次の問いに答えなさい．

(1)底面の半径が$2$で高さが$h$の円錐の体積と，半径$3$の球の体積が等しいとき，$h=[$\mathrm{A]$}$である．
(2)$2$次方程式$x^2+5x+5=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．このとき，$\displaystyle \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}$の値は$[$\mathrm{B]$}$である．
(3)成功する確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$の実験を$5$回繰り返すとき，$5$回目の実験がちょうど$3$度目の成功となる確率は$[$\mathrm{C]$}$である．ただし，どの実験の結果も他の実験の結果に影響を及ぼさないとする．
(4)$1$辺の長さが$6$の正四面体$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{BC}$を$1:5$に内分する点を$\mathrm{P}$とするとき，$\cos \angle \mathrm{APD}=[$\mathrm{D]$}$である．
(5)$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$の範囲を動くとき，関数
\[ f(\theta)=(1+2 \cos \theta)(3-\cos 2\theta) \]
の最大値と最小値を求めなさい．

$x$軸上を動く点$\mathrm{P}$があり，最初は原点にあるとする．$1$個のさいころを投げて，$1$か$2$の目が出たら点$\mathrm{P}$を正の方向に$2$だけ進め，その他の目が出たら負の方向に$1$だけ進めるものとする．以下の問に答えよ．

(1)さいころを$6$回投げたとき，$6$回目に点$\mathrm{P}$が原点に戻っている確率は$\displaystyle \frac{[クケ]}{[コサシ]}$である．

(2)さいころを$6$回投げたとき，$6$回目に点$\mathrm{P}$が原点に初めて戻っている確率は$\displaystyle \frac{[スセ]}{[コサシ]}$である．ただし，原点を通過した場合は，戻ったとはみなさない．
(3)さいころを$6$回投げたときに，点$\mathrm{P}$が原点に戻っているのが$2$度目である確率は$\displaystyle \frac{[ソタ]}{[チツ]}$である．ただし，原点を通過した場合は，戻ったとはみなさない．

次の$[　]$に適当な数，式を入れよ．ただし，$*$については，$+,\ -$の$1$つが入る．

(1)$2$次方程式$x^2-4x+2=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta (\alpha>\beta)$とすると，
\[ \alpha^2+\beta^2=[アイ],\quad \alpha^2-\beta^2=[ウ] \sqrt{[エ]},\quad \alpha^3+\beta^3=[オカ] \]
である．
(2)$\displaystyle \left( \frac{5}{2} \right)^{100}$の整数部分の桁数は$[キク]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とせよ．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．$\displaystyle S_n=\frac{3}{2}n^2-\frac{5}{2}n$であるとき，$a_n=[$*$ケ]n+[$*$コ]$である．
(4)$1$枚の硬貨を$5$回投げるとき，表が$3$回出る確率は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シス]}$であり，$3$度目の表が$5$回目の試行で出る確率は$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソタ]}$である．

次の空欄$[ナ]$から$[ヘ]$にあてはまる数や式を書きなさい．

ゆがんだサイコロがあり，各々の目の出る確率は下記の確率分布表の通りである．

確率分布表 \quad
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
目 & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ \\ \hline
確率 & $\displaystyle\frac{1}{9}$ & $\displaystyle\frac{4}{45}$ & $p$ & $q$ & $\displaystyle\frac{1}{35}$ & $r$ \\ \hline
\end{tabular}

また，このサイコロを$6$回投げたとき，次のような$2$つのデータ$(ⅰ)$，$(ⅱ)$が残った．
データ$(ⅰ) \cdots 4$回目に投げたとき$2$度目の$3$の目になる確率が$\displaystyle \frac{4}{27}$であった．
データ$(ⅱ) \cdots$出る目の期待値が$\displaystyle \frac{1153}{315}$であった．
このとき，以下の問いに答えなさい．ただし，$\displaystyle \frac{1}{35}<\frac{4}{45}<\frac{1}{9}<q<r<p<\frac{2}{3}$とする．
まず，確率分布表から，$p+q+r=[ナ] \cdots\cdots ①$である．
次に，データ$(ⅰ)$は$3$の目が$3$回目までに既に$1$回だけ出ていることを示すから，
\[ [ニ]=\frac{4}{27} \]
となる．
これより，次の$2$次方程式が得られる．
\[ [ヌ]=0 \]
条件より，$\displaystyle p<\frac{2}{3}$だから，$p=[ネ]$である．すると$①$から，
\[ q+r=[ノ] \cdots\cdots② \]
となる．
データ$(ⅱ)$から，期待値の式を$p,\ q,\ r$を用いて表せば，
\[ [ハ]=\frac{1153}{315} \]
である．
ゆえに，$p=[ネ]$を適用して，
\[ 2q+3r=[ヒ] \cdots\cdots③ \]
となる．$②$と$③$を連立して，$q=[フ]$，$r=[ヘ]$を得る．

袋の中に$4$枚のカードが入っており，それぞれのカードには$1,\ 2,\ 3,\ 4$の数字が書かれている．いま袋から$1$枚カードを取り出しては，そのつど袋に戻すという試行を何回か繰り返す．このとき，最後に取り出したカードに書かれた数が，得点になるものとする．以下の問に答えよ．

(1)試行が一度だけのとき，得点の期待値は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}$である．
(2)試行を二度行う権利を有するとき（試行を一度でやめても，二度目を行ってもよいとき），得点の期待値を最大にするには，$(1)$の結果より，一度目の数字$x$が$[ケ]$以下のときは二度目を行い，$x$が$[コ]$以上のときは一度でやめればよい．したがって，得点の期待値の最大値は$[サ]$となる．

数直線上の点$\mathrm{P}$は，さいころを投げて出た目が偶数であれば，正の方向に$1$だけ進み，奇数であれば負の方向に$1$だけ進む．いま，点$\mathrm{P}$は原点にある．

(1)さいころを$8$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が原点にある確率を求めよ．
(2)さいころを$8$回投げて，点$\mathrm{P}$が初めて原点に戻ってくる確率を求めよ．
(3)さいころを$8$回投げて，点$\mathrm{P}$が原点に戻り，しかも戻ってくるのが$2$度目である確率を求めよ．

数列$1,\ 2,\ 1,\ 3,\ 2,\ 1,\ 4,\ 3,\ 2,\ 1,\ 5,\ 4,\ 3,\ 2,\ 1,\ \cdots,\ k,\ k-1,\ \cdots,\ 2,\ 1,\ k+1,\ k,\ \cdots,\ 2,\ 1,\ \cdots$の第$n$項を$a_n$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)数字$9$が$16$度目に現れるのは第何項か．
(2)$\displaystyle \sum_{n=1}^{365} a_n$を求めなさい．

赤玉$2$個と白玉$6$個が入った箱がある．

(1)この箱から玉を$3$個同時に取り出す．このとき，赤玉が$1$個，白玉が$2$個である確率を求めよ．
(2)この箱から玉を$1$個取り出し，色を見てからもとにもどす．この試行を$5$回行うとき，$5$回目にちょうど$2$度目の赤玉を取り出す確率を求めよ．
(3)この箱から玉を$2$個同時に取り出し，色を見てからもとにもどす．この試行を$4$回行うとき，$1$回だけ赤玉と白玉が$1$個ずつである確率を求めよ．