座標空間における次の$3$つの直線$\ell$，$m$，$n$を考える：

$\ell$は点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ -2)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{u}=(2,\ 1,\ -1)$に平行な直線である．
$m$は点$\mathrm{B}(1,\ 2,\ -3)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{v}=(1,\ -1,\ 1)$に平行な直線である．
$n$は点$\mathrm{C}(1,\ -1,\ 0)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{w}=(1,\ 2,\ 1)$に平行な直線である．

$\mathrm{P}$を$\ell$上の点として，$\mathrm{P}$から$m$，$n$へ下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．このとき，$\mathrm{PQ}^2+\mathrm{PR}^2$を最小にするような$\mathrm{P}$と，そのときの$\mathrm{PQ}^2+\mathrm{PR}^2$を求めよ．

$a$を実数とする．このとき，座標空間内の球面$S:x^2+y^2+z^2=1$と直線$\ell:(x,\ y,\ z)=(2,\ -1,\ 0)+t(-1,\ a,\ a)$について，次の問いに答えよ．

(1)$S$と$\ell$が異なる$2$点で交わるような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$a$の値が$(1)$で求めた範囲にあるとき，$S$と$\ell$の$2$つの交点の間の距離$d$を$a$を用いて表せ．
(3)$(2)$の$d$が最大となるような実数$a$の値とそのときの$d$を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間の$2$点$\mathrm{P}(\cos t,\ \sin t,\ 0)$，$\mathrm{Q}(\cos 2t,\ \sin 2t,\ \cos t)$について，次の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq t \leqq 2\pi$とする．

(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$は平行でないことを示せ．
(2)三角形$\mathrm{OPQ}$の面積$S(t)$は$t$の値に関係なく一定であることを示せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角$\theta(t)$のとる値の範囲を求めよ．

座標空間に立方体$K$があり，原点$\mathrm{O}$と$3$点$\mathrm{A}(a,\ b,\ 0)$，$\mathrm{B}(r,\ s,\ t)$，$\mathrm{C}(3,\ 0,\ 0)$が次の条件をみたしている．

(i) $\mathrm{OA}$，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$は立方体$K$の辺である．
(ii) $\mathrm{OC}$は立方体$K$の辺ではない．
(iii) $b>0,\ t>0$

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)立方体$K$の一辺の長さ$l$を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(4)辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}(x,\ 0,\ 0)$とする．$\mathrm{PH}$の長さを$x$を用いて表せ．
(5)立方体$K$を$x$軸を回転軸として$1$回転させて得られる回転体の体積$V$を求めよ．

座標空間内の$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$に対して線分$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{AB}$を$q:(1-q)$の比に内分する点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{BC}$を$r:(1-r)$の比に内分する点を$\mathrm{R}$，線分$\mathrm{CO}$を$s:(1-s)$の比に内分する点を$\mathrm{S}$とする．ただし，$0<q<1$，$0<r<1$，$0<s<1$である．$4$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$が同一平面上にあるとき，$s$を$q,\ r$を用いて表せ．

$0$でない実数$t$に対して，座標空間における$3$点$\mathrm{P}(t,\ 0,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{Q} \left( t,\ \frac{1}{1+t^2},\ 0 \right)$，$\displaystyle \mathrm{R} \left( t,\ 0,\ \frac{t}{1+t^2} \right)$を考える．以下の各問に答えよ．

(1)三角形$\mathrm{PQR}$の面積を$S(t)$とする．実数$t$が$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，$S(t)$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．
(2)実数$t$が$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{PQR}$が通過してできる立体の体積$V$を求めよ．

座標空間内の定点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$と$2$つの点$\mathrm{P}(p,\ p,\ 0)$，$\mathrm{Q}(q,\ -q,\ 0)$が$\displaystyle \angle \mathrm{PAQ}=\frac{\pi}{3}$をみたしている．ただし，$p>0$，$q>0$とする．また，以下において$\mathrm{O}$を座標空間の原点とする．このとき次の問に答えよ．

(1)三角形$\mathrm{APQ}$の面積は$p$と$q$の値によらず一定であることを示し，その面積を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{OAPQ}$の体積が最大のとき，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標とこの四面体に内接する球の半径を求めよ．

$r,\ s$は実数で，$r>0$とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$4$点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{D}(r,\ r,\ r)$がある．さらに，点$\mathrm{E}$を，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$が
\[ \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}) \]
で定まる点とする．次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る球面の中心を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{DE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$が成り立つとき，$s$を$r$の式で表せ．
(3)$(2)$の条件$\overrightarrow{\mathrm{DE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$を満たし，さらに$|\overrightarrow{\mathrm{DE}}|=r$，$\overrightarrow{\mathrm{DB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}<0$を満たすような$r$の値を求めよ．

座標空間の原点を$\mathrm{O}$とし，座標空間内に$4$点$\mathrm{A}(1,\ 3,\ 3)$，$\mathrm{B}(1,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{C}(2,\ 3,\ 2)$，$\mathrm{P}(t,\ t,\ t)$をとる．ただし$t$は実数である．以下の問いに答えなさい．

(1)$t \neq 0$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が直交するような$t$の値を求めなさい．
(2)$\mathrm{AP}^2+\mathrm{BP}^2+\mathrm{CP}^2$が最小となるような$t$の値を求めなさい．
(3)$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{P}$が$1$つの平面に含まれるような$t$の値を求めなさい．

座標空間内の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 3)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$と原点$\mathrm{O}$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$について考える．

四面体$\mathrm{OABC}$を平面$z=t (0<t<3)$で切ったときの切り口の面積を$f(t)$とする．$0<t \leqq 1$のとき$f(t)=[ソ]$である．また，$1<t<3$のとき平面$z=t$と辺$\mathrm{AB}$の交点の座標は$[タ]$となり，$f(t)=[チ]$となる．
次に，四面体$\mathrm{OABC}$において，$2$つの平面$z=t$と$z=t+2 (0<t<1)$の間にはさまれた部分の体積を$g(t)$とすると，その導関数は$g^\prime(t)=[ツ]$であり，$g(t)$は$t=[テ]$のとき最大値をとる．