$xyz$空間に点$\mathrm{P}(0,\ 0,\ 5)$がある．次の問いに答えよ．

(1)球面$x^2+y^2+(z-2)^2=9$と平面$\displaystyle x=\frac{1}{2}$が交わってできる円を$C$とする．$C$の中心の座標と半径を求めよ．
(2)$C$上に点$\displaystyle \mathrm{Q} \left( \frac{1}{2},\ s,\ t \right)$をとったとき，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線と$xy$平面との交点を$\mathrm{R}(X,\ Y,\ 0)$とする．$X,\ Y$それぞれを$s,\ t$の式で表せ．
(3)$\mathrm{Q}$が$C$上のすべての点を動くとき，$\mathrm{R}$が描く曲線を$C^\prime$とする．$C^\prime$の長さ$L$を求めよ．

$a$を実数とする．直線$y=3x-a$を$\ell$とし，曲線$y=2x^3-3x$を$C$とする．

(1)$a=0$のとき，直線$\ell$と曲線$C$の共有点の座標を求めなさい．
(2)直線$\ell$と曲線$C$の共有点の個数が$3$個となるように$a$の範囲を求めなさい．

$xy$平面上の曲線$C$は媒介変数$\theta$を用いて
\[ x=\frac{2}{3}\sqrt{3}\cos \theta+\frac{\sqrt{6}}{3}\sin \theta,\quad y=\frac{\sqrt{3}}{3}\cos \theta-\frac{\sqrt{6}}{3}\sin \theta \quad (0 \leqq \theta \leqq \pi) \]
と表される．このとき，次の問いに答えよ．

(1)曲線$C$を表す$x$と$y$の関係式を求め，$xy$平面に図示せよ．
(2)点$(2,\ 0)$から曲線$C$に引いた接線の方程式と接点の座標を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$f(x)=\log (x+\sqrt{x^2+1})$とする．ただし，対数は自然対数とする．

(i) $f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(ii) 直線$y=x$と直線$\displaystyle x=\frac{3}{4}$および曲線$y=f(x)$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

(2)$\displaystyle \alpha=\frac{2}{5}\pi$とする．

(i) $\cos 3\alpha=\cos 2\alpha$が成り立つことを用いて，$\cos \alpha$と$\cos 2\alpha$の値を求めよ．
(ii) $2$個のさいころを同時に投げるとき，出る目の数の和を$N$とする．このとき，座標平面上の点$\mathrm{P}(1,\ \sqrt{3})$を原点$\mathrm{O}$のまわりに角$N \alpha$だけ回転した点を$\mathrm{Q}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の内積を$T$とする．$T$の期待値を求めよ．

座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(a_1,\ a_2)$，$\mathrm{B}(b_1,\ b_2)$，$\mathrm{C}(c_1,\ c_2)$について考える．
\[ I=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right),\quad J=\left( \begin{array}{cc}
-\displaystyle\frac{1}{2} & -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} & -\displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right) \]
とおく．

(1)$I+J+J^2,\ J^3$を求めよ．
(2)$\left( \begin{array}{c}
a_1 \\
a_2
\end{array} \right) \neq \left( \begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array} \right)$，$\left( \begin{array}{c}
b_1 \\
b_2
\end{array} \right)=J \left( \begin{array}{c}
a_1 \\
a_2
\end{array} \right)$，$\left( \begin{array}{c}
c_1 \\
c_2
\end{array} \right)=J^2 \left( \begin{array}{c}
a_1 \\
a_2
\end{array} \right)$のとき，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$は正三角形をなすことを示せ．
(3)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が異なり，
\[ \left( \begin{array}{c}
a_1 \\
a_2
\end{array} \right)+J \left( \begin{array}{c}
b_1 \\
b_2
\end{array} \right)+J^2 \left( \begin{array}{c}
c_1 \\
c_2
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array} \right) \]
が成り立つとき，三角形$\mathrm{ABC}$が正三角形となることを示せ．

$m$を正の定数とする．次の問いに答えよ．

(1)$xy$平面上に$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{P}(1,\ m)$がある．このとき$2$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標を，$\triangle \mathrm{OPQ}$，$\triangle \mathrm{OPR}$がともに正三角形となるように定めよ．ただし，点$\mathrm{Q}$は$xy$平面上の$y>mx$となる領域に，点$\mathrm{R}$は$xy$平面上の$y<mx$となる領域に定めよ．
(2)$(1)$で定めた$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$について，一次変換$f$は点$\mathrm{P}$を同じ点$\mathrm{P}$に，点$\mathrm{Q}$を点$\mathrm{R}$に移すものとする．この一次変換$f$を表す行列$A$を求めよ．

座標平面において，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周$C$上に定点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$をとる．$C$の上半円周（$y$座標が正の部分）上を動く点を$\mathrm{P}$，下半円周（$y$座標が負の部分）上を動く点を$\mathrm{Q}$とする．$\displaystyle \angle \mathrm{PAB}=\alpha \ \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2} \right)$，$\displaystyle \angle \mathrm{QAB}=\beta \ \left( 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$とし，直線$\mathrm{PQ}$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}(t,\ 0)$とする．

(1)$t$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{\pi}{4}$のとき，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)線分$\mathrm{PR}$の長さと線分$\mathrm{RQ}$の長さの比が$2:1$のとき，$t$を$\alpha$を用いて表せ．

自然数$n$について，$0$以上$n$以下の整数$x,\ y$を座標にもつ点$(x,\ y)$全体の集合を$X_n$とする．行列$\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
2 & -1
\end{array} \right)$の表す一次変換による$X_n$の点の像全体の集合を$Y_n$とする．

(1)点$(187,\ 110)$は$Y_{100}$に含まれるかどうか理由をつけて述べよ．
(2)$X_5$と$Y_5$の共通部分$X_5 \cap Y_5$の点の個数を求めよ．

$\alpha$を実数とし，点$(\alpha,\ 0)$を通り傾き$\alpha$の直線を$\ell(\alpha)$とおく．放物線$y=px^2+qx+r$は，$\alpha$がすべての実数を動くとき，つねに$\ell(\alpha)$と接している．

(1)$p,\ q,\ r$の値を求め，接点の座標を$\alpha$を用いて表せ．
(2)$\alpha \neq 0$のとき，この放物線と$\ell(\alpha)$および$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

空間内に$4$点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 2)$，$\mathrm{B}(6,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(4,\ 2,\ 2)$，$\mathrm{D}(5,\ 1,\ 7)$がある．

(1)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を含む平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{D}$から$\alpha$に下ろした垂線と$\alpha$の交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{E}$を，$\mathrm{H}$が線分$\mathrm{DE}$の中点となるようにとるとき，$\mathrm{E}$の座標を求めよ．
(2)$0<t<1$とする．線分$\mathrm{AB}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{BC}$を$t^2:1-t^2$に内分する点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{R}$とするとき，四面体$\mathrm{BPQR}$の体積の最大値を求めよ．