「座標空間」について
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私立 甲南大学 2014年 第2問座標空間に原点$\mathrm{O}$，点$\mathrm{A}(5,\ 1,\ 0)$，点$\mathrm{B}(2,\ 3,\ 0)$があり，線分$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り$z$軸に平行な直線をとる．その直線上において$z$座標が正となる点$\mathrm{Q}$をとる．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AQ}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BQ}}$となるような点$\mathrm{Q}$を求めよ．
(3)$(2)$で求めた点$\mathrm{Q}$に対して，四面体$\mathrm{OABQ}$の体積を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り$z$軸に平行な直線をとる．その直線上において$z$座標が正となる点$\mathrm{Q}$をとる．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AQ}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BQ}}$となるような点$\mathrm{Q}$を求めよ．
(3)$(2)$で求めた点$\mathrm{Q}$に対して，四面体$\mathrm{OABQ}$の体積を求めよ．
私立 甲南大学 2014年 第2問座標空間に原点$\mathrm{O}$，点$\mathrm{A}(5,\ 1,\ 0)$，点$\mathrm{B}(2,\ 3,\ 0)$があり，線分$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り$z$軸に平行な直線をとる．その直線上において$z$座標が正となる点$\mathrm{Q}$をとる．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AQ}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BQ}}$となるような点$\mathrm{Q}$を求めよ．
(3)$(2)$で求めた点$\mathrm{Q}$に対して，四面体$\mathrm{OABQ}$の体積を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り$z$軸に平行な直線をとる．その直線上において$z$座標が正となる点$\mathrm{Q}$をとる．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AQ}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BQ}}$となるような点$\mathrm{Q}$を求めよ．
(3)$(2)$で求めた点$\mathrm{Q}$に対して，四面体$\mathrm{OABQ}$の体積を求めよ．
私立 南山大学 2014年 第2問$a>0$，$b>0$，$c>0$とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}(a,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ b,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ c)$をとり，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．
(1)$\mathrm{G}$の座標を$a,\ b,\ c$で表せ．
(2)$\mathrm{G}$を通り，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$と垂直な平面を$\alpha$とし，$\alpha$と$x$軸，$y$軸，$z$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標を$a,\ b,\ c$で表せ．
(3)$(2)$の$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$について，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$のなす角を$\theta$とする．$\cos \theta$を$a,\ b,\ c$で表せ．
(1)$\mathrm{G}$の座標を$a,\ b,\ c$で表せ．
(2)$\mathrm{G}$を通り，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$と垂直な平面を$\alpha$とし，$\alpha$と$x$軸，$y$軸，$z$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標を$a,\ b,\ c$で表せ．
(3)$(2)$の$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$について，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$のなす角を$\theta$とする．$\cos \theta$を$a,\ b,\ c$で表せ．
私立 早稲田大学 2014年 第3問$a,\ b,\ c$は整数，$n$は$0$以上の整数とする．座標空間において，次の条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$を満たす点$(a,\ b,\ c)$の個数を$S(n)$とする．
$(ⅰ)$ $a+b+c=0$
$(ⅱ)$ $|a|+|b|+|c| \leqq n$
次の設問に答えよ．
(1)$S(2)$を求めよ．
(2)$S(2n)$を求めよ．
$(ⅰ)$ $a+b+c=0$
$(ⅱ)$ $|a|+|b|+|c| \leqq n$
次の設問に答えよ．
(1)$S(2)$を求めよ．
(2)$S(2n)$を求めよ．
私立 同志社大学 2014年 第2問座標空間において原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$と，$3$点$\mathrm{A}(a,\ a,\ b)$，$\mathrm{B}(a,\ b,\ a)$，$\mathrm{C}(b,\ a,\ a)$ $(b>a \geqq 0)$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$を考える．次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$が正四面体となる条件を，$a$と$b$を用いて表せ．
(4)$a,\ b$がともに自然数のとき，$(3)$の条件を満たす$b$の最小値と，そのときの$a$の値をそれぞれ求めよ．また，そのときの$S$と$V$を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$が正四面体となる条件を，$a$と$b$を用いて表せ．
(4)$a,\ b$がともに自然数のとき，$(3)$の条件を満たす$b$の最小値と，そのときの$a$の値をそれぞれ求めよ．また，そのときの$S$と$V$を求めよ．
