「座標空間」について
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国立 茨城大学 2016年 第2問$a,\ b$を実数として，座標空間内に$4$点$\mathrm{A}(3,\ 1,\ 3)$，$\mathrm{B}(2,\ 3,\ 2)$，$\mathrm{C}(3,\ 3,\ 1)$，$\mathrm{D}(2,\ a,\ b)$がある．ただし，$\mathrm{B}$と$\mathrm{D}$は異なる$2$点とする．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面を$T$とし，$T$上にあって$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る円を$U$とする．次の各問に答えよ．
(1)点$\mathrm{D}$が平面$T$上にあるとき，$a$と$b$の条件を求めて，$ab$平面上に図示せよ．
(2)点$\mathrm{D}$が円$U$の周上にあるとき，点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
(1)点$\mathrm{D}$が平面$T$上にあるとき，$a$と$b$の条件を求めて，$ab$平面上に図示せよ．
(2)点$\mathrm{D}$が円$U$の周上にあるとき，点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
国立 東京農工大学 2016年 第1問$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$4$点$\mathrm{A}(1,\ -2,\ -2)$，$\mathrm{B}(-1,\ -4,\ 0)$，$\mathrm{C}(2,\ 2,\ -4)$，$\mathrm{D}(2,\ 4,\ -4)$をとる．また，線分$\mathrm{AB}$を$t:(1+t)$に外分する点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{OB}$を$3:2$に外分する点を$\mathrm{Q}$とおく．ただし，$t$は正の実数とする．次の問いに答えよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の成分を$t$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$が垂直であるとき，$t$の値を求めよ．
(3)実数$r,\ s$について$\overrightarrow{\mathrm{DP}}=r \overrightarrow{\mathrm{DC}}+s \overrightarrow{\mathrm{DQ}}$が成り立つとする．このとき，$r,\ s,\ t$の値を求めよ．
(4)$t$が$(3)$で求めた値のとき，直線$\mathrm{DP}$と直線$\mathrm{CQ}$の交点の座標を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{CDP}$の面積を$S(t)$とする．$S(t)$の最小値を求めよ．また，そのときの$t$の値を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の成分を$t$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$が垂直であるとき，$t$の値を求めよ．
(3)実数$r,\ s$について$\overrightarrow{\mathrm{DP}}=r \overrightarrow{\mathrm{DC}}+s \overrightarrow{\mathrm{DQ}}$が成り立つとする．このとき，$r,\ s,\ t$の値を求めよ．
(4)$t$が$(3)$で求めた値のとき，直線$\mathrm{DP}$と直線$\mathrm{CQ}$の交点の座標を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{CDP}$の面積を$S(t)$とする．$S(t)$の最小値を求めよ．また，そのときの$t$の値を求めよ．
国立 琉球大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)整式$P(x)$は，$\displaystyle P \left( \frac{5}{3} \right)=\frac{8}{3}$と$\displaystyle P \left( -\frac{7}{2} \right)=-\frac{5}{2}$を満たす．$P(x)$を$6x^2+11x-35$で割った余りを求めよ．
(2)座標空間内の$3$点$\mathrm{A}(3,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 3,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ s,\ t)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$，原点を$\mathrm{O}$とする．$\mathrm{OG} \perp \mathrm{AG}$，$\mathrm{OG} \perp \mathrm{AB}$となるときの$s$と$t$の値を求めよ．
(3)変量$x$の値が$x_1,\ x_2,\ x_3$のとき，その平均値を$\overline{x}$とする．分散$s^2$を
\[ \frac{1}{3}\{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+(x_3-\overline{x})^2 \} \]
で定義するとき，$s^2=\overline{x^2}-(\overline{x})^2$となることを示せ．ただし$\overline{x^2}$は${x_1}^2,\ {x_2}^2,\ {x_3}^2$の平均値を表す．
(1)整式$P(x)$は，$\displaystyle P \left( \frac{5}{3} \right)=\frac{8}{3}$と$\displaystyle P \left( -\frac{7}{2} \right)=-\frac{5}{2}$を満たす．$P(x)$を$6x^2+11x-35$で割った余りを求めよ．
(2)座標空間内の$3$点$\mathrm{A}(3,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 3,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ s,\ t)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$，原点を$\mathrm{O}$とする．$\mathrm{OG} \perp \mathrm{AG}$，$\mathrm{OG} \perp \mathrm{AB}$となるときの$s$と$t$の値を求めよ．
(3)変量$x$の値が$x_1,\ x_2,\ x_3$のとき，その平均値を$\overline{x}$とする．分散$s^2$を
\[ \frac{1}{3}\{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+(x_3-\overline{x})^2 \} \]
で定義するとき，$s^2=\overline{x^2}-(\overline{x})^2$となることを示せ．ただし$\overline{x^2}$は${x_1}^2,\ {x_2}^2,\ {x_3}^2$の平均値を表す．
