「座標空間」について
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私立 東京医科大学 2015年 第3問座標空間における$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 2)$に対して，点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$が条件
\[ \mathrm{AP}=\mathrm{BP}=\mathrm{CP} \]
をみたしながら動くとする．このとき，$\mathrm{AP}^2$のとり得る最小値を$m$とすれば
\[ m=\frac{[アイ]}{[ウエ]} \]
である．
\[ \mathrm{AP}=\mathrm{BP}=\mathrm{CP} \]
をみたしながら動くとする．このとき，$\mathrm{AP}^2$のとり得る最小値を$m$とすれば
\[ m=\frac{[アイ]}{[ウエ]} \]
である．
公立 首都大学東京 2015年 第2問座標空間に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(0,\ 2,\ 2)$，$\mathrm{B}(3,\ -1,\ 2)$がある．三角形$\mathrm{OAB}$の周上または内部の点$\mathrm{P}$は$\mathrm{AP}=\sqrt{2}$，$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AP}}$を満たしているとする．このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．
(2)三角形$\mathrm{OBP}$の面積を求めなさい．
(3)点$\mathrm{Q}$が点$\mathrm{A}$を中心とする半径$\sqrt{2}$の球面上を動くとき，点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OQ}$に引いた垂線の長さの最小値を求めなさい．
(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．
(2)三角形$\mathrm{OBP}$の面積を求めなさい．
(3)点$\mathrm{Q}$が点$\mathrm{A}$を中心とする半径$\sqrt{2}$の球面上を動くとき，点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OQ}$に引いた垂線の長さの最小値を求めなさい．
公立 大阪市立大学 2015年 第2問$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において四面体$\mathrm{OABC}$を考える．$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{O}^\prime$，$\triangle \mathrm{OBC}$の重心を$\mathrm{A}^\prime$，$\triangle \mathrm{OCA}$の重心を$\mathrm{B}^\prime$，$\triangle \mathrm{OAB}$の重心を$\mathrm{C}^\prime$とする．次の問いに答えよ．
(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{O}^\prime \mathrm{A}^\prime}$は平行であることを示せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$と$|\overrightarrow{\mathrm{O}^\prime \mathrm{A}^\prime}|$の比を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$と$\triangle \mathrm{O}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$は相似であることを示せ．
(4)$\mathrm{A}$が$\mathrm{P}(1,\ 0,\ 0)$と$\mathrm{Q}(0,\ 2,\ 0)$を結ぶ線分の中点，$\mathrm{B}$が$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}(0,\ 0,\ 3)$を結ぶ線分の中点，$\mathrm{C}$が$\mathrm{R}$と$\mathrm{P}$を結ぶ線分の中点であるとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$と四面体$\mathrm{O}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}^\prime$の体積$V^\prime$を求めよ．
(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{O}^\prime \mathrm{A}^\prime}$は平行であることを示せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$と$|\overrightarrow{\mathrm{O}^\prime \mathrm{A}^\prime}|$の比を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$と$\triangle \mathrm{O}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$は相似であることを示せ．
(4)$\mathrm{A}$が$\mathrm{P}(1,\ 0,\ 0)$と$\mathrm{Q}(0,\ 2,\ 0)$を結ぶ線分の中点，$\mathrm{B}$が$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}(0,\ 0,\ 3)$を結ぶ線分の中点，$\mathrm{C}$が$\mathrm{R}$と$\mathrm{P}$を結ぶ線分の中点であるとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$と四面体$\mathrm{O}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}^\prime$の体積$V^\prime$を求めよ．
公立 大阪市立大学 2015年 第4問$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内に点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ 1)$が与えられている．線分$\mathrm{OC}$を$1$つの対角線とし，線分$\mathrm{AB}$を一辺とする立方体を直線$\mathrm{OC}$の周りに回転して得られる回転体$K$の体積を求めたい．次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P}(0,\ 0,\ p) (0<p \leqq 1)$から直線$\mathrm{OC}$へ垂線を引いたときの交点$\mathrm{H}$の座標と線分$\mathrm{PH}$の長さを求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}(q,\ 0,\ 1) (0 \leqq q \leqq 1)$から直線$\mathrm{OC}$へ垂線を引いたときの交点$\mathrm{I}$の座標と線分$\mathrm{QI}$の長さを求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{C}$方向へ線分$\mathrm{OC}$上を距離$u (0 \leqq u \leqq \sqrt{3})$だけ進んだ点を$\mathrm{U}$とする．点$\mathrm{U}$を通り直線$\mathrm{OC}$に垂直な平面で$K$を切ったときの切り口の円の半径$r$を$u$の関数として表せ．
