「座標」について
タグ「座標」の検索結果
（101ページ目：全2097問中1001問～1010問を表示）
国立 岩手大学 2013年 第2問座標空間内に$2$点$\mathrm{A}(0,\ 3,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ -3,\ 0)$を直径の両端とする球面$S$を考える．$S$上に点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$をとり，$S$外に点$\mathrm{Q}(3,\ 4,\ 5)$をとる．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)球面$S$の方程式を求めよ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$の内積は，点$\mathrm{P}$が球面$S$上のどこにあっても必ず$0$になることを証明せよ．
(3)原点を$\mathrm{O}$で表すとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の大きさとベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の大きさを求めよ．
(4)点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$が球面$S$上を動くとき，$3x+4y+5z$の最大値を求めよ．また，そのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(1)球面$S$の方程式を求めよ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$の内積は，点$\mathrm{P}$が球面$S$上のどこにあっても必ず$0$になることを証明せよ．
(3)原点を$\mathrm{O}$で表すとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の大きさとベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の大きさを求めよ．
(4)点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$が球面$S$上を動くとき，$3x+4y+5z$の最大値を求めよ．また，そのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
国立 秋田大学 2013年 第3問空間内の点$\mathrm{P}(1,\ -1,\ -2)$を出発して，$3$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$で向きを変えてもとの点$\mathrm{P}$に戻る折れ線$\mathrm{PQRSP}$を，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=(-2,\ 4,\ 5)$，$\overrightarrow{\mathrm{QR}}=(2,\ 1,\ 1)$，$\overrightarrow{\mathrm{RS}}=(-3,\ -4,\ -2)$となるように定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$の座標をそれぞれ求めよ．
(2)平面上の点$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}^\prime$，$\mathrm{R}^\prime$，$\mathrm{S}^\prime$を，それぞれ点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$の$x,\ y$座標を取り出して得られる点とする．例えば，点$\mathrm{P}^\prime$の座標は$(1,\ -1)$となる．このとき，平面上の線分$\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime$と線分$\mathrm{R}^\prime \mathrm{S}^\prime$の交点$\mathrm{M}^\prime$を求めよ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$上の点$\mathrm{M}_1$と線分$\mathrm{RS}$上の点$\mathrm{M}_2$を，$\mathrm{M}_1$の$x,\ y$座標が$\mathrm{M}_2$の$x,\ y$座標とそれぞれ等しくなる点とする．$2$点$\mathrm{M}_1$，$\mathrm{M}_2$間の距離を求めよ．
(4)空間内の点$\mathrm{X}$が，点$\mathrm{Q}$を出発して点$\mathrm{P}$まで，$\mathrm{Q} \to \mathrm{R} \to \mathrm{S} \to \mathrm{P}$の順に折れ線上を動く．点$\mathrm{X}$から直線$\mathrm{PQ}$上に垂線を引き，その交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$が$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と同じ向きに動いた距離の総和と，逆の向きに動いた距離の総和を，それぞれ求めよ．
(1)点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$の座標をそれぞれ求めよ．
(2)平面上の点$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}^\prime$，$\mathrm{R}^\prime$，$\mathrm{S}^\prime$を，それぞれ点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$の$x,\ y$座標を取り出して得られる点とする．例えば，点$\mathrm{P}^\prime$の座標は$(1,\ -1)$となる．このとき，平面上の線分$\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime$と線分$\mathrm{R}^\prime \mathrm{S}^\prime$の交点$\mathrm{M}^\prime$を求めよ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$上の点$\mathrm{M}_1$と線分$\mathrm{RS}$上の点$\mathrm{M}_2$を，$\mathrm{M}_1$の$x,\ y$座標が$\mathrm{M}_2$の$x,\ y$座標とそれぞれ等しくなる点とする．$2$点$\mathrm{M}_1$，$\mathrm{M}_2$間の距離を求めよ．