国立 電気通信大学 2016年 第3問座標空間に$3$点$\mathrm{A}(-1,\ -1,\ 2)$，$\mathrm{B}(1,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{C}(1,\ -1,\ -2)$をとる．線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，原点$\mathrm{O}$を中心として$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る球面を$S$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CM}}$をそれぞれ成分で表せ．
(2)$\angle \mathrm{AMC}$の大きさ$\theta$を$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(4)原点$\mathrm{O}$から三角形$\mathrm{ABC}$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．
(5)点$\mathrm{P}$が球面$S$上を動くとき，四面体$\mathrm{ABCP}$の体積の最大値を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CM}}$をそれぞれ成分で表せ．
(2)$\angle \mathrm{AMC}$の大きさ$\theta$を$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(4)原点$\mathrm{O}$から三角形$\mathrm{ABC}$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．
(5)点$\mathrm{P}$が球面$S$上を動くとき，四面体$\mathrm{ABCP}$の体積の最大値を求めよ．
私立 同志社大学 2016年 第3問座標空間内の$2$点$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 5)$，$\mathrm{B}(5,\ 6,\ 0)$を通る直線を$\ell$とする．点$\mathrm{P}(4,\ 8,\ 13)$および直線$\ell$上の$2$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を頂点とする$\triangle \mathrm{PQR}$が正三角形であるとする．次の問いに答えよ．
(1)直線$\ell$に，点$\mathrm{P}$から垂線を下ろし，直線$\ell$との交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(2)正三角形$\triangle \mathrm{PQR}$の一辺の長さを求めよ．
(3)四面体$\mathrm{PQRS}$が正四面体になるようなすべての点$\mathrm{S}$の座標を求めよ．
(1)直線$\ell$に，点$\mathrm{P}$から垂線を下ろし，直線$\ell$との交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(2)正三角形$\triangle \mathrm{PQR}$の一辺の長さを求めよ．
(3)四面体$\mathrm{PQRS}$が正四面体になるようなすべての点$\mathrm{S}$の座標を求めよ．
私立 南山大学 2016年 第3問$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$4$点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 4)$，$\mathrm{B}(0,\ 4,\ 0)$，$\mathrm{C}(3,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{D}(-1,\ 0,\ 1)$がある．
(1)$\angle \mathrm{BCD}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{BCD}$の面積$S$を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を通る球面の半径と中心の座標を求めよ．
(1)$\angle \mathrm{BCD}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{BCD}$の面積$S$を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を通る球面の半径と中心の座標を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2016年 第1問次の$[ ]$にあてはまる最も適当な数または式などを記入しなさい．
(1)座標空間内の点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(2,\ -1,\ -1)$，$\mathrm{C}(-1,\ -2,\ -4)$，$\mathrm{D}(3,\ 2,\ 6)$に対して，三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{M}$とし，三角形$\mathrm{ABD}$の重心を$\mathrm{N}$とする．このとき，点$\mathrm{M}$の座標は$[ア]$である．また，線分$\mathrm{MN}$を$4:3$に外分する点の座標は$[イ]$である．
(2)$\alpha=-1+2i$とする．$x=\alpha$が$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の解であるような実数の組$(a,\ b)$は$(a,\ b)=[ウ]$である．また$\alpha^5+2 \alpha^4+3 \alpha^3+4 \alpha^2+5 \alpha$の値は$[エ]$である．
(3)関数$f(x)$が$\displaystyle f(x)=2x^2+3x+\int_0^{\frac{1}{2}} f(t) \, dt$を満たすとき，$f(x)=[オ]$である．
(4)$3$個のさいころを同時に投げるとき，以下の確率を求めなさい．
(i) 出る目の最大値が$4$以下である確率は$[カ]$である．
(ii) 出る目の最大値が$4$である確率は$[キ]$である．
(iii) 出る目の最大値が$4$であるとき，少なくとも$1$個のさいころの目が$1$である確率は$[ク]$である．
(1)座標空間内の点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(2,\ -1,\ -1)$，$\mathrm{C}(-1,\ -2,\ -4)$，$\mathrm{D}(3,\ 2,\ 6)$に対して，三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{M}$とし，三角形$\mathrm{ABD}$の重心を$\mathrm{N}$とする．このとき，点$\mathrm{M}$の座標は$[ア]$である．また，線分$\mathrm{MN}$を$4:3$に外分する点の座標は$[イ]$である．
(2)$\alpha=-1+2i$とする．$x=\alpha$が$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の解であるような実数の組$(a,\ b)$は$(a,\ b)=[ウ]$である．また$\alpha^5+2 \alpha^4+3 \alpha^3+4 \alpha^2+5 \alpha$の値は$[エ]$である．