(4)$K$の体積を求めよ．
(1)点$\mathrm{P}(0,\ 0,\ p) (0<p \leqq 1)$から直線$\mathrm{OC}$へ垂線を引いたときの交点$\mathrm{H}$の座標と線分$\mathrm{PH}$の長さを求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}(q,\ 0,\ 1) (0 \leqq q \leqq 1)$から直線$\mathrm{OC}$へ垂線を引いたときの交点$\mathrm{I}$の座標と線分$\mathrm{QI}$の長さを求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{C}$方向へ線分$\mathrm{OC}$上を距離$u (0 \leqq u \leqq \sqrt{3})$だけ進んだ点を$\mathrm{U}$とする．点$\mathrm{U}$を通り直線$\mathrm{OC}$に垂直な平面で$K$を切ったときの切り口の円の半径$r$を$u$の関数として表せ．
(4)$K$の体積を求めよ．
公立 愛知県立大学 2015年 第3問座標空間において，$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ 1)$の定める平面を$\alpha$とし，$3$点$(0,\ 0,\ 0)$，$(0,\ 1,\ 1)$，$(1,\ 0,\ 1)$の定める平面を$\beta$とする．また，平面$\alpha$と平面$\beta$が交わってできる直線を$\ell$とし，平面$\alpha$上の点$\mathrm{P}$の座標を$(2,\ -1,\ 3)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$上の点を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と実数$k$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$から直線$\ell$に垂線を下ろす．このとき，直線$\ell$と垂線との交点の座標を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$上の点を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と実数$k$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$から直線$\ell$に垂線を下ろす．このとき，直線$\ell$と垂線との交点の座標を求めよ．
公立 県立広島大学 2015年 第3問$s,\ t$を実数とし，原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に定点$\mathrm{A}(0,\ 2,\ 0)$と動点$\mathrm{P}(s,\ s+2,\ t)$がある．$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$は，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と垂直であるか$\overrightarrow{\mathrm{0}}$である．次の問いに答えよ．
(1)$t^2$を$s$を用いて表せ．
(2)$y$軸上の定点$\mathrm{B}(0,\ k,\ 0)$に対して，動点$\mathrm{P}$が変化しても$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$が常に一定となる定数$k$の値を求めよ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$のとる値の範囲を求めよ．
(1)$t^2$を$s$を用いて表せ．
(2)$y$軸上の定点$\mathrm{B}(0,\ k,\ 0)$に対して，動点$\mathrm{P}$が変化しても$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$が常に一定となる定数$k$の値を求めよ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$のとる値の範囲を求めよ．
公立 会津大学 2015年 第3問座標空間の$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(-1,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(-1,\ 1,\ -1)$を頂点とする四面体がある．辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$上の点$\mathrm{Q}$が，
\[ \mathrm{AP}:\mathrm{PB}=\mathrm{CQ}:\mathrm{QA}=t:(1-t),\quad 0 \leqq t \leqq 1 \]
をみたすとき，以下の空欄をうめよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$t$を用いて表すと
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=[イ] \]
である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$は，$t=[ロ]$のとき，最大値$[ハ]$をとる．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のとき，$t=[ニ]$である．
\[ \mathrm{AP}:\mathrm{PB}=\mathrm{CQ}:\mathrm{QA}=t:(1-t),\quad 0 \leqq t \leqq 1 \]
をみたすとき，以下の空欄をうめよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$t$を用いて表すと
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=[イ] \]
である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$は，$t=[ロ]$のとき，最大値$[ハ]$をとる．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のとき，$t=[ニ]$である．
国立 横浜国立大学 2014年 第3問$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に，$4$点
\[ \mathrm{A}(-2,\ 1,\ 3),\quad \mathrm{B}(s,\ 3,\ -1),\quad \mathrm{C}(1,\ 3,\ 4),\quad \mathrm{D}(t,\ 2t,\ 2t) \]
がある．ただし，$s,\ t$は実数で$t \neq 0$である．$\mathrm{A}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$に平行な直線と，$\mathrm{B}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$に平行な直線が点$\mathrm{P}$で交わるとする．次の問いに答えよ．
(1)$s$の値および$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
