「座標」について
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国立 秋田大学 2016年 第1問$f(x)=\log_2 (x+1)+\log_2 (x-2)-2$，$g(x)=|x(x-2)|$とする．次の問いに答えよ．
(1)方程式$f(x)=0$を解け．
(2)関数$y=g(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸との交点の座標を$(a,\ 0)$とする．このとき，曲線$y=g(x) (-1 \leqq x \leqq a)$と$x$軸，および$2$直線$x=-1$，$x=a$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)方程式$f(x)=0$を解け．
(2)関数$y=g(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸との交点の座標を$(a,\ 0)$とする．このとき，曲線$y=g(x) (-1 \leqq x \leqq a)$と$x$軸，および$2$直線$x=-1$，$x=a$で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 秋田大学 2016年 第2問$a$は実数とする．座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(a^3+a-4,\ 5)$，$\mathrm{B}(2a,\ 3)$，$\mathrm{C}(a+1,\ 2)$がある．次の問いに答えよ．
(1)$a=0$のとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$に垂直で，大きさが$1$のベクトルを求めよ．
(2)$a=0$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が一直線上に並ぶ場合があるか調べよ．
(1)$a=0$のとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$に垂直で，大きさが$1$のベクトルを求めよ．
(2)$a=0$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が一直線上に並ぶ場合があるか調べよ．
国立 長崎大学 2016年 第4問楕円$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{a^2}=1 (a>0)$と$y$軸の交点を$\mathrm{A}(0,\ a)$，$\mathrm{B}(0,\ -a)$とする．$\theta$が$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ a \sin \theta)$はこの楕円上を動く．以下の問いに答えよ．
(1)線分$\mathrm{AP}$の長さを$l$とする．$\displaystyle X=\sin \theta \left( -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$のとき，$Y=l^2$となる関数を$Y=f(X)$とする．$f(X)$を$X$の式で表せ．
(2)$0<a<1$の場合．
$(1)$の関数$f(X)$の最大値を$a$を用いて表し，そのときの$X$の値を求めよ．
(3)$a=2$の場合．
$(1)$の関数$f(X)$の値が最大となるときの点$\mathrm{P}$を$\mathrm{P}_1$とする．$f(X)$の最大値と$\mathrm{P}_1$の座標を求めよ．また，点$\mathrm{A}(0,\ 2)$を中心とし点$\mathrm{P}_1$を通る円を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．
(1)線分$\mathrm{AP}$の長さを$l$とする．$\displaystyle X=\sin \theta \left( -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$のとき，$Y=l^2$となる関数を$Y=f(X)$とする．$f(X)$を$X$の式で表せ．
(2)$0<a<1$の場合．
$(1)$の関数$f(X)$の最大値を$a$を用いて表し，そのときの$X$の値を求めよ．
(3)$a=2$の場合．
$(1)$の関数$f(X)$の値が最大となるときの点$\mathrm{P}$を$\mathrm{P}_1$とする．$f(X)$の最大値と$\mathrm{P}_1$の座標を求めよ．また，点$\mathrm{A}(0,\ 2)$を中心とし点$\mathrm{P}_1$を通る円を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．
国立 秋田大学 2016年 第3問$b>0$，$a=2 \sqrt{3}b$とし，原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の楕円$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$を$E$とする．楕円$E$上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$の媒介変数表示は$x=a \cos \theta$，$y=b \sin \theta (0 \leqq \theta<2\pi)$で与えられる．次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$で楕円$E$と共通の接線をもつ円を考える．このような円のうち，不等式$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \geqq 1$の表す領域内にある円を$C$とする．円$C$の半径を$r(\theta)$とするとき，$C$の中心を$\theta$と$r(\theta)$を用いて表せ．
(2)$2d=11b$とし，$4$つの頂点が$(d,\ d)$，$(-d,\ d)$，$(-d,\ -d)$，$(d,\ -d)$である正方形$F$を考える．点$\mathrm{P}$が楕円$E$上を動くとき，$(1)$の円$C$の中心は正方形$F$の周上を動くとする．このとき，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$に対して，$C$の半径$r(\theta)$を求めよ．
(3)$(2)$の$r(\theta)$の$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$における最大値は$\displaystyle \frac{5 \sqrt{5}}{2}b$であることを示せ．
(1)点$\mathrm{P}$で楕円$E$と共通の接線をもつ円を考える．このような円のうち，不等式$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \geqq 1$の表す領域内にある円を$C$とする．円$C$の半径を$r(\theta)$とするとき，$C$の中心を$\theta$と$r(\theta)$を用いて表せ．
(2)$2d=11b$とし，$4$つの頂点が$(d,\ d)$，$(-d,\ d)$，$(-d,\ -d)$，$(d,\ -d)$である正方形$F$を考える．点$\mathrm{P}$が楕円$E$上を動くとき，$(1)$の円$C$の中心は正方形$F$の周上を動くとする．このとき，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$に対して，$C$の半径$r(\theta)$を求めよ．
(3)$(2)$の$r(\theta)$の$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$における最大値は$\displaystyle \frac{5 \sqrt{5}}{2}b$であることを示せ．