(4)空間内の点$\mathrm{X}$が，点$\mathrm{Q}$を出発して点$\mathrm{P}$まで，$\mathrm{Q} \to \mathrm{R} \to \mathrm{S} \to \mathrm{P}$の順に折れ線上を動く．点$\mathrm{X}$から直線$\mathrm{PQ}$上に垂線を引き，その交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$が$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と同じ向きに動いた距離の総和と，逆の向きに動いた距離の総和を，それぞれ求めよ．
国立 徳島大学 2013年 第2問$5$種類の文字$\mathrm{N},\ \mathrm{E},\ \mathrm{S},\ \mathrm{W},\ \mathrm{X}$を重複を許して横一列に$6$個並べた順列を考える．原点から出発して座標平面上を動くことができる点$\mathrm{P}$がある．それぞれの順列に対し，順列の文字を左端から$1$つずつ見てゆき，次の規則に従って点$\mathrm{P}$を動かし点$\mathrm{P}$の最終的な位置を決める．$\mathrm{X}$以外の各文字に対して，点$\mathrm{P}$を次の方向に$1$だけ動かす．
$\mathrm{N}$は$y$軸の正の方向 \quad $\mathrm{E}$は$x$軸の正の方向 \quad $\mathrm{S}$は$y$軸の負の方向 \quad $\mathrm{W}$は$x$軸の負の方向
$\mathrm{X}$に対しては点$\mathrm{P}$は動かさない．例えば，順列$\mathrm{NESNXN}$に対する点$\mathrm{P}$の最終的な位置は$(1,\ 2)$となる．
(1)$x+y=6$を満たす$(x,\ y)$が点$\mathrm{P}$の最終的な位置となる順列の総数を求めよ．
(2)$|x+y|=4$を満たす$(x,\ y)$が点$\mathrm{P}$の最終的な位置となる順列の総数を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$の最終的な位置が原点である順列の総数を求めよ．
$\mathrm{N}$は$y$軸の正の方向 \quad $\mathrm{E}$は$x$軸の正の方向 \quad $\mathrm{S}$は$y$軸の負の方向 \quad $\mathrm{W}$は$x$軸の負の方向
$\mathrm{X}$に対しては点$\mathrm{P}$は動かさない．例えば，順列$\mathrm{NESNXN}$に対する点$\mathrm{P}$の最終的な位置は$(1,\ 2)$となる．
(1)$x+y=6$を満たす$(x,\ y)$が点$\mathrm{P}$の最終的な位置となる順列の総数を求めよ．
(2)$|x+y|=4$を満たす$(x,\ y)$が点$\mathrm{P}$の最終的な位置となる順列の総数を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$の最終的な位置が原点である順列の総数を求めよ．
国立 徳島大学 2013年 第4問$f(x)=e^{-x}$とする．実数$t$に対し，原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の点$\mathrm{A}(t,\ f(t))$，点$\mathrm{B}(t-\log 2,\ f(t-\log 2))$を考える．
(1)$t \geqq 0$のとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$の最大値を求めよ．
(2)$k$を自然数とし，$t=k \log 2$であるときの三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$S_k$とする．自然数$n$に対して，$\displaystyle \sum_{k=1}^n S_k$を求めよ．
(1)$t \geqq 0$のとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$の最大値を求めよ．
(2)$k$を自然数とし，$t=k \log 2$であるときの三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$S_k$とする．自然数$n$に対して，$\displaystyle \sum_{k=1}^n S_k$を求めよ．
国立 高知大学 2013年 第1問座標平面において，点$(0,\ 5)$を通り，直線$y=x$と点$(a,\ a)$で接する円$C$について，次の問いに答えよ．
(1)点$(0,\ 5)$と直線$y=x$と点$(a,\ a)$がかかれているとき，コンパスと目盛りのない定規を用いて，円$C$を作図する手順を説明せよ．
(2)円$C$の方程式を求めよ．
(3)円$C$の中心の座標を$(s,\ t)$とするとき，$\displaystyle x=\frac{\sqrt{2}}{2}(s+t)$，$\displaystyle y=\frac{\sqrt{2}}{2}(-s+t)$とおく．このとき，$a$の値が変化するときの点$(x,\ y)$の軌跡を座標平面に図示せよ．
(1)点$(0,\ 5)$と直線$y=x$と点$(a,\ a)$がかかれているとき，コンパスと目盛りのない定規を用いて，円$C$を作図する手順を説明せよ．
(2)円$C$の方程式を求めよ．
(3)円$C$の中心の座標を$(s,\ t)$とするとき，$\displaystyle x=\frac{\sqrt{2}}{2}(s+t)$，$\displaystyle y=\frac{\sqrt{2}}{2}(-s+t)$とおく．このとき，$a$の値が変化するときの点$(x,\ y)$の軌跡を座標平面に図示せよ．
国立 高知大学 2013年 第1問$3$次関数$f(x)=x^3-6x+3$について，次の問いに答えよ．
(1)$y=f(x)$の増減表を作り，$y$が極大，極小となるグラフ上の点をそれぞれ，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とするとき，それらの点の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{AB}$の中点$\mathrm{C}$の座標を求め，$\mathrm{C}$が$y=f(x)$のグラフの上にあることを示せ．
(3)$y=f(x)$のグラフは，$(2)$で求めた点$\mathrm{C}$に関して点対称であることを示せ．
(4)$(2)$で求めた点$\mathrm{C}$を通り傾きが$2$の直線と$y=f(x)$のグラフで囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$y=f(x)$の増減表を作り，$y$が極大，極小となるグラフ上の点をそれぞれ，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とするとき，それらの点の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{AB}$の中点$\mathrm{C}$の座標を求め，$\mathrm{C}$が$y=f(x)$のグラフの上にあることを示せ．