(3)関数$f(x)$が$\displaystyle f(x)=2x^2+3x+\int_0^{\frac{1}{2}} f(t) \, dt$を満たすとき，$f(x)=[オ]$である．
(4)$3$個のさいころを同時に投げるとき，以下の確率を求めなさい．
(i) 出る目の最大値が$4$以下である確率は$[カ]$である．
(ii) 出る目の最大値が$4$である確率は$[キ]$である．
(iii) 出る目の最大値が$4$であるとき，少なくとも$1$個のさいころの目が$1$である確率は$[ク]$である．
私立 早稲田大学 2016年 第2問座標空間において，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}(0,\ 0,\ 2)$を直径の両端とする球面を$\mathrm{S}$とする．また$xy$平面上に放物線$\mathrm{C}:y=x^2-2$を描き，$\mathrm{C}$上に点$\mathrm{R}$をとる．線分$\mathrm{PR}$と球面$\mathrm{S}$の交点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{Q}$から$xy$平面に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．このとき，以下の問に答えよ．
(1)原点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{R}$までの距離を$r$とするとき，線分$\mathrm{QR}$の長さを$r$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{QH}$の長さを$h$，点$\mathrm{R}$の座標を$(x,\ y,\ 0)$とするとき，$h \geqq 1$である場合に$x$がとる値の範囲を求めよ．
(3)点$\mathrm{R}$が放物線$\mathrm{C}$上のすべての点を動くとき，$h$を最小にする$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
（図は省略）
(1)原点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{R}$までの距離を$r$とするとき，線分$\mathrm{QR}$の長さを$r$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{QH}$の長さを$h$，点$\mathrm{R}$の座標を$(x,\ y,\ 0)$とするとき，$h \geqq 1$である場合に$x$がとる値の範囲を求めよ．
(3)点$\mathrm{R}$が放物線$\mathrm{C}$上のすべての点を動くとき，$h$を最小にする$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
（図は省略）
私立 立教大学 2016年 第2問$a,\ b,\ c,\ d,\ e$を実数とし，$b>0$，$e>0$とする．座標空間内の$3$点$\mathrm{A}(6,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(a,\ b,\ 0)$，$\mathrm{C}(c,\ d,\ e)$と原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$で作られる三角錐$\mathrm{OABC}$において，
\[ \mathrm{AB}=\mathrm{OB},\quad \cos \angle \mathrm{OBA}=\frac{4}{5},\quad \mathrm{AC}=\mathrm{BC}=\mathrm{OC}=9 \]
であるとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)線分$\mathrm{OB}$の長さを求めよ．さらに点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{OAB}$の外心を$\mathrm{D}$とする．線分$\mathrm{OD}$の長さを求めよ．さらに，点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(4)三角錐$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．
\[ \mathrm{AB}=\mathrm{OB},\quad \cos \angle \mathrm{OBA}=\frac{4}{5},\quad \mathrm{AC}=\mathrm{BC}=\mathrm{OC}=9 \]
であるとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)線分$\mathrm{OB}$の長さを求めよ．さらに点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{OAB}$の外心を$\mathrm{D}$とする．線分$\mathrm{OD}$の長さを求めよ．さらに，点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(4)三角錐$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．
私立 同志社大学 2016年 第3問座標空間内の$4$点$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 3)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ 5)$，$\mathrm{C}(2,\ 3,\ -1)$，$\mathrm{P}(2 \cos \theta,\ \sin \theta,\ 0)$を考える．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の両方に垂直で，大きさが$1$のベクトルをすべて求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$から，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面$\alpha$に，下ろした垂線の足$\mathrm{H}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(4)四面体$\mathrm{PABC}$の体積$V$を$\theta$を用いて表せ．
(5)四面体$\mathrm{PABC}$の体積$V$の最大値と最小値を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の両方に垂直で，大きさが$1$のベクトルをすべて求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$から，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面$\alpha$に，下ろした垂線の足$\mathrm{H}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(4)四面体$\mathrm{PABC}$の体積$V$を$\theta$を用いて表せ．
(5)四面体$\mathrm{PABC}$の体積$V$の最大値と最小値を求めよ．