「座標」について
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国立 香川大学 2013年 第1問次の問に答えよ．
(1)座標平面上の原点$\mathrm{O}$を通り，$x$軸とのなす角が$30^\circ$で傾きが正の直線と，放物線$y=x^2$の交点で$\mathrm{O}$と異なるものを$\mathrm{A}$とおく．点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{OA}$を$1$辺とする正方形$\mathrm{OABC}$をつくる．ただし，点$\mathrm{C}$は第$2$象限にとる．点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標をそれぞれ求めよ．
(3)直線$\mathrm{OB}$に垂直で，放物線$y=x^2$に接する直線の方程式を求めよ．
(1)座標平面上の原点$\mathrm{O}$を通り，$x$軸とのなす角が$30^\circ$で傾きが正の直線と，放物線$y=x^2$の交点で$\mathrm{O}$と異なるものを$\mathrm{A}$とおく．点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{OA}$を$1$辺とする正方形$\mathrm{OABC}$をつくる．ただし，点$\mathrm{C}$は第$2$象限にとる．点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標をそれぞれ求めよ．
(3)直線$\mathrm{OB}$に垂直で，放物線$y=x^2$に接する直線の方程式を求めよ．
国立 香川大学 2013年 第4問$a>0$のとき，$2$つの放物線$y=x^2-2,\ y=-ax^2+ax-1$について，次の問に答えよ．
(1)$2$つの放物線の交点の座標を求めよ．
(2)$2$つの放物線で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$2$つの放物線の交点の座標を求めよ．
(2)$2$つの放物線で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 香川大学 2013年 第5問次の問に答えよ．
(1)曲線$C:y=x^3e^{-x}$の概形をかけ．
(2)原点を通り傾きが正の直線$\ell$は，曲線$C$に点$\mathrm{P}$で接している．このとき，$\ell$の方程式および$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(1)曲線$C:y=x^3e^{-x}$の概形をかけ．
(2)原点を通り傾きが正の直線$\ell$は，曲線$C$に点$\mathrm{P}$で接している．このとき，$\ell$の方程式および$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
国立 佐賀大学 2013年 第4問$\alpha>1$とする．曲線$C:y=x^\alpha \ (x>0)$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^\alpha)$における$C$の接線と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$とし，$x$軸上に点$\mathrm{R}$を$\mathrm{PR}=\mathrm{PQ}$をみたすようにとる．ただし，点$\mathrm{R}$の$x$座標は点$\mathrm{P}$の$x$座標より小さいものとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{Q}$の$y$座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{R}$の$x$座標を求めよ．
(3)$x$軸と直線$\mathrm{RP}$のなす鋭角を$\theta$とするとき，$\displaystyle \lim_{p \to \infty}\theta=\frac{\pi}{4}$をみたす$\alpha$の値を求めよ．
(1)点$\mathrm{Q}$の$y$座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{R}$の$x$座標を求めよ．
(3)$x$軸と直線$\mathrm{RP}$のなす鋭角を$\theta$とするとき，$\displaystyle \lim_{p \to \infty}\theta=\frac{\pi}{4}$をみたす$\alpha$の値を求めよ．
国立 佐賀大学 2013年 第2問$\alpha>1$とする．曲線$C:y=x^\alpha \ (x>0)$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^\alpha)$における$C$の接線と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$とし，$x$軸上に点$\mathrm{R}$を$\mathrm{PR}=\mathrm{PQ}$をみたすようにとる．ただし，点$\mathrm{R}$の$x$座標は点$\mathrm{P}$の$x$座標より小さいものとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{Q}$の$y$座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{R}$の$x$座標を求めよ．
(3)$x$軸と直線$\mathrm{RP}$のなす鋭角を$\theta$とするとき，$\displaystyle \lim_{p \to \infty}\theta=\frac{\pi}{4}$をみたす$\alpha$の値を求めよ．
(1)点$\mathrm{Q}$の$y$座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{R}$の$x$座標を求めよ．
(3)$x$軸と直線$\mathrm{RP}$のなす鋭角を$\theta$とするとき，$\displaystyle \lim_{p \to \infty}\theta=\frac{\pi}{4}$をみたす$\alpha$の値を求めよ．
国立 佐賀大学 2013年 第3問$x$軸，$y$軸，$z$軸を座標軸，原点を$\mathrm{O}$とする座標空間において，$z$軸 \\
を中心軸とする半径$1$の円柱を考える．次に，$x$軸を含み$xy$平面と \\
のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{4}$となる平面を$\alpha$とし，平面$\alpha$による円柱の切り口の \\
曲線を$C$とする．また，点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$とする．さらに，曲線$C$上 \\
の点$\mathrm{P}$から$xy$平面に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とし，$\angle \mathrm{AOQ}=\theta$ \ \\
$(0 \leqq \theta<2\pi)$とする．このとき，次の問に答えよ．
\img{711_2927_2013_1}{48}
(1)点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{A}$を通り$z$軸に平行な直線を$\ell$とする．$\ell$によって円柱の側面を切り開いた展開図の上に，曲線$C$の概形をかけ．
(3)図のように，平面$\alpha$と$yz$平面の交線を$Y$軸とする．$xY$平面における曲線$C$の方程式を求め，その概形をかけ．
（図は省略）
を中心軸とする半径$1$の円柱を考える．次に，$x$軸を含み$xy$平面と \\
のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{4}$となる平面を$\alpha$とし，平面$\alpha$による円柱の切り口の \\
