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福岡女子大学 公立 福岡女子大学 2014年 第1問
新しく購入した機械は,購入$1$年目から$1$年間隔で$4$回の定期検査を受けることになっている.検査で異常が見つかる確率は毎回同じで$p (0<p<1)$である.定期検査で異常が見つかった場合のみ修理が行われる.検査は無料であるが,修理は有料である.$1$年目の検査で異常が見つかった場合の修理費用は$80000$円であり,$r$年目($r=2,\ 3,\ 4$)の検査で異常が見つかった場合の修理費用は
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
80000 \times r \text{(円)}, & \text{ただし,前回までの検査で異常なしの場合} \\
0 \text{(円)}, & \text{ただし,前回までの検査で修理を受けている場合}
\end{array} \right. \]
である.以下の問に答えなさい.

(1)$r=1,\ 2,\ 3,\ 4$とする.$r$年目の検査で初めて異常が見つかる確率$P$と$r$年目の検査が終わるまで異常が見つからない確率$Q$とをそれぞれ$r$と$p$を用いた式で表しなさい.
(2)購入してから$4$年目の検査が終わるまでの修理費用を$X$で表す.$X$のとり得る値とその確率を表にし,$X$の期待値を$p$の式で表しなさい.
(3)$p=0.1$とする.購入時に$4$年間保証として$70000$円を支払うと,修理費用は無料となる.$4$年間保証に加入することと,修理時に費用を支払うのとでは,どちらが得であるかを$X$の期待値を計算して検討しなさい.
福岡女子大学 公立 福岡女子大学 2014年 第1問
新しく購入した機械は,購入$1$年目から$1$年間隔で$4$回の定期検査を受けることになっている.検査で異常が見つかる確率は毎回同じで$p (0<p<1)$である.定期検査で異常が見つかった場合のみ修理が行われる.検査は無料であるが,修理は有料である.$1$年目の検査で異常が見つかった場合の修理費用は$80000$円であり,$r$年目($r=2,\ 3,\ 4$)の検査で異常が見つかった場合の修理費用は
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
80000 \times r \text{(円)}, & \text{ただし,前回までの検査で異常なしの場合} \\
0 \text{(円)}, & \text{ただし,前回までの検査で修理を受けている場合}
\end{array} \right. \]
である.以下の問に答えなさい.

(1)$r=1,\ 2,\ 3,\ 4$とする.$r$年目の検査で初めて異常が見つかる確率$P$と$r$年目の検査が終わるまで異常が見つからない確率$Q$とをそれぞれ$r$と$p$を用いた式で表しなさい.
(2)購入してから$4$年目の検査が終わるまでの修理費用を$X$で表す.$X$のとり得る値とその確率を表にし,$X$の期待値を$p$の式で表しなさい.
(3)$p=0.1$とする.購入時に$4$年間保証として$70000$円を支払うと,修理費用は無料となる.$4$年間保証に加入することと,修理時に費用を支払うのとでは,どちらが得であるかを$X$の期待値を計算して検討しなさい.
広島修道大学 私立 広島修道大学 2013年 第2問
次の問いに答えよ.

(1)$2012$年の$1$年間にある県を訪れた観光客の数は,前年$1$年間に比べて$8 \; \%$増加したという.今後も同じ割合で観光客の数が増えていくとした場合,初めて観光客の数が$2012$年の$2$倍以上になるのは何年後か.答えを整数で求めよ.ただし,$\log_{10}2=0.3010$,$\log_{10}3=0.4771$とする.
(2)下の図のような道がある.地点$\mathrm{A}$を出発して,さいころを投げて$5$以上の目が出れば上に$1$区画進み,$4$以下の目が出れば右に$1$区画進むことにする.ただし,進む道がないときは動かない.さいころを$7$回投げるとき,次の確率を求めよ.

(i) 地点$\mathrm{B}$に行き着く確率
(ii) 地点$\mathrm{C}$を経由して地点$\mathrm{B}$に行き着く確率
(図は省略)
岩手大学 国立 岩手大学 2011年 第3問
次の文章について,後の問いに答えよ.\\ \\
\quad 地球温暖化問題に関して,二酸化炭素の排出量の削減が叫ばれている.2008年に日本で開かれたサミットでは,42年後の2050年までに,年当たりの排出量を2008年のときと比較して50$\%$以上削減する,という目標が提言された.この目標を達成するために,前年比同率で削減することを考える.\\
\quad 2008年における排出量を$a \ (a>0)$とし,毎年,前年の$d \times 100 \% \ (0<d<1)$を減らすこととする.2008年の1年後の2009年の排出量の目標は[\bf ア]である.2008年から$n$年後の年間排出量を$a_n$とおくと,$a_n=[イ]$である.目標を達成するには$\displaystyle a_{42} \leqq \frac{a}{2}$,つまり,$d$を用いた式で表せば,
\[ [ウ] \leqq \frac{1}{2} \]
が成り立てばよい.両辺の逆数をとれば$\displaystyle \frac{1}{[ウ]} \geqq 2$となる.ところで,不等式
\[ (1+d)^{42} < \frac{1}{[ウ]} \ \, \cdots\cdots \maru{1} \]
が成り立つことがわかる.従って,
\[ (1+d)^{42} \geqq 2 \qquad\qquad \cdots\cdots \maru{2} \]
を満たす$d$を見つければ目標を達成することは明らかである.不等式\maru{2}の左辺は,二項定理により
\[ (1+d)^{42} =\sum_{r=0}^{42} [エ] \]
と表される.これを用いると,\underline{$d=0.02$は不等式\maru{2}を満たす}ことがわかる.つまり,毎年$2\%$の削減を2009年から行ったとすれば,42年後の2050年の排出量は2008年の$50\%$未満となることがわかった.

(1)文章中の[ア]~[エ]に当てはまる式を答えよ.
(2)$0<d<1$とするとき,不等式\maru{1}を証明せよ.
(3)下線部の命題を証明せよ.
(4)毎年$2\%$の削減を行った場合でも,42年間の排出量の合計は,削減率を0のまま2008年と同じ排出量を同じ期間続けたときの排出量の合計の$\displaystyle \frac{7}{12}$倍より大きくなることを証明せよ.
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