A}$が$\ell$上にあるとき，$a$と$t$の値を求めよ．ただし，$t$は実数とする．

関数$\displaystyle f(x)=\sin x+\cos x (-\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \pi)$について，曲線$C:y=f(x)$と$y$軸との交点を$\mathrm{A}$とする．

(1)曲線$C$と$x$軸との交点の座標をすべて求めよ．
(2)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．また，曲線$C$上の点$\mathrm{A}$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$と接線$\ell$，および直線$\displaystyle x=-\frac{\pi}{4}$で囲まれた図形の面積を求めよ．

座標平面上に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ -2 \sqrt{3})$，$\mathrm{C}(x,\ y)$がある．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$のなす角が$60^\circ$であり，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$の大きさが$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=1$であるとき，次の問いに答えよ．ただし，$x>0$，$y>0$とする．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|$と，$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{CB}}|$を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}$を求めよ．また，$\cos \angle \mathrm{ACB}$の値を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

座標平面において，放物線$C:y=-x^2+9$上の点$\mathrm{P}$の$x$座標を$a$とし，$0<a<3$とする．また，点$\mathrm{P}$を通り，$x$軸に平行な直線を$\ell$とし，点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$m$とする．

(1)曲線$C$と直線$\ell$で囲まれた図形の面積$S_1$を$a$を用いて表せ．
(2)曲線$C$と直線$m$，および直線$x=3$で囲まれた図形の面積$S_2$を$a$を用いて表せ．
(3)$S_1+S_2$の最小値と，そのときの$a$の値を求めよ．

原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$がある．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とする．$\mathrm{O}$から$\alpha$に下ろした垂線と$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とするとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AH}}=s \overrightarrow{\mathrm{AB}}+t \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
を満たすような実数$s,\ t$の値を求めよ．また，$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$に内接する球の半径$r$を求めよ．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{6}-2}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とする．このとき，$b$を$\sqrt{6}$を用いて表すと$b=[ア]$である．また，$a^2-ab-b^2=[イ]$である．
(2)実数$a,\ b$に対して，$3$次方程式$ax^3+(a-2)x^2+(b-3)x-b=0$が$x=1+i$を解として持つとき，$(a,\ b)=[ウ]$であり，この方程式の実数解は$[エ]$である．
(3)$2$次方程式$\displaystyle ax^2-\frac{1}{5}x-\frac{12}{25}=0$の$2$つの解がそれぞれ$\sin \theta$，$\cos \theta$であるとき，$a$の値は$[オ]$であり，$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta$の値は$[カ]$である．
(4)直線$x-y=1$上を動く点$\mathrm{P}$がある．$3$点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(-3,\ 0)$，$\mathrm{C}(4,\ -1)$に対して，$\mathrm{PA}^2+\mathrm{PB}^2+\mathrm{PC}^2$の最小値は$[キ]$であり，このときの$\mathrm{P}$の座標は$[ク]$である．
(5)実数$a$に対して，$x$についての方程式$4^x+a \cdot 2^{x+2}+3a+1=0$が異なる$2$つの実数解を持つとき，$a$のとりうる値の範囲は$[ケ]<a<[コ]$である．

$xy$平面上に$3$つの放物線$C_1:y=x^2$，$C_2:y=bx^2 (0<b<1)$および$C_3$がある．$C_3$は$C_2$上の点$(1,\ b)$を頂点とし，点$(0,\ b-1)$を通り，上に凸である．また，$C_1$と$C_3$は，ただ$1$つの共有点$\mathrm{A}$を持ち，$\mathrm{A}$を通る共通の接線$\ell$を持つ．

(1)$b$の値と$C_3$の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$の座標と$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$C_1$，$\ell$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S$とし，$C_3$，$\ell$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$T$とする．$S=T$が成り立つことを示せ．

座標平面上に放物線$\displaystyle D:y=\frac{1}{2}x^2+x+2$と$D$上の点$\mathrm{P}(-2,\ 2)$がある．また，$\mathrm{P}$における$D$の接線を$\ell$とする．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)円$C$は，半径が$r$で中心が$(r,\ 2)$であり，直線$\ell$と接しているとする．$C$と$\ell$との接点$\mathrm{A}$の$x$座標を$a$とするとき，$\mathrm{A}$を通り$\ell$と垂直に交わる直線の方程式を$a$で表せ．また，その直線が$C$の中心を通ることを用いて$r$を$a$で表せ．
(3)$(2)$の$r$の値を求めよ．
(4)$(2)$の$C$の外側で$D$と$C$と$\ell$とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．