曲線を$C$とする．また，点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$とする．さらに，曲線$C$上 \\
の点$\mathrm{P}$から$xy$平面に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とし，$\angle \mathrm{AOQ}=\theta$ \ \\
$(0 \leqq \theta<2\pi)$とする．このとき，次の問に答えよ．
\img{711_2927_2013_1}{48}
(1)点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{A}$を通り$z$軸に平行な直線を$\ell$とする．$\ell$によって円柱の側面を切り開いた展開図の上に，曲線$C$の概形をかけ．
(3)図のように，平面$\alpha$と$yz$平面の交線を$Y$軸とする．$xY$平面における曲線$C$の方程式を求め，その概形をかけ．
（図は省略）
国立 旭川医科大学 2013年 第2問$a$を正の実数とする．双曲線$C:x^2-a^2y^2+a^2=0$上の$4$点$\mathrm{A}_1(0,\ 1)$，$\mathrm{A}_2(0,\ -1)$，$\mathrm{A}_3(a,\ \sqrt{2})$，$\mathrm{A}_4(-2a,\ -\sqrt{5})$が与えられている．$\mathrm{A}_1$における$C$の接線を$\ell_1$，$\mathrm{A}_3$における$C$の接線を$\ell_3$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\ell_1$と$\ell_3$の交点$\mathrm{S}$の座標を求めよ．
(2)直線$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2$と直線$\mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4$の交点$\mathrm{U}$の座標，および直線$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_4$と直線$\mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3$の交点$\mathrm{V}$の座標を求めよ．
(3)$3$点$\mathrm{S}$，$\mathrm{U}$，$\mathrm{V}$が同一線上にあることを示せ．
(1)$\ell_1$と$\ell_3$の交点$\mathrm{S}$の座標を求めよ．
(2)直線$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2$と直線$\mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4$の交点$\mathrm{U}$の座標，および直線$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_4$と直線$\mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3$の交点$\mathrm{V}$の座標を求めよ．
(3)$3$点$\mathrm{S}$，$\mathrm{U}$，$\mathrm{V}$が同一線上にあることを示せ．
国立 室蘭工業大学 2013年 第2問$2$つの曲線
\[ y=\cos^2 x \ \left( -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \quad \text{と} \quad y=\sin^2 x \ \left( -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
を，それぞれ$C_1$と$C_2$とする．
(1)$C_1$と$C_2$の$2$つの交点の座標を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれた部分$D$の面積を求めよ．
(3)$D$を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
\[ y=\cos^2 x \ \left( -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \quad \text{と} \quad y=\sin^2 x \ \left( -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
を，それぞれ$C_1$と$C_2$とする．
(1)$C_1$と$C_2$の$2$つの交点の座標を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれた部分$D$の面積を求めよ．
(3)$D$を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
国立 筑波大学 2013年 第3問$xyz$空間において，点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$を通る平面上にあり，正三角形$\mathrm{ABC}$に内接する円板を$D$とする．円板$D$の中心を$\mathrm{P}$，円板$D$と辺$\mathrm{AB}$の接点を$\mathrm{Q}$とする．
(1)点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)円板$D$が平面$z=t$と共有点をもつ$t$の範囲を求めよ．
(3)円板$D$と平面$z=t$の共通部分が線分であるとき，その線分の長さを$t$を用いて表せ．
(4)円板$D$を$z$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
（図は省略）
(1)点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)円板$D$が平面$z=t$と共有点をもつ$t$の範囲を求めよ．
(3)円板$D$と平面$z=t$の共通部分が線分であるとき，その線分の長さを$t$を用いて表せ．
(4)円板$D$を$z$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
（図は省略）
国立 旭川医科大学 2013年 第4問次の問いに答えよ．
(1)関数$y=x \log x-x \ (x>0)$の増減を調べ，そのグラフをかけ．
(2)$a$を正の実数とする．曲線$C:y=\log (x+1)$上の点$(t,\ \log (t+1))$における接線$\ell_t$が，曲線$C_a:y=a \log x$上の点$(s,\ a \log s)$における接線にもなっているとき，$t$と$s$の関係を$a$を含まない式で表せ．
(3)任意に与えられた$t>-1$に対して，直線$\ell_t$が曲線$C_a$の接線にもなっているような$a$が唯一つ存在すること，および$a>1$であることを示せ．
(4)直線$\ell_t$が曲線$C_a$の接線になっているとき，その接点の$x$座標を$s(t)$とかくことにする．$s(t)$を$t$の関数とみて増減を調べ，さらに$\displaystyle \lim_{t \to \infty}(s(t)-t)$を求めよ．
(1)関数$y=x \log x-x \ (x>0)$の増減を調べ，そのグラフをかけ．
(2)$a$を正の実数とする．曲線$C:y=\log (x+1)$上の点$(t,\ \log (t+1))$における接線$\ell_t$が，曲線$C_a:y=a \log x$上の点$(s,\ a \log s)$における接線にもなっているとき，$t$と$s$の関係を$a$を含まない式で表せ．
(3)任意に与えられた$t>-1$に対して，直線$\ell_t$が曲線$C_a$の接線にもなっているような$a$が唯一つ存在すること，および$a>1$であることを示せ．
(4)直線$\ell_t$が曲線$C_a$の接線になっているとき，その接点の$x$座標を$s(t)$とかくことにする．$s(t)$を$t$の関数とみて増減を調べ，さらに$\displaystyle \lim_{t \to \infty}(s(t)-t)$を求めよ．