$xy$平面において，方程式$x+3y=6$で表される直線を$\ell_0$とし，方程式$y=x^2-1$で表される放物線を$C_0$とする．$\ell_0$に関して$C_0$と対称な放物線を$C_1$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)点$\mathrm{P}(a,\ b)$と点$\mathrm{Q}(c,\ d)$が$\ell_0$に関して対称であるとき，$a,\ b$を用いて$c$と$d$を表しなさい．
(2)$C_1$上の点のうち，$x$座標が最も大きい点の座標を求めなさい．
(3)原点を通る直線$\ell_1$に関して$C_1$と対称な放物線を$C_2$とする．$C_2$が放物線$x=-y^2$を平行移動して得られる放物線に一致するとき，$\ell_1$の方程式を求めなさい．

座標平面上に，半円$C:x^2+y^2=4$（ただし，$x>0$）と放物線$D:x^2-6y+3=0$がある．半円$C$上の点$\mathrm{P}(2 \cos \theta,\ 2 \sin \theta)$（ただし，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$）における半円$C$の接線を$\ell$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)半円$C$と放物線$D$との交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)直線$\ell$が放物線$D$に点$\mathrm{R}$において接するとき，$\theta$の値と点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(3)$(2)$のとき，半円$C$と放物線$D$および直線$\ell$によって囲まれる部分の面積を求めよ．

$A$を$2$次正方行列とする．座標平面上の点$\mathrm{P}_1(1,\ 0)$が，$A$の表す移動により$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$に，$A^2$の表す移動により$\displaystyle \left( -\frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$に移るとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$A$を求めよ．
(2)$\displaystyle B=\frac{1}{2}A^3$とする．$B$の表す移動によって，点$\mathrm{P}_1$が移る点を$\mathrm{P}_2$と定め，点$\mathrm{P}_2$が移る点を$\mathrm{P}_3$と定める．以下同様にして$B$の表す移動によって点$\mathrm{P}_{n-1}$が移る点を$\mathrm{P}_n$と定める．このとき，点$\mathrm{P}_n$の座標を求めよ．
(3)(2)で定めた点$\mathrm{P}_n$から曲線$y=x^2$に引いた接線で，$x$軸に平行でないものの傾きを$a_n$とおく．このとき，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$を求めよ．

円$C_1:x^2-4x+y^2=0$と直線$\displaystyle \ell:y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$がある．次の問いに答えよ．

(1)円$C_1$と直線$\ell$の交点のうち，原点$\mathrm{O}$と異なるものを$\mathrm{A}$とする．点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．さらに，原点$\mathrm{O}$を頂点とし，点$\mathrm{A}$を通る放物線$C_2$の方程式を$y=ax^2$とする．$a$の値を求めよ．
(2)直線$\ell$の傾きを$\tan \theta$と表す．そのときの$\theta$の値を求めよ．ただし，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
(3)円$C_1$と直線$\ell$で囲まれた図形のうち，直線$\ell$の上側にある部分の面積$S_1$を求めよ．
(4)円$C_1$と放物線$C_2$で囲まれた図形のうち，放物線$C_2$の上側にある部分の面積$S_2$を求めよ．
(5)放物線$C_2$の接線で，直線$\ell$とのなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{4}$であるものを考える．そのすべてについて，接点の$x$座標を求めよ．

$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲において，曲線$C_1:y=\sin 2x$と曲線$C_2:y=\cos x$の交点の$x$座標を$a,\ b,\ c \ (a<b<c)$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)交点$(b,\ \sin 2b)$における$2$つの曲線$C_1$と$C_2$のそれぞれの接線は垂直ではないことを示せ．
(3)$a \leqq x \leqq b$の範囲で$2$つの曲線$C_1,\ C_2$によって囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$b \leqq x \leqq c$の範囲で$2$つの曲線$C_1,\ C_2$によって囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$2$つの面積の比$S_1:S_2$を求めよ．
(4)曲線$C_1$の$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の部分と$x$軸で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

座標平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$5$の円$C$，点$\mathrm{A}(0,\ 7)$，点$\mathrm{B}(1,\ 6)$が与えられている．点$\mathrm{P}(\alpha,\ \beta)$を中心とし，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る円を$C(\mathrm{P})$として，以下の問に答えよ．

(1)$\alpha,\ \beta$の満たすべき条件を求めよ．
(2)$2$円$C,\ C(\mathrm{P})$が共有点をもつための条件を$\alpha$のみを用いて表せ．

$a,\ b$を正の実数とする．$xy$平面上の放物線$y=x^2-2ax$と直線$y=bx$は原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}$の異なる$2$点で交わる．また，放物線の頂点を$\mathrm{B}$とし，三角形$\mathrm{OAB}$を考える．以下の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$および点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{OAB}$が直角三角形のとき，$a$と$b$の満たすべき条件を求めよ．
(3)$a=b$のとき，$\cos \angle \mathrm{AOB}$を$a$を用いて表せ．
(4)$a=b$のとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$a$を用いて表せ．

$xy$平面上に中心$(1,\ 0)$，半径$2$の円$C$がある．円$C$と$y$軸との交点のうち，$y$座標が負である点を$\mathrm{P}$とする．以下の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$が円$C$の周から点$\mathrm{P}$を除いた部分を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{R}$の軌跡を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$は円$C$の周から点$\mathrm{P}$を除いた部分を動くとする．また，$k$を$1$以外の正の実数とし，線分$\mathrm{PQ}$を$k:1$に外分する点を$\mathrm{S}$とする．このとき点$\mathrm{S}$の軌跡を求めよ．
(4)$k=3$のとき，直線$\displaystyle y=x+a+\frac{\sqrt{3}}{2}$が(3)で求めた軌跡と共有点をもつような$a$の値の範囲を求めよ．

$2$つの直線$\ell_1:y=-2x+3$と$\ell_2:y=5$の交点を$\mathrm{A}$，$\ell_2$と$y$軸の交点を$\mathrm{B}$とする．

(1)点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)$\mathrm{O}$を原点とする．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る円の方程式を求めよ．
(3)(2)で求めた円を$C_1$とし，円$x^2+y^2=4$を$C_2$とする．

(i) 点$(\alpha,\ \beta)$が$C_1$と$C_2$の交点であるとき
\[ \alpha-5 \beta+4=0 \]
が成り立つことを示せ．
(ii) $C_1$と$C_2$の$2$つの交点を結ぶ線分の長さを求めよ．

$f(x)=x^2-x$とする．

(1)放物線$y=f(x)$と直線$y=2x$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(2)次の問いに答えよ．

(i) 関数$y=f(x)$と$y=2 |x|$のグラフの共有点の座標を求めよ．
(ii) 関数$y=f(x)$と$y=2 |x|+k$のグラフの共有点の個数が$2$となる定数$k$の値の範囲を求めよ．