次の設問に答えよ．

(1)すべての自然数$n$に対して$\displaystyle \frac{1}{n^2+6n+8}=\frac{A}{n+2}+\frac{B}{n+4}$を満たすような定数$A,\ B$の値を求めよ．また，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+6n+8}$の和を求めよ．
(2)面積が$\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}$の三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3,\ \mathrm{AC}=2$であるとき，辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(3)座標空間において，$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 2)$を通る平面を$\alpha$とする．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る球面の中心$\mathrm{M}$が平面$\alpha$上にあるとき，$\mathrm{M}$の座標と球面の半径$r$を求めよ．

座標空間内に3点A$(2,\ 2,\ 0)$，B$(0,\ 2,\ 2)$，C$(2,\ 0,\ 2)$がある．次の問いに答えよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角$\theta$を求めよ．ただし，$0^\circ < \theta < 180^\circ$とする．
(2)$\triangle$ABCの面積を求めよ．
(3)原点Oから平面ABCに垂線をおろし，平面ABCとの交点をHとする．点Hは平面ABC上にあるから$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=r\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{OB}}+t\overrightarrow{\mathrm{OC}} \ (r+s+t=1)$と表すことができる．このとき，$r,\ s,\ t$を求めよ．
(4)四面体OABCの体積を求めよ．
(5)球$P$が四面体OABCのすべての面に接している．このとき，球$P$の半径を求めよ．

座標空間内で，原点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(b_1,\ b_2,\ 0)$，$\mathrm{C}(c_1,\ c_2,\ c_3)$を頂点とする正四面体を考える．ただし，$b_2$と$c_3$は正とする．次の問いに答えよ．

(1)$b_1,\ b_2$および$c_1,\ c_2,\ c_3$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$は垂直であることを示せ．
(3)$\mathrm{P}$は直線$\mathrm{BC}$上の点で，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$は垂直であるとする．$\mathrm{P}$の座標を求めよ．また$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$は垂直であることを示せ．

座標空間内で，原点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(b_1,\ b_2,\ 0)$，$\mathrm{C}(c_1,\ c_2,\ c_3)$を頂点とする正四面体を考える．ただし，$b_2$と$c_3$は正とする．次の問いに答えよ．

(1)$b_1,\ b_2$および$c_1,\ c_2,\ c_3$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$は垂直であることを示せ．
(3)$\mathrm{P}$は直線$\mathrm{BC}$上の点で，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$は垂直であるとする．$\mathrm{P}$の座標を求めよ．また$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$は垂直であることを示せ．

$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$を座標空間の点$\mathrm{O}$を始点とする$3$つの相異なる半直線とする．$\ell_1$と$\ell_2$及び$\ell_1$と$\ell_3$が$\mathrm{O}$においてなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとし，$\ell_2$と$\ell_3$が$\mathrm{O}$においてなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta \leqq \frac{2\pi}{3} \right)$とする．$\mathrm{O}$とは異なる$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$上の$3$点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$を頂点とする正三角形が存在するような$\cos \theta$の範囲を求めよ．

$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$を座標空間の点Oを始点とする3つの相異なる半直線とする．$\ell_1$と$\ell_2$及び$\ell_1$と$\ell_3$がOにおいてなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとし，$\ell_2$と$\ell_3$がOにおいてなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta \leqq \frac{2\pi}{3} \right)$とする．$x,\ y$を正数とし，$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$上に点P$_1$，P$_2$，P$_3$をそれぞれ，$\text{OP}_1=1,\ \text{OP}_2=x,\ \text{OP}_3=y$となるようにとる．$\triangle$P$_1$P$_2$P$_3$が正三角形となる$x,\ y$が存在するような$\cos \theta$の範囲を求めよ．

$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$を座標空間の点Oを始点とする3つの相異なる半直線とする．$\ell_1$と$\ell_2$及び$\ell_1$と$\ell_3$がOにおいてなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとし，$\ell_2$と$\ell_3$がOにおいてなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta \leqq \frac{2\pi}{3} \right)$とする．Oとは異なる$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$上の3点P$_1$，P$_2$，P$_3$を頂点とする正三角形が存在するような$\cos \theta$の範囲を求めよ．

座標空間内において，2点O$(0,\ 0,\ 0)$，A$(1,\ 0,\ 1)$を端点とする線分OA，平面$z=2$上に点$(0,\ 0,\ 2)$を中心とする半径1の円周$C$，および$C$上の動点Pがあるとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)直線PAと$xy$平面との交点をA$^\prime$とするとき，A$^\prime$の軌跡の方程式を求めよ．
(2)線分OA$^\prime$が動いてできる$xy$平面上の図形を描け．
(3)(2)の図形の面積を求めよ．

座標空間内において，4点$(2,\ 0,\ 0)$，$(2,\ 1,\ 0)$，$(-2,\ 1,\ 0)$，$(-2,\ 0,\ 0)$を頂点とする長方形を$x$軸のまわりに回転してできる円柱と，原点を中心とする半径2の球との共通部分の体積を求めよ．

座標空間内の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{B}(-1,\ 1,\ 2)$を含む平面を$\alpha$とする．また$t$を実数として，$\mathrm{P}(1,\ 0,\ -t)$とする．このとき次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角$\theta \ (0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ)$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$が平面$\alpha$上にあるとき，$t$の値を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$が平面$\alpha$上にないとき，点$\mathrm{P}$を通り平面$\alpha$に垂直な直線と平面$\alpha$との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．