国立 秋田大学 2016年 第3問原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$をとり，$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円の第$1$象限にある部分を$C$とする．$3$点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{Q}(x_2,\ y_2)$，$\mathrm{R}$は$C$の周上にあり，$2y_1=y_2$および$\angle \mathrm{AOP}=4 \angle \mathrm{AOR}$を満たすものとする．直線$\mathrm{OQ}$と直線$y=1$の交点を$\mathrm{Q}^\prime$，直線$\mathrm{OR}$と直線$y=1$の交点を$\mathrm{R}^\prime$とする．$\angle \mathrm{AOP}=\theta$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}^\prime$と点$\mathrm{R}^\prime$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$に限りなく近づくとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{BR}^\prime}{\mathrm{BQ}^\prime}$の極限を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$であることは用いてよい．
(1)点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}^\prime$と点$\mathrm{R}^\prime$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$に限りなく近づくとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{BR}^\prime}{\mathrm{BQ}^\prime}$の極限を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$であることは用いてよい．
国立 秋田大学 2016年 第1問$f(x)=\log_2 (x+1)+\log_2 (x-2)-2$，$g(x)=|x(x-2)|$とする．次の問いに答えよ．
(1)方程式$f(x)=0$を解け．
(2)関数$y=g(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸との交点の座標を$(a,\ 0)$とする．このとき，曲線$y=g(x) (-1 \leqq x \leqq a)$と$x$軸，および$2$直線$x=-1$，$x=a$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)方程式$f(x)=0$を解け．
(2)関数$y=g(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸との交点の座標を$(a,\ 0)$とする．このとき，曲線$y=g(x) (-1 \leqq x \leqq a)$と$x$軸，および$2$直線$x=-1$，$x=a$で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 秋田大学 2016年 第2問$a$は実数とする．座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(a^3+a-4,\ 5)$，$\mathrm{B}(2a,\ 3)$，$\mathrm{C}(a+1,\ 2)$がある．次の問いに答えよ．
(1)$a=0$のとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$に垂直で，大きさが$1$のベクトルを求めよ．
(2)$a=0$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が一直線上に並ぶ場合があるか調べよ．
(1)$a=0$のとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$に垂直で，大きさが$1$のベクトルを求めよ．
(2)$a=0$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が一直線上に並ぶ場合があるか調べよ．
国立 秋田大学 2016年 第3問原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$をとり，$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円の第$1$象限にある部分を$C$とする．$3$点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{Q}(x_2,\ y_2)$，$\mathrm{R}$は$C$の周上にあり，$2y_1=y_2$および$\angle \mathrm{AOP}=4 \angle \mathrm{AOR}$を満たすものとする．直線$\mathrm{OQ}$と直線$y=1$の交点を$\mathrm{Q}^\prime$，直線$\mathrm{OR}$と直線$y=1$の交点を$\mathrm{R}^\prime$とする．$\angle \mathrm{AOP}=\theta$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}^\prime$と点$\mathrm{R}^\prime$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$に限りなく近づくとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{BR}^\prime}{\mathrm{BQ}^\prime}$の極限を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$であることは用いてよい．
(1)点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}^\prime$と点$\mathrm{R}^\prime$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$に限りなく近づくとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{BR}^\prime}{\mathrm{BQ}^\prime}$の極限を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$であることは用いてよい．
国立 秋田大学 2016年 第3問$a$は実数とする．座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(a^3+a-4,\ 5)$，$\mathrm{B}(2a,\ 3)$，$\mathrm{C}(a+1,\ 2)$がある．次の問いに答えよ．
(1)$a=0$のとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$に垂直で，大きさが$1$のベクトルを求めよ．
(2)$a=0$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が一直線上に並ぶ場合があるか調べよ．
(1)$a=0$のとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$に垂直で，大きさが$1$のベクトルを求めよ．
(2)$a=0$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が一直線上に並ぶ場合があるか調べよ．
国立 秋田大学 2016年 第2問$a$は実数とする．座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(a^3+a-4,\ 5)$，$\mathrm{B}(2a,\ 3)$，$\mathrm{C}(a+1,\ 2)$がある．次の問いに答えよ．
(1)$a=0$のとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$に垂直で，大きさが$1$のベクトルを求めよ．
(2)$a=0$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が一直線上に並ぶ場合があるか調べよ．
(1)$a=0$のとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$に垂直で，大きさが$1$のベクトルを求めよ．
(2)$a=0$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が一直線上に並ぶ場合があるか調べよ．