以下では$\triangle \mathrm{PAB} \text{∽} \triangle \mathrm{OCD}$を仮定する．
(2)$t$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{D}$から平面$\mathrm{PAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{DH}$とするとき，$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
\[ \mathrm{A}(-2,\ 1,\ 3),\quad \mathrm{B}(s,\ 3,\ -1),\quad \mathrm{C}(1,\ 3,\ 4),\quad \mathrm{D}(t,\ 2t,\ 2t) \]
がある．ただし，$s,\ t$は実数で$t \neq 0$である．$\mathrm{A}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$に平行な直線と，$\mathrm{B}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$に平行な直線が点$\mathrm{P}$で交わるとする．次の問いに答えよ．
(1)$s$の値および$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
以下では$\triangle \mathrm{PAB} \text{∽} \triangle \mathrm{OCD}$を仮定する．
(2)$t$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{D}$から平面$\mathrm{PAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{DH}$とするとき，$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
国立 横浜国立大学 2014年 第2問$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に，$4$点
\[ \mathrm{A}(-2,\ 1,\ 3),\quad \mathrm{B}(s,\ 3,\ -1),\quad \mathrm{C}(1,\ 3,\ 4),\quad \mathrm{D}(t,\ 2t,\ 2t) \]
がある．ただし，$s,\ t$は実数で$t \neq 0$である．$\mathrm{A}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$に平行な直線と，$\mathrm{B}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$に平行な直線が点$\mathrm{P}$で交わるとする．次の問いに答えよ．
(1)$s$の値および$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
以下では$\triangle \mathrm{PAB} \text{∽} \triangle \mathrm{OCD}$を仮定する．
(2)$t$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{D}$から平面$\mathrm{PAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{DH}$とするとき，$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
\[ \mathrm{A}(-2,\ 1,\ 3),\quad \mathrm{B}(s,\ 3,\ -1),\quad \mathrm{C}(1,\ 3,\ 4),\quad \mathrm{D}(t,\ 2t,\ 2t) \]
がある．ただし，$s,\ t$は実数で$t \neq 0$である．$\mathrm{A}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$に平行な直線と，$\mathrm{B}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$に平行な直線が点$\mathrm{P}$で交わるとする．次の問いに答えよ．
(1)$s$の値および$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
以下では$\triangle \mathrm{PAB} \text{∽} \triangle \mathrm{OCD}$を仮定する．
(2)$t$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{D}$から平面$\mathrm{PAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{DH}$とするとき，$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
国立 京都大学 2014年 第1問座標空間における次の$3$つの直線$\ell$，$m$，$n$を考える：
$\ell$は点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ -2)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{u}=(2,\ 1,\ -1)$に平行な直線である．
$m$は点$\mathrm{B}(1,\ 2,\ -3)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{v}=(1,\ -1,\ 1)$に平行な直線である．
$n$は点$\mathrm{C}(1,\ -1,\ 0)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{w}=(1,\ 2,\ 1)$に平行な直線である．
$\mathrm{P}$を$\ell$上の点として，$\mathrm{P}$から$m$，$n$へ下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．このとき，$\mathrm{PQ}^2+\mathrm{PR}^2$を最小にするような$\mathrm{P}$と，そのときの$\mathrm{PQ}^2+\mathrm{PR}^2$を求めよ．
$\ell$は点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ -2)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{u}=(2,\ 1,\ -1)$に平行な直線である．
$m$は点$\mathrm{B}(1,\ 2,\ -3)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{v}=(1,\ -1,\ 1)$に平行な直線である．
$n$は点$\mathrm{C}(1,\ -1,\ 0)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{w}=(1,\ 2,\ 1)$に平行な直線である．
$\mathrm{P}$を$\ell$上の点として，$\mathrm{P}$から$m$，$n$へ下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．このとき，$\mathrm{PQ}^2+\mathrm{PR}^2$を最小にするような$\mathrm{P}$と，そのときの$\mathrm{PQ}^2+\mathrm{PR}^2$を求めよ．