座標平面上の曲線$K$を$y=x^3-x+1$とする．

(1)点$(t,\ t^3-t+1)$における$K$の接線の方程式を$t$を用いて表せ．
(2)点$(1,\ 5)$を通る直線$\ell$が$K$と接するとき，接点の座標を求めよ．
(3)直線$\ell$と$K$で囲まれた図形の面積を求めよ．ただし，$\displaystyle \int x^3 \, dx=\frac{x^4}{4}+C$（$C$は積分定数）を用いてよい．

座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(t,\ t)$，$\mathrm{B}(t-1,\ -t+1)$をとり，線分$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．

(1)$t$がすべての実数を動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．
(2)直線$\mathrm{AB}$の方程式を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた方程式を満たす実数$t$が存在するための$x,\ y$についての条件を求め，条件を満たす点$(x,\ y)$全体の領域$D$を座標平面内に図示せよ．
(4)$(1)$で求めた点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を$y=f(x)$とする．連立不等式
\[ y \geqq x,\quad y \geqq -x,\quad y \leqq 1,\quad y \geqq f(x) \]
の表す領域と領域$D$の共通部分の面積を求めよ．

座標空間における$5$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ \sqrt{2},\ 1)$，$\displaystyle \mathrm{C} \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{\sqrt{6}}{6},\ \frac{\sqrt{3}}{6} \right)$，$\mathrm{R}(0,\ -1,\ \sqrt{2})$について次の問に答えよ．

(1)$\angle \mathrm{AOC}$，$\angle \mathrm{BOC}$，$\angle \mathrm{AOR}$，$\angle \mathrm{BOR}$を求めよ．
(2)$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$は同一平面上にあることを示せ．
(3)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は正の実数$s,\ t$について$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$をみたすものとする．$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{Q}$が$1$直線上にあるとき，四面体$\mathrm{OPQR}$の体積の最小値とそのときの$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

平面上に異なる$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}_0$，$\mathrm{B}_0$，$\mathrm{C}_0$をとる．$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，点$\mathrm{A}_n$，$\mathrm{B}_n$，$\mathrm{C}_n$をそれぞれ線分$\mathrm{B}_{n-1} \mathrm{C}_{n-1}$，$\mathrm{C}_{n-1} \mathrm{A}_{n-1}$，$\mathrm{A}_{n-1} \mathrm{B}_{n-1}$の中点とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{A}_1 \mathrm{C}_1}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}_0}$，$\overrightarrow{\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0}$，$\overrightarrow{\mathrm{A}_0 \mathrm{C}_0}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}_0}$，$\overrightarrow{\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0}$，$\overrightarrow{\mathrm{A}_0 \mathrm{C}_0}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OA}_n}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}_0}$，$\overrightarrow{\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0}$，$\overrightarrow{\mathrm{A}_0 \mathrm{C}_0}$と$n$を用いて表せ．

空間における$3$点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ -1)$，$\mathrm{B}(3,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{C}(-1,\ 3,\ 0)$を通る平面を$\alpha$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$は直角二等辺三角形であることを示せ．
(2)原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に垂線を下ろし，その交点を$\mathrm{H}$とするとき，点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$に外接する球の中心の座標を求めよ．

平面上に，$1$辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$をとり，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{CA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{CB}}$とおく．また，直線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BC}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}=2 \overrightarrow{b}$であるようにとる．線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{R}$とし，直線$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を$\mathrm{DR} \perp \mathrm{PQ}$であるようにとる．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{CR}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{DR}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)直線$\mathrm{DR}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$とするとき，線分$\mathrm{CE}$の長さを求めよ．

平面上に，$1$辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$をとり，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{CA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{CB}}$とおく．また，直線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BC}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}=2 \overrightarrow{b}$であるようにとる．線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{R}$とし，直線$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を$\mathrm{DR} \perp \mathrm{PQ}$であるようにとる．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{CR}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{DR}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)直線$\mathrm{DR}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$とするとき，線分$\mathrm{CE}$の長さを求めよ．

$0<r<1$を満たす実数$r$について，座標平面上に，$2$点$\mathrm{P}_1(1,\ 0)$と$\mathrm{P}_2(1,\ r)$がある．これらから点$\mathrm{P}_{n+1}(x_{n+1},\ y_{n+1}) \ (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を次の規則に従って定める．

点$\mathrm{P}_{n-1}$から点$\mathrm{P}_n$に向かう方向を時計の針の回転と逆の向きに${90}^\circ$回転し，その方向に点$\mathrm{P}_n$から距離$r^n$だけ進んだ点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．

このとき，次の各問に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}_4,\ \mathrm{P}_8$の座標を，$r$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle x=\lim_{m \to \infty}x_{4m}$，$\displaystyle y=\lim_{m \to \infty}y_{4m}$とするとき，点$\mathrm{P}(x,\ y)$の座標を，$r$を用いて表せ．
(3)実数$r$が$0<r<1$の範囲を動くとき，$(2)$の点$\mathrm{P}$の軌跡を座標平面上に図示せよ．

次の問に答えよ．

(1)座標平面上の原点$\mathrm{O}$を通り，$x$軸とのなす角が$30^\circ$で傾きが正の直線と，放物線$y=x^2$の交点で$\mathrm{O}$と異なるものを$\mathrm{A}$とおく．点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{OA}$を$1$辺とする正方形$\mathrm{OABC}$をつくる．ただし，点$\mathrm{C}$は第$2$象限にとる．点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標をそれぞれ求めよ．
(3)直線$\mathrm{OB}$に垂直で，放物線$y=x^2$に接する直線の方程式を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)座標平面上の原点$\mathrm{O}$を通り，$x$軸とのなす角が$30^\circ$で傾きが正の直線と，放物線$y=x^2$の交点で$\mathrm{O}$と異なるものを$\mathrm{A}$とおく．点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{OA}$を$1$辺とする正方形$\mathrm{OABC}$をつくる．ただし，点$\mathrm{C}$は第$2$象限にとる．点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標をそれぞれ求めよ．
(3)直線$\mathrm{OB}$に垂直で，放物線$y=x^2$に接する直線の方程式を求めよ．