(3)$y=f(x)$のグラフは，$(2)$で求めた点$\mathrm{C}$に関して点対称であることを示せ．
(4)$(2)$で求めた点$\mathrm{C}$を通り傾きが$2$の直線と$y=f(x)$のグラフで囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 高知大学 2013年 第3問円$x^2+y^2+4x+2 \sqrt{2}y+3=0$について，次の問いに答えよ．
(1)この円の中心と半径をそれぞれ求めよ．
(2)この円上の点$(x,\ y)$において，$x+y$のとる値の最大値と最小値を求めよ．
(3)この円上の点で座標がともに有理数となる点をすべて求めよ．
(1)この円の中心と半径をそれぞれ求めよ．
(2)この円上の点$(x,\ y)$において，$x+y$のとる値の最大値と最小値を求めよ．
(3)この円上の点で座標がともに有理数となる点をすべて求めよ．
国立 高知大学 2013年 第2問座標平面において，点$\mathrm{P}_0$を原点として，点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\cdots$を \\
下図のようにとっていく（点線は$x$軸と平行）．ただし， \\
$\displaystyle \mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n=\frac{1}{2^{n-1}} \ (n \geqq 1),\ 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．このとき， \\
次の問いに答えよ．
\img{674_2898_2013_1}{25}
(1)$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1+\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2+\cdots +\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n+\cdots$を求めよ．
(2)$\mathrm{P}_n$の座標を$n$と$\theta$を用いて表せ．
(3)$n$を限りなく大きくするとき，点$\mathrm{P}_n$はどのような点に近づくか，その点の座標を求めよ．
下図のようにとっていく（点線は$x$軸と平行）．ただし， \\
$\displaystyle \mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n=\frac{1}{2^{n-1}} \ (n \geqq 1),\ 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．このとき， \\
次の問いに答えよ．
\img{674_2898_2013_1}{25}
(1)$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1+\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2+\cdots +\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n+\cdots$を求めよ．
(2)$\mathrm{P}_n$の座標を$n$と$\theta$を用いて表せ．
(3)$n$を限りなく大きくするとき，点$\mathrm{P}_n$はどのような点に近づくか，その点の座標を求めよ．
国立 徳島大学 2013年 第3問$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，点$\mathrm{A}(-4,\ 8,\ 2)$を通りベクトル$\overrightarrow{u}=(3,\ 0,\ 1)$に平行な直線を$\ell$とする．また，点$\mathrm{B}(10,\ 3,\ -4)$を通りベクトル$\overrightarrow{v}=(-1,\ 3,\ 0)$に平行な直線を$m$とする．$\mathrm{P}$を$\ell$上の点とし，$\mathrm{Q}$を$m$上の点とする．このとき，実数$s,\ t$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s \overrightarrow{u}$，$\overrightarrow{\mathrm{BQ}}=t \overrightarrow{v}$と表すことができる．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の成分を$s,\ t$を用いて表せ．
(2)$2$直線$\ell$と$m$は共有点をもたないことを証明せよ．
(3)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$がベクトル$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$の両方に垂直となるとき，点$\mathrm{P}$および点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の成分を$s,\ t$を用いて表せ．
(2)$2$直線$\ell$と$m$は共有点をもたないことを証明せよ．
(3)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$がベクトル$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$の両方に垂直となるとき，点$\mathrm{P}$および点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
国立 香川大学 2013年 第3問座標平面上の点$(x,\ y)$は，$x,\ y$がともに整数のとき格子点 \\
という．原点$(0,\ 0)$に番号$1$をふり，以下$(1,\ 0)$に番号$2$， \\
$(1,\ 1)$に番号$3$と，各格子点に図のように反時計まわりに番 \\
号をふっていく．このとき，次の問に答えよ．
\img{665_2850_2013_1}{30}
(1)$n$が自然数のとき，格子点$(n,\ -n)$にふられる番号を$n$の \\
式で表せ．
(2)$n$が自然数のとき，格子点$(n+1,\ n+1)$にふられる番号を$n$の式で表せ．
(3)番号$1000$がふられる格子点の座標を求めよ．
という．原点$(0,\ 0)$に番号$1$をふり，以下$(1,\ 0)$に番号$2$， \\
$(1,\ 1)$に番号$3$と，各格子点に図のように反時計まわりに番 \\
号をふっていく．このとき，次の問に答えよ．
\img{665_2850_2013_1}{30}
(1)$n$が自然数のとき，格子点$(n,\ -n)$にふられる番号を$n$の \\
式で表せ．
(2)$n$が自然数のとき，格子点$(n+1,\ n+1)$にふられる番号を$n$の式で表せ．
(3)番号$1000$がふられる格子点の座標を求めよ．