Oを原点とする座標空間の2点A$(0,\ 0,\ 2)$，P$(\cos \theta,\ 2+\sin \theta,\ 1)$に対して，直線AP上の点で原点Oから最も近い点をQ$(X,\ Y,\ Z)$とする．$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$として，次に答えよ．

(1)$X,\ Y,\ Z$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\theta$が$\displaystyle 0,\ \pi,\ \frac{3}{2}\pi$のときの点Qの位置ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$とする．$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+u\overrightarrow{c}$をみたす実数$s,\ t,\ u$を$\theta$を用いて表せ．また，$s+t+u$の値を求めよ．
(3)点Qから$xy$平面にひいた垂線と$xy$平面の交点をR$(X,\ Y,\ 0)$とする．$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$の範囲を動くとき，$xy$平面における点Rの軌跡を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)座標空間内の点A$(0,\ 1,\ 0)$，B$(0,\ -1,\ 0)$に対して，ABCDが正四面体となるような$xy$平面の$x>0$の部分にある点Cと空間内の$z>0$の部分にある点Dの座標をそれぞれ求めよ．
(2)$\triangle$ABCの重心をEとする．線分DEを$3:1$に内分する点Gの座標を求めよ．
(3)$\angle \text{AGD}=\alpha$とするとき，$\cos \alpha$の値を求めよ．
(4)$\triangle$AGDの面積を求めよ．

座標空間の原点を$\mathrm{O}$とし，$2$点$\mathrm{A}(2,\ -1,\ 4)$，$\mathrm{B}(k,\ -k,\ 2)$について，線分$\mathrm{AB}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$k$は定数で$k>0$とする．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を$k$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{OP}$が直交するとき，$k$の値を求めよ．
(3)(2)で求めた$k$について，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．

Oを原点とする座標空間にある，中心C$(1,\ 1,\ \sqrt{10})$，半径$3\sqrt{3}$の球面を$S$とする．次の問いに答えよ．

(1)$S$と$x$軸の正の部分との交点をPとし，$S$と$y$軸の正の部分との交点をQとする．P，Qの座標を求めよ．
(2)2点O，Cを通る直線と$S$との交点のうち，$z$座標が正であるものをRとする．Rの座標を求めよ．
(3)四面体OPQRの体積$V$を求めよ．
(4)4点O，P，Q，Rを通る球面の半径$r_1$を求めよ．
(5)四面体OPQRに内接する球面の半径を$r_2$とする．このとき，$\displaystyle \frac{r_1}{r_2}$の値を求めよ．

図に示す点$\mathrm{O}$を原点とする直交座標空間に点$\mathrm{P}(1,\ 0,\ 0)$をとる．点$\mathrm{P}$を，$xy$平面内で原点$\mathrm{O}$を中心として図に示す矢印の方向に角度$\theta$回転させた位置に点$\mathrm{Q}$をとる．さらに，点$\mathrm{Q}$および$z$軸を含む平面内で，点$\mathrm{O}$を中心として点$\mathrm{Q}$を矢印の方向に角度$\theta$回転させた位置に点$\mathrm{R}$をとる．ただし，角度$\theta$の範囲は$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．以下の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)点$\mathrm{R}$の座標$(x_\mathrm{R},\ y_\mathrm{R},\ z_\mathrm{R})$を，角度$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \angle \mathrm{ORP}=\frac{\pi}{3}$であるとき，角度$\theta$の値を求めよ．
(3)点$\mathrm{R}$から平面$x+y=0$に下ろした垂線の長さ$l$を，角度$\theta$の関数で表せ．
(4)(3)で求めた垂線の長さ$l$が最大となるときの角度$\theta$の値とそのときの$l$の値を求めよ．

数列$\{a_n\}$を初項$1$，公差$\displaystyle \frac{1}{2}$の等差数列，$\{b_n\}$を初項$2$，公比$\displaystyle \frac{1}{2}$の等比数列とし，$\{c_n\}$を$c_1=3$，$c_{n+1}-c_n=n+1$で定まる数列とする．また，$\mathrm{O}$を原点とする座標空間の点$(a_n,\ b_n,\ c_n)$を$\mathrm{P}_n$とする．

(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}_n}=\left( \frac{[キ]}{[ク]} (n+[ケ]),\ 2^{[コ]-n},\ \frac{[サ]}{[シ]}(n^2+n+[ス]) \right)$である．

(2)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}}=\left( \frac{[セ]}{[ソ]},\ -[タ]^{1-n},\ n+[チ] \right)$である．

(3)$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}}|>100$となるような最小の自然数$n$は$[ツテ]$である．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に四面体$\mathrm{OABC}$がある．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標は，$\mathrm{A}(\sqrt{2},\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ \sqrt{3},\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 2)$である．また，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面上に点$\mathrm{P}$があり，実数$s,\ t$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s \overrightarrow{\mathrm{AB}}+t \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を満たす．

(1)$\mathrm{P}$の座標を$s,\ t$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AC}}$のとき，$s,\ t$を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(4)$(2)$のとき，直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{H}$とする．$|\overrightarrow{\mathrm{AH}}|$を求めよ．

座標空間内に原点Oを通らない平面$\alpha$がある．原点から平面$\alpha$に垂線OHを下ろす．このとき，次の問いに答えよ．

(1)Pを平面$\alpha$上の点とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OH}}$を示せ．
(2)平面$\alpha$が3点A$(1,\ 1,\ 1)$，B$(3,\ 0,\ 1)$，C$(-1,\ 1,\ 0)$を通るとき，点Hの座標を求めよ．

原点をOとする座標空間において，2点A$(2,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ 3,\ 0)$から等距離にある点の集合を平面Hとする．次の問いに答えよ．

(1)直線ABが平面Hに垂直であることを示せ．
(2)原点Oから平面Hに下ろした垂線の足を点Cとする．点Cの座標を求めよ．
(3)$d$を正の実数とする．PをH上の点とするとき，不等式$\text{OP} \leqq d$を満たす点Pの領域の面積を求めよ．

原点をOとする座標空間において，2点A$(2,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ 3,\ 0)$から等距離にある点の集合を平面Hとする．次の問いに答えよ．

(1)直線ABが平面Hに垂直であることを示せ．
(2)原点Oから平面Hに下ろした垂線の足を点Cとする．点Cの座標を求めよ．
(3)$d$を正の実数とする．PをH上の点とするとき，不等式$\text{OP} \leqq d$を満たす点Pの領域の面積を求めよ．