私立 同志社大学 2014年 第2問座標空間内の球面$x^2+y^2+z^2=9$上に$3$点$\mathrm{A}(3,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{C}(1,\ -2,\ 2)$をとる．次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面に，原点$\mathrm{O}$から下ろした垂線の足$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(3)球面上を動く点$\mathrm{P}$を頂点とする四面体$\mathrm{PABC}$を考え，その体積を$V$とする．$V$の最大値と，そのときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面に，原点$\mathrm{O}$から下ろした垂線の足$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(3)球面上を動く点$\mathrm{P}$を頂点とする四面体$\mathrm{PABC}$を考え，その体積を$V$とする．$V$の最大値と，そのときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
私立 東京女子大学 2014年 第7問座標空間内の$2$点$\mathrm{A}(1,\ -2,\ -1)$，$\mathrm{B}(-5,\ -4,\ 3)$を通る直線を$\ell$とおく．以下の設問に答えよ．
(1)$\ell$は点$\mathrm{C}(-2,\ -3,\ 1)$を通ることを示せ．
(2)$\mathrm{O}$を原点として$\mathrm{C}$とは異なる$\ell$上の点$\mathrm{D}$が$\mathrm{OD}=\mathrm{OC}$をみたすとき，$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
(1)$\ell$は点$\mathrm{C}(-2,\ -3,\ 1)$を通ることを示せ．
(2)$\mathrm{O}$を原点として$\mathrm{C}$とは異なる$\ell$上の点$\mathrm{D}$が$\mathrm{OD}=\mathrm{OC}$をみたすとき，$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
私立 上智大学 2014年 第2問座標空間の原点$\mathrm{O}$を通りベクトル$(1,\ \sqrt{3},\ 2 \sqrt{3})$に平行な直線を$\ell$とし，点$\mathrm{A}$の座標を$(\sqrt{3}+3,\ 3 \sqrt{3}+3,\ 6-2 \sqrt{3})$とする．このとき，$\mathrm{O}$を頂点とする円錐$C$は，底面の中心$\mathrm{H}$が$\ell$上にあり，底面の円周が$\mathrm{A}$を通るとする．
(1)$\displaystyle \angle \mathrm{AOH}=\frac{[コ]}{[サ]}\pi$である．ただし，$0 \leqq \angle \mathrm{AOH}<\pi$とする．
(2)$\mathrm{H}$の座標は
\[ \left( \sqrt{[シ]},\ [ス],\ [セ] \right) \]
である．
(3)点$(\sqrt{3},\ y,\ z)$が$C$の底面上（境界を含む）にあるとき，常に
\[ y+[ソ]z+[タ]=0 \]
が成り立つ．
(4)点$(\sqrt{3},\ y,\ z)$が$C$の側面上（境界を含む）にあるとき，常に
\[ [チ]y^2+[ツ]yz+[テ]z^2+[ト]y+[ナ]z+21=0 \]
が成り立つ．また，このときの$z$の最大値は
\[ [ニ]+\frac{[ヌ]}{[ネ]} \sqrt{[ノ]} \]
である．
(1)$\displaystyle \angle \mathrm{AOH}=\frac{[コ]}{[サ]}\pi$である．ただし，$0 \leqq \angle \mathrm{AOH}<\pi$とする．
(2)$\mathrm{H}$の座標は
\[ \left( \sqrt{[シ]},\ [ス],\ [セ] \right) \]
である．
(3)点$(\sqrt{3},\ y,\ z)$が$C$の底面上（境界を含む）にあるとき，常に
\[ y+[ソ]z+[タ]=0 \]
が成り立つ．
(4)点$(\sqrt{3},\ y,\ z)$が$C$の側面上（境界を含む）にあるとき，常に
\[ [チ]y^2+[ツ]yz+[テ]z^2+[ト]y+[ナ]z+21=0 \]
が成り立つ．また，このときの$z$の最大値は
\[ [ニ]+\frac{[ヌ]}{[ネ]} \sqrt{[ノ]} \]
である．
公立 大阪市立大学 2014年 第2問座標空間内に$4$点$\mathrm{A}(0,\ -1,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{C}(0,\ t,\ -1)$，$\mathrm{D}(u,\ 2,\ 1)$がある．ただし，$t,\ u$は実数であり，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$は垂直であるとする．次の問いに答えよ．
(1)$t$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の両方に垂直で大きさが$1$のベクトル$\overrightarrow{n}=(p,\ q,\ r)$のうち$p>0$となるものを求めよ．
(3)$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が同一平面に含まれるならば$u=4$であることを示せ．
(4)$u=3$のとき四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．
(1)$t$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の両方に垂直で大きさが$1$のベクトル$\overrightarrow{n}=(p,\ q,\ r)$のうち$p>0$となるものを求めよ．
(3)$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が同一平面に含まれるならば$u=4$であることを示せ．
(4)$u=3$のとき四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．
公立 大阪市立大学 2014年 第4問座標空間内に$4$点$\mathrm{A}(0,\ -1,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ t,\ 1-t)$，$\mathrm{C}(0,\ s,\ -1)$，$\mathrm{D}(3,\ 2,\ 1)$がある．ただし，$t$と$s$は実数で$t>-1$をみたし，また$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$は垂直であるとする．次の問いに答えよ．
(1)$s$を$t$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の両方に垂直で大きさが$1$のベクトル$\overrightarrow{n}=(p,\ q,\ r)$のうち$p>0$となるものを$t$を用いて表せ．
(3)$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が同一平面に含まれるための必要十分条件は，$\displaystyle t=-\frac{1}{3}$または$t=1$であることを証明せよ．
(1)$s$を$t$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の両方に垂直で大きさが$1$のベクトル$\overrightarrow{n}=(p,\ q,\ r)$のうち$p>0$となるものを$t$を用いて表せ．
(3)$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が同一平面に含まれるための必要十分条件は，$\displaystyle t=-\frac{1}{3}$または$t=1$であることを証